Límite superior y límite inferior

En matemáticas , las nociones de límite superior e inferior de un conjunto de números reales entran en juego en el análisis , como un caso particular de la siguiente definición general: el límite superior (o el supremo ) de una parte de un conjunto (parcialmente) ordenado es el más pequeño de su límite superior . Tal terminal no siempre existe, pero si existe, es único. No pertenece necesariamente al partido considerado. Dual , el límite inferior (o el mínimo ) de una parte es el mayor de su límite inferior.

Cuando el conjunto ordenado es el de los reales, se asegura la existencia de un límite superior para cualquier parte no vacía y acotada : decimos que ℝ tiene la propiedad del límite superior . Esta misma propiedad también asegura la existencia de un límite inferior para cualquier conjunto no vacío reducido por números reales. Los límites superior e inferior de un intervalo acotado no vacío de ℝ son simplemente sus extremos.

Los límites superior e inferior de una función son los límites de todos sus valores.

NB: Las expresiones inglesas límite superior e inferior no corresponden a "límite superior" y "límite inferior", sino a límite superior e inferior , respectivamente; “Límite superior” se traduce en menos límite superior o extremo superior y “límite inferior” a mayor cota inferior o ínfimo .

Definición

Caso general

En un conjunto parcialmente ordenado E , el terminal superior de una parte F de E es, si la hay, el más pequeño de los límites superiores de F en E . Se denomina clásicamente sup ( F ) y se caracteriza por: M = sup ( F ) si

M es un límite superior de F : x ≤ M para todo x de F , y
es el más pequeño: para todo y de E , si y es un límite superior de F (es decir, si para todo x de F , x ≤ y ), entonces M ≤ y .

Observaciones

El vínculo entre la noción de límite superior y la de elemento más grande (véase el comienzo de la sección “Ejemplos” a continuación ) se debe al hecho de que si M pertenece a F , el punto 2 anterior se verifica automáticamente.
Si M = sup ( F ) entonces, para un elemento dado y de E :
- el punto 2. se reescribe:para y ≥ M , basta con que y sea mayor a cada elemento de F ;
- según el punto 1. y por transitividad de ≤, lo contrario es cierto: si y ≥ M , entonces y mayor a cada elemento de F , o nuevamente (por contrapuesto ):para que y no esté acotado por M , es suficiente que exista en F un elemento no acotado por y .

Del mismo modo, el límite inferior de F en E es, si existe, la mayor cota inferior de F . Se denomina clásicamente inf ( F ) y se caracteriza por propiedades duales (al invertir la dirección de las desigualdades).

Una parte, incluso aumentada , de cualquier conjunto ordenado no tiene necesariamente un límite superior, pero si lo tiene, es única . De manera similar, su límite inferior, si existe, es único.

Caso de un pedido total

Siempre podemos, en la definición anterior, reemplazar el punto 2. por su contrapuesto . Cuando el orden en E es total , deducimos que un elemento M de E es el límite superior de la parte F si y solo si:

para todo x de F, x ≤ M , y
para todo y <M en E , existe en F al menos una x> y .

Caso de reales

Cuando E = ℝ (provisto con el orden habitual), también podemos reemplazar “para todo y <M ” por “para todo y de la forma M –ε con ε> 0”. Por tanto, una M real es el límite superior de una parte F de ℝ si y solo si:

para todo x de F, x ≤ M , y
para cualquier ε> 0 real, existe en F al menos un x> M –ε.

Propiedad de límite superior

Decimos que un conjunto ordenado E tiene la propiedad del límite superior si alguna parte no vacía y acotada de E tiene un límite superior.

Este es especialmente el caso del conjunto ordenado ℝ de números reales .

El conjunto ordenado ℚ de racionales no tiene esta propiedad

Basta mostrar que podemos encontrar en ℚ una parte A , no vacía y acotada, que no tiene límite superior.

Para esto, considere el subconjunto . A está claramente marcado, por ejemplo con 2. Sea b un límite superior racional de A , y muestre un nuevo límite superior racional c < b , que mostrará que A no tiene un límite superior racional inferior. $A = \ {x \ in \ mathbb {Q} \; | \; x ^ {2} \ leq 2 \}$

Tenga en cuenta primero que 1 pertenece a A, por lo tanto b ≥ 1> 0, y considere lo racional (construido inspirándose en el método de Heron ). Como tenemos c 2 ≥ 2, de lo cual deducimos: ${\ Displaystyle c = {\ tfrac {b} {2}} + {\ tfrac {1} {b}}> 0}$ ${\ Displaystyle c ^ {2} -2 = \ left ({\ tfrac {b ^ {2} -2} {2b}} \ right) ^ {2}}$

por un lado, que c es un límite superior de A ;
por otro lado, que , de modo que , que (según la definición de c ) se reescribe: b 2 ≥ 2. Como ℚ no contiene una raíz cuadrada de dos , incluso tenemos b 2 > 2, esto que (de nuevo según la definición de c ) se traduce en: c < b . ${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {c}} \ in A}$ ${\ Displaystyle b \ geq {\ tfrac {2} {c}}}$

Ejemplos de

Si F tiene un elemento mayor (particularmente si F es un subconjunto finito de un conjunto E totalmente ordenado como ℝ), entonces este elemento máximo es el límite superior de F . En este caso, sup ( F ) pertenece a F . A la inversa, si sup ( F ) existe y pertenece a F , entonces Sup ( F ) es el elemento más grande de F .
En el conjunto de números reales:
- cualquier parte principal no vacía del conjunto de números reales tiene un límite superior;
- una parte no mejorada (como ℤ ) no tiene un límite superior;
- el conjunto vacío no tiene límite superior o inferior;
- el intervalo] 0, 1 [admite 0 como límite inferior y 1 como límite superior;
- el conjunto {(–1) n + 1 / n | n = 1, 2, 3…} admite –1 como límite inferior y 3/2 como elemento máximo (por lo tanto, como límite superior);
- el conjunto de números racionales cuyo cuadrado es menor que 2 admite √ 2 como límite superior y - √ 2 como límite inferior;
- el límite superior de la suma A + B de dos conjuntos acotados no vacíos A y B es igual a la suma de sus respectivos límites superiores;
- las nociones de infimum y supremum son duales: inf ( S ) = –sup (- S ), donde - S = {- s | s ∈ S }.
En el conjunto de números racionales:
- el conjunto de números racionales cuyo cuadrado es menor que 2 es una parte acotada de ℚ que no tiene límite superior.
En la línea real completa ℝ = ℝ ∪ { –∞ , + ∞ }:
- las partes no vacías y limitadas de ℝ tienen el mismo límite superior que en ℝ;
- una parte no vacía pero no limitada por un número real admite $+ \infty$ como límite superior;
- el conjunto vacío tiene $-\infty$ como límite superior, porque cualquier elemento de ℝ es un límite superior del conjunto vacío y el más pequeño de ellos es $-\infty$ (y tiene $+ \infty$ como límite inferior).
Una celosía es un conjunto ordenado en el que cada par tiene un límite superior y un límite inferior. Se dice que una celosía está completa si cada una de sus partes tiene un límite superior y un límite inferior (esta condición es de hecho redundante). Por ejemplo, ℝ es una celosía no completa, mientras que ℝ es una celosía completa.
Para cualquier conjunto X no vacío , el conjunto ℝ X de las asignaciones de X a ℝ (dotado del orden del producto ) está, por tanto, completo. Por lo tanto, cualquier familia $( f i ) i \in I$ de asignaciones de X a ℝ tiene un límite superior y un límite inferior . De su definición se deduce que para todo $x$ $\in$ $X$ , ${\ Displaystyle \ sup _ {i \ in I} f_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ inf _ {i \ in I} f_ {i}}$ $\ left (\ sup _ {{i \ in I}} f_ {i} \ right) (x) = \ sup _ {{i \ in I}} \ left (f_ {i} (x) \ right) \ quad {\ text {et}} \ quad \ left (\ inf _ {{i \ in I}} f_ {i} \ right) (x) = \ inf _ {{i \ in I}} \ left (f_ {i} (x) \ derecha).$ Por tanto, la envolvente superior de una familia de funciones no es otra cosa que su límite superior.

Asociatividad

Los límites superiores, e igualmente los límites inferiores, satisfacen la siguiente propiedad de asociatividad :

En un conjunto ordenado, sea ( F t ) t ∈ T una familia de partes, cada una de las cuales tiene un límite superior. Entonces

{\ Displaystyle \ sup _ {t \ in T} \ left (\ sup (F_ {t}) \ right) = \ sup \ left ({\ cup _ {t \ in T} F_ {t}} \ right) ,}

en el sentido de que el lado izquierdo de la igualdad existe si y solo si existe el lado derecho, y en este caso son iguales.

Demostración

Denote por y t (para cada índice t ) el límite superior de F t , Y el conjunto de todos estos y t y F la unión de F t . Basta con verificar que los dos conjuntos Y y F tienen el mismo conjunto de límite superior.

Todo límite superior de F majorises cada parte F t por lo que cada límite superior y t , de modo que majorises Y .
Todo límite superior de Y majorises cada y t y a fortiori cada parte F t , de manera que su reunión majorises F .

En una celosía completa como ℝ - cf. § “Ejemplos” arriba: la declaración se puede simplificar (los límites superiores siempre existen) y se deduce, por ejemplo, para cualquier familia doblemente indexada $( x s, t )$ de elementos de la celosía:

{\ Displaystyle \ sup _ {s \ in S} \ left (\ sup _ {t \ in T} (x_ {s, t}) \ right) = \ sup _ {t \ in T} \ left (\ sup _ {s \ in S} (x_ {s, t}) \ right).}

Notas y referencias

Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo titulado " Infimum " (ver lista de autores ) .

( fr ) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Infimum " ( ver la lista de autores ) .

Gustave Choquet , Curso de análisis, Volumen II: Topología , p. 129-130 de la traducción al inglés .
(en) DA Vladimirov, Álgebras booleanas en análisis , Springer ,2002( leer en línea ) , pág. 5Solo enuncia y prueba el “solo si”, bajo la superflua hipótesis T no vacío.

Ver también

Enlace externo

(es) " Infimum " , en PlanetMath