Jean-Robert Argand

Jean-Robert Argand Biografía

Nacimiento	18 de julio de 1768 Ginebra
Muerte	13 de agosto de 1822(en 54) París
Nacionalidad	Ginebra , luego suiza desde 1815
Actividad	Matemático

Otras informaciones

Áreas	Número complejo , impresor-librero ( d ) , político

Jean-Robert Argand , nacido el18 de julio de 1768en Ginebra y murió el13 de agosto de 1822en París, es un matemático suizo (aficionado) .

Biografía

En 1806 , mientras dirigía una librería en París, publicó una interpretación geométrica de números complejos como puntos en el plano, haciendo coincidir el número (donde i es una de las dos raíces cuadradas de –1, siendo el otro - i) el punto único de coordenadas ( a , b ) ( isomorfismo ). Por esta razón, el plano, visto como un conjunto de números complejos, a veces se denomina plano de Argand . Argand también es conocido por una prueba rigurosa del teorema de d'Alembert-Gauss , publicado en 1814. ${\ Displaystyle \, a + ib}$

Los complejos según Argand

En su tratado Ensayo sobre una forma de representar cantidades imaginarias mediante construcciones geométricas , Argand comienza asociando con cada número positivo a una línea horizontal KA , orientada a la derecha y de longitud a . Luego, se da cuenta de que puede asociar a cada número negativo - b una línea horizontal KB ' , orientada a la izquierda y de longitud b . La suma consiste en poner líneas de punta a punta. Las operaciones del producto y la raíz cuadrada consisten en trabajar las proporcionalidades :

( Un , b ) es proporcional a ( c , d ) si la relación de un / b y c / d son idénticas (mismo valor absoluto y el mismo signo)

Por tanto, el producto de a por b se convierte en el número ab tal que (1, a ) y ( b , ab ) son proporcionales. La construcción geométrica de un cuarto proporcional se conoce desde hace mucho tiempo. Entonces, Argand sabe cómo construir la línea :

{\ Displaystyle {\ overline {KC}} = {\ overline {KA}} \ times {\ overline {KB}}}

La raíz cuadrada de x (positivo) es el número y (positivo) tal que (1, y ) y ( y , x ) son proporcionales. Esta construcción también es factible (ver número constructivo ). Si KA está asociado a 1, KP asociado a y y KM asociado a x , diremos que:

KM es para KP lo que KP es para KA .

Obtenemos :

{\ Displaystyle {\ frac {KM} {KP}} = {\ frac {KP} {KA}}}

o :

{\ Displaystyle {\ overline {KM}} = {\ overline {KP}} \ times {\ overline {KP}}.}

El siguiente problema es construir la raíz cuadrada de –1. Si KC es el número asociado a –1, se trata de encontrar una línea KB tal que

KB es para KA lo que KC es para KB .

Esto no se puede lograr manteniéndose a la derecha. Por lo tanto, Argand abandona la línea y dice que KB es a KA lo que KC es a KB cuando las relaciones de longitud son iguales y los ángulos AKB y BKC son iguales .

Esto coloca el punto B verticalmente al punto K , a una distancia de 1. La línea KB luego representa la $i$ imaginaria (anotada en el momento $\sqrt -1$ ).

Luego crea en el conjunto de "líneas dirigidas" una adición (que es similar a lo que hoy se llama la relación Chasles ) y un producto.

El producto :

{\ Displaystyle {\ overline {KM}} \ times {\ overline {KN}}}

es la línea KP tal que KP es para KN lo que KM es para KA .

Con la definición de proporcionalidad que da en el plan, esto significa que

${\ Displaystyle {\ frac {KP} {KN}} = {\ frac {KM} {KA}}}$ ;
los ángulos NKP y AKM son iguales.

Luego muestra que un producto de líneas dirigidas corresponde al producto de las longitudes y la suma de los ángulos.

Luego asocia con cada complejo una línea dirigida y muestra la correspondencia entre las operaciones. Por tanto, cada línea dirigida tiene dos representaciones posibles:

por sus coordenadas cartesianas ( a , b ) que se refieren al complejo $a + i b$ ,
por sus coordenadas polares : longitud de la línea y dirección (o ángulo) de la línea.

Si el complejo es $a + i b$ , la longitud de la línea es $\sqrt a 2 + b 2$ , longitud que Argand llama módulo del complejo porque es la unidad por la que debe dividirse para encontrar su dirección .

Al ofrecer esta representación de complejos en forma geométrica, el objetivo de Argand es doble:

probar la realidad de los complejos que la gente de la época aún consideraba como imaginarios y como un simple artificio de cálculo;
dar una herramienta geométrica que pueda simplificar enormemente la resolución de problemas algebraicos.

Incluso ofrece una prueba del teorema fundamental del álgebra (incompleta) gracias a esta herramienta.

Las consecuencias de su ensayo

Publicado en 1806, publicado por un ilustre forastero, este ensayo cayó rápidamente en el olvido. Argand había enviado una copia a Legendre para su crítica, pero este último no había reaccionado, salvo en una carta enviada a François Français . Esta carta se encuentra por Jacques Frédéric Français , hermano del anterior, profesor en la escuela imperial de Artillería e Ingeniería, que desarrolla el mismo concepto, añade una anotación explotable a ella y hace que un artículo en los Anales de matemáticas de Gergonne. En 1813. Reconoce que la idea no es suya y busca al autor. Luego sigue una correspondencia entre los dos hombres, Argand buscando en vano dar una representación algebraica del espacio de dimensión tres.

Sin embargo, esta concepción geométrica de una herramienta algebraica choca con el sentido lógico de ciertos matemáticos de la época, que la ven sólo como un artificio de cálculo. Mientras tanto, otros matemáticos desarrollan independientemente la misma idea. Fue solo cuando Gauss y especialmente Cauchy se apoderaron de esta idea que esta concepción adquirió sus letras de nobleza y se convirtió en un trampolín que permitió a Hamilton crear sus cuaterniones .

Argand desigualdad

Argand trabajó en el teorema fundamental del álgebra tomando la prueba (incompleta) de d'Alembert sin poder proporcionar una prueba completa. Su razonamiento se basa en un enfoque incorporado en un resultado, a veces llamado desigualdad de Argand:

Teorema - Sea P un polinomio no constante con coeficientes complejos. Entonces, para cualquier complejo c que no sea la raíz de P , existe un complejo c ' tal que

{\ Displaystyle | P (c ') | <| P (c) |.}

Demostración

La demostración de Argand fue geométrica. Aquí hay una demostración algebraica moderna.

Pasamos por el siguiente lema: sea k un entero positivo distinto de cero, y con b un complejo distinto de cero y R un polinomio cancelando en 0. Entonces existe un complejo z tal que . ${\ Displaystyle Q (z) = 1 + bz ^ {k} + z ^ {k} R (z)}$ ${\ Displaystyle | Q (z) | <1}$

De hecho, sea r un complejo tal que . Entonces tenemos: ${\ Displaystyle br ^ {k} = - 1}$

{\ Displaystyle \ forall t \ in [0,1] \ quad Q (rt) \ leqslant \ left | 1-t ^ {k} \ right | + \ left | r ^ {k} t ^ {k} R ( rt) \ derecha | = 1-t ^ {k} + t ^ {k} \ izquierda | r ^ {k} R (rt) \ derecha |}

y por continuidad de R , existe t ∈] 0, 1] tal que, por tanto: ${\ Displaystyle \ left | r ^ {k} R (rt) \ right | <1,}$

{\ Displaystyle Q (rt) <1-t ^ {k} + t ^ {k} = 1.}

Basta entonces aplicar el lema al polinomio

{\ Displaystyle Q (z) = {\ frac {P (c + z)} {P (c)}}}

para obtener el resultado deseado.

Obras

Ensayo sobre una forma de representar cantidades imaginarias en construcciones geométricas , online y comentado en el sitio bibnum .
Ensayo sobre una forma de representar cantidades imaginarias en construcciones geométricas , Gauthier-Villars, París, 1874 - primer texto de Argand, así como una serie de sus comunicaciones sobre el tema de los complejos en los Annales de Gergonne .

Notas y referencias

Dominique Flament, Historia de los números complejos , CNRS Éditions , p. 164 .
François-Joseph Servois (1768-1847).
Caspar Wessel , publicado en 1799 pero no notado.
Adrien-Quentin Buée en 1806 ( Memorias sobre cantidades imaginarias ).
John Warren (1796-1852) en 1828 en Inglaterra ( Tratado sobre la representación geométrica de las raíces cuadradas de cantidades negativas) .
Claude-Victor Mourey en 1828 en Francia ( La teoría real de cantidades negativas y cantidades supuestamente imaginarias ).
Jean-Robert Argand, “ Filosofía matemática. Reflexiones sobre la nueva teoría de los imaginarios, seguida de una aplicación a la demostración de un teorema de análisis ”, Annales de Gergonne , vol. 5, 1814, pág. 197-209.
Odile Kouteynikoff, " " La demostración por Argand del teorema fundamental del álgebra " ", Bulletin de l ' APMEP , n ° 462, 2006, p. 122-137 .
Más algebraicamente, al notar r k R ( rt ) = a 1 t + a 2 t 2 +… + a m t m , es suficiente elegir t (∈] 0, 1]) estrictamente menor que la inversa de la suma (posiblemente cero) de los módulos de una j .

enlaces externos

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