En matemáticas , el teorema de los dos cuadrados de Fermat establece las condiciones para que un número entero sea la suma de dos cuadrados perfectos (es decir, dos cuadrados de números enteros) y especifica de cuántas formas diferentes puede ser. Por ejemplo, de acuerdo con este teorema, un número primo impar (es decir, todos los números primos excepto 2) es una suma de dos cuadrados perfectos si y solo si el resto de su división euclidiana por 4 es 1; en este caso, los cuadrados se determinan unívocamente. Podemos comprobarlo en 17 (= 4 × 4 + 1) o 97 (= 24 × 4 + 1), que son ambos de una manera una suma de dos cuadrados (17 = 1 2 + 4 2 y 97 = 9 2 + 4 2 ), mientras que los números primos como 7 (= 4 × 1 + 3) o 31 (= 4 × 7 + 3) no son sumas de dos cuadrados. Este resultado a veces se denomina simplemente teorema de dos cuadrados o incluso teorema de Fermat de Noël.
Forma parte de la larga historia de la representación de números como sumas de cuadrados que se remonta a la antigüedad . Se explica por Pierre de Fermat en el XVII ° siglo , pero la prueba publicado por primera vez conocido es la obra de Leonhard Euler un siglo más tarde. Su demostración no acaba con las preguntas. A lo largo de los siglos siguientes se ofrecen nuevas evidencias y diversas generalizaciones. Desempeñaron un papel importante en el desarrollo de una rama de las matemáticas llamada teoría algebraica de números .
Como muchas ecuaciones diofánticas , es decir, ecuaciones cuyos coeficientes y las soluciones buscadas son números enteros o fraccionarios, la sencillez del enunciado esconde una verdadera dificultad de demostración. Algunas de las demostraciones propuestas han ayudado en el desarrollo de herramientas a veces sofisticadas, como las curvas elípticas o la geometría numérica , vinculando así la teoría numérica elemental con otras ramas de las matemáticas.
Algunos números primos son sumas de dos cuadrados perfectos . Este es, por supuesto, el caso de 2 (= 1 2 + 1 2 ); asimismo, 5 es la suma de 1 y 4. Otros como 3 o 7 no verifican esta propiedad. Una prueba sistemática de hasta 40 muestra que:
Por otro lado, 3, 7, 11, 19, 23 y 31 no se descomponen así. El teorema proporciona un criterio general que permite discriminar entre estas dos situaciones:
Teorema de los dos cuadrados de Fermat (caso de números primos) : un número primo impar p es la suma de dos cuadrados perfectos si y solo si p es un número primo pitagórico , es decir, congruente con 1 módulo 4 :
Además, esta descomposición es única, en el intercambio cercano ax 2 e y 2 .
Podemos demostrar de forma elemental que existe una infinidad de números primos en cada una de las dos clases impares de congruencia módulo 4 (la de 1 y la de –1).
Si, primero, los números enteros del 1 al 50 se escriben en cuatro líneas de acuerdo con el resto de su división por cuatro , obtenemos:
Los enteros indicados en verde son aquellos que se pueden escribir como la suma de dos cuadrados perfectos, los enteros para los que tal escritura es imposible se indican en rojo. Se puede ver que la cuarta línea no contiene solución. Ahora, el producto de un número par de factores de la forma 4 k + 3 es de la forma 4 k + 1, por lo que esta última fila solo contiene números que tienen un número impar de factores primos de la forma 4 k + 3 Esto da una pista para comprender la situación general. Se tiene :
Teorema de dos cuadrados (caso general) : un número entero mayor o igual que 1 es la suma de dos cuadrados si y solo si cada uno de sus factores primos de la forma 4 k + 3 se da a una potencia par.
Así 30 = 2 × 3 × 5 no es suma de cuadrados porque en su descomposición en factores primos, 3 ocurre con un exponente 1. Por otro lado, 45 = 3 2 × 5 es suma de cuadrados, porque 3 ocurre a la potencia de 2 (encontramos que 45 = 6 2 + 3 2 ).
La cuestión del número de pares de cuadrados cuya suma es igual a un entero dado n , también es más difícil; este número depende de los exponentes de los factores de n de la forma 4 k + 1. Al escribir n = n'p 1 a p 2 b p 3 c …, donde n ' solo es divisible por 2 y los factores primos de forma 4 k + 3 y donde los diferentes p i son los factores primos de la forma 4 k + 1, y denota m el producto ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1)…, entonces el número de diferentes las descomposiciones de n (normalizadas, es decir , en la forma x 2 + y 2 con x ≥ y ≥ 0) es igual a m / 2 si m es par, es decir, si uno en menos de los exponentes a, b, c ... es impar, y en ( m + 1) / 2 si m es impar, es decir, si todos los exponentes son pares. En particular, la descomposición es única cuando m es igual a 1 o 2, es decir, cuando n no tiene un factor primo de la forma 4 k + 1, o entonces solo uno y con exponente 1.
Charles Gustave Jacob Jacobi dio otra expresión equivalente para el número de descomposiciones :
-Dos cuadrados Teorema (Complementos) - Let n ser un número entero mayor que o igual a 1 y r 2 ( n ) ser el número de representaciones de n como la suma de dos cuadrados. Sea d 1 (resp. D 3 ) el número de divisores (no necesariamente primos) de n congruentes con 1 (resp. 3) módulo 4, se cumple la siguiente fórmula:
.Aquí contamos todas las representaciones (no normalizadas), incluso aquellas que solo se diferencian por el signo o el orden. Por ejemplo, 5 = (± 2) 2 + (± 1) 2 = (± 1) 2 + (± 2) 2 admite 8 representaciones como la suma de dos cuadrados.
Un último aspecto importante es la construcción explícita de cuadrados cuya suma es igual a un número entero dado.
El interés en la cantidad de fechas cuadrados remonta a la antigüedad: nos encontramos con tales sumas en tabletas cuneiformes en principios II º milenio antes de Cristo y dos lemas añadido al teorema X.28 en el Elementos de Euclides explican cómo cuadrados constructo perfectos cuya suma o diferencia sigue siendo la forma perfecta cuadrados, o por el contrario cómo no obtener un cuadrado sumando dos cuadrados.
Pero es en la tradición diofántica donde encontramos trazos más precisos en las sumas numéricas de cuadrados. La aritmética , compuesta en fecha incierta, contiene problemas para los que las soluciones buscadas son racionales o totales. Muchos de ellos se relacionan con números cuadrados o cúbicos (en este caso cuadrados o cubos de números racionales). Como ejemplos, el problema 11 del libro II es el siguiente: "Suma el mismo número a dos números dados para que cada uno de ellos forme un cuadrado" , o el problema 22 del libro IV: "Encuentra tres números tales que el número sólido resultante de estos los números [en otras palabras, el producto de estos tres números], incrementados por cada uno de ellos, forman un cuadrado. " . Para resolver todas estas cuestiones, Diofanto introduce una "cantidad indeterminada de unidades" a la que llama "aritmo" y expresa en función de ella todos los datos del problema (es por tanto un antepasado de la noción de incógnita en álgebra ). Así logra encontrar una solución numérica particular, por ejemplo para el problema II.11 la solución 97/64 si los números dados son 2 y 3, y para el problema IV.22, la solución 1, 34/6 y (2.1 / 2 ) / 6.
Varias referencias relevantes para la determinación de la suma de dos cuadrados aparecen de manera dispersa en varios problemas. Por ejemplo, Diofanto observa sin explicación que 15 no puede ser la suma de dos cuadrados de números racionales en medio de la solución del problema VI.14. En el Libro III, afirma que el número 65 es una suma de dos cuadrados de dos formas diferentes, porque es el producto de 5 y 13, que son sumas de dos cuadrados. Otro problema se refiere al hecho de "dividir la unidad en dos partes y agregar un número dado a cada uno de los fragmentos, para formar un cuadrado". " . Esto significa que estamos buscando un número entero y dos números racionales tales que
son cuadrados de números racionales,o de nuevo, un entero c tal que 2 c + 1 es la suma de dos cuadrados de números racionales. Diofanto dice explícitamente que c debe ser par, en otras palabras, que dividir 2 c + 1 entre 4 da el resto 1.
Algunos matemáticos que leen a Diofanto estudiarán sumas de cuadrados de una manera más sistemática y aritmética, en particular la tradición en lengua árabe de al-Khāzin , al-Sijzi , al-Samaw'al , etc. . Su perspectiva combina, sobre problemas diofánticos adecuados, técnicas inspiradas en el álgebra naciente y un punto de vista euclidiano, en particular un enfoque en los números enteros y las pruebas generales. Por ejemplo, muestran que una suma impar de dos cuadrados primos entre ellos es de la forma 12 k + 5 o 12 k + 1. Un contexto importante es el estudio de los triángulos rectángulos en números, o triples pitagóricos , es decir, números que verifican a 2 + b 2 = c 2 : de hecho, si los lados a , b , c son primos entre ellos, c mismo se escribe como una suma de cuadrados.
Se trata de ediciones directamente relacionados y comenta Aritmética de Diofanto encontró el XVII ° siglo una exploración más sistemática, y el primer juego completo de este teorema.
Albert Girard es el primer matemático en enunciar el teorema. Mientras publicaba, en 1625, la traducción de Simon Stevin de los libros de Diofanto, Girard anunció sin pruebas, en sus anotaciones, que los números expresados como la suma de dos cuadrados de enteros son
“I. Cualquier número al cuadrado. II. Cualquier número primo que exceda un número cuaternario de unidad. III. El producto de quienes lo son. IV. Y duplicar cada uno de ellos. "
o, como lo resume LE Dickson ,
“Cada cuadrado, cada primo 4 n + 1, un producto formado por tales números y el doble de uno de los anteriores. "
es decir, los números descritos en la declaración general anterior .
Fue aproximadamente en la misma fecha que Marin Mersenne estableció en París una academia enteramente matemática que comunicaba los resultados de los diversos trabajos y que contaba con el apoyo de una gran red de corresponsales en toda Europa. Nombres que se han mantenido más o menos famosos como Étienne y Blaise Pascal , René Descartes , Bernard Frénicle de Bessy , Gilles Person de Roberval o Pierre de Carcavi , bibliotecario del rey. Esta correspondencia es una de las dos fuentes principales del trabajo aritmético de Fermat, siendo la otra sus propios comentarios sobre la edición de Diofanto de Claude-Gaspard Bachet de Méziriac en 1621. En su trabajo sobre teoría de números, Bachet es parte de la tradición de todo el análisis diofántico: da nuevos ejemplos numéricos en su totalidad y, sobre todo, pruebas a la manera euclidiana de muchas proposiciones. En particular, redescubre en Diofanto ( Arithmetica , III, 19) una notable identidad que prueba que el producto de dos sumas de dos cuadrados es una suma de dos cuadrados, de dos formas diferentes; más precisamente, en notación algebraica actual:
Identidad de Diofanto :Esta identidad es fundamental para pasar del caso de los números primos al caso general.
Mersenne anima a sus corresponsales a que se planteen problemas unos a otros, con el fin de probar la dificultad con otros matemáticos y estimularlos en su investigación. Uno de los primeros propuestos a Fermat en 1636 se refiere a las sumas de varios cuadrados ya partir de marzo de 1638, Mersenne le indica a Descartes que Fermat demostró que un número de la forma 4 k - 1 no es la suma de dos cuadrados de números racionales. Este resultado es elemental, pero en agosto de 1640, reanudando el contacto con Roberval tras una interrupción en su correspondencia, Fermat fue más allá:
“Esto es lo que he descubierto desde entonces sobre el tema de la Proposición 12 del Quinto Libro de Diofanto […]. Si un número dado se divide por el cuadrado más grande que lo mide y el cociente se mide por un número primo menor que la unidad que un múltiplo del cuaternario, el número dado no es cuadrado ni está compuesto por dos cuadrados […] Entonces demostré [ …]: Si un número está formado por dos cuadrados primos entre ellos, digo que no se puede dividir por ningún número primo menor que la unidad que un múltiplo del cuaternario. "
En otras palabras, en términos más modernos: si escribimos un número n en la forma de d 2 n ' con n' sin un factor cuadrado y que n ' es divisible por un número primo de la forma 4 k - 1, entonces n n no es una suma de dos cuadrados. Y si un y b son primos entre sí, a continuación, un 2 + b 2 tiene ningún factor primo de la forma 4 k - 1. Estas declaraciones son a la vez equivalente a la "sólo si" del teorema de los dos cuadrados en el caso general . El "si" (el hecho de que cualquier número primo de la forma 4 k + 1 es la suma de dos cuadrados) todavía parece fuera de alcance ...
En una extensa carta a Mersenne fechada el día de Navidad de 1640, Fermat expone sus bases para resolver todos los problemas relacionados con las sumas de cuadrados. Por esta razón, el teorema a veces se denomina teorema de Fermat Christmas .
“Cualquier número primo [= p ], que exceda en unidad a un múltiplo del cuaternario [tal que p = 4 k + 1] sea solo una vez la suma de dos cuadrados, […] El mismo número y su cuadrado [ p 2 ] son cada uno una vez la suma de dos cuadrados; Su cubo [ p 3 ] y su cuadrado [ p 4 ] son cada uno el doble de la suma de dos cuadrados; Su cubo cuadrado [ p 5 ] y su cubo [ p 6 ] son cada uno tres veces la suma de dos cuadrados; Etc., ad infinitum. "
Este resultado reaparece en el contexto de varios problemas. Fermat pronto añadió a esto el problema de la construcción real de las plazas. El teorema de las sumas de cuadrados también aparece en las famosas observaciones que Fermat escribió al margen de la edición de Bachet de la Aritmética de Diofante, observaciones que conocemos por la versión póstuma publicada por su hijo en 1670.
Más importante interlocutor de Fermat sobre teoría de números, Frenicle, se manifiesta, además, que también ha encontrado esta declaración: por ejemplo, se pregunta Fermat para encontrar el número más pequeño que es la suma de dos cuadrados exactamente un número de veces dado, y dedica el 5 º ejemplo de su propio tratado El método de las exclusiones al problema: "un número dado, determina cuántas veces es la suma de dos cuadrados".
Si el enunciado es un bien colectivo para estos matemáticos, no es lo mismo para la demostración. Mostrar que un número de la forma 4 k - 1 no es la suma de dos cuadrados racionales se puede hacer simplemente considerando los restos de la división de los cuadrados entre 4 ( ver más abajo ): solicitado por Mersenne ( ver arriba ), Descartes, desdeñando este ejercicio propuesto por Fermat como difícil, lo pone como una simple prueba a uno de sus protegidos, Jean Gillot. La enumeración de las soluciones, una vez conocida la identidad de Diofanto , es un ejercicio de combinatoria que también realizan varios autores, como Frenicle. Queda la prueba de que cualquier número primo de la forma 4 k + 1 es la suma de dos cuadrados . Sin embargo, hay pocos (si es que hay alguno) modelos de tales pruebas de existencia en un contexto aritmético. La interpretación geométrica de números enteros, que es la base de las demostraciones euclidianas, es muy engorrosa. Una solución consiste en una reinterpretación algebraica de estos problemas como Stevin, Francois Vieta , el inventor de una temprana simbolismos algebraicas coherentes a gran escala, ha reformulado muchas de la Aritmética de Diofanto al final de la XVI ª siglo. Pero, geometría o álgebra, ¿cómo podemos hacer un seguimiento del hecho de que estamos buscando soluciones completas aquí? Fermat es particularmente consciente de esta dificultad: en un desafío matemático a los matemáticos de Europa, en 1657, declara: “Difícilmente encontramos quién plantea problemas puramente aritméticos, ni quién los comprende. ¿No es porque hasta ahora la aritmética se ha tratado geométricamente en lugar de aritméticamente? "
Es con el objetivo de desarrollar todo este análisis diofántico, con pruebas, que Fermat ha desarrollado un método, el que él llama descenso infinito y que, según sus palabras, le permite llegar al final:
“Estuve mucho tiempo sin poder aplicar mi método a las preguntas afirmativas, porque el truco y el sesgo para llegar ahí es mucho más difícil que el que utilizo para las negativas. De modo que, cuando tuve que demostrar que cualquier número primo, que excede en unidad a un múltiplo de 4, está compuesto por dos cuadrados, me encontré con una gran dificultad. Pero al final, una meditación, repetida varias veces, me dio las luces que me faltaban, y las preguntas afirmativas pasaron por mi método, con la ayuda de unos principios nuevos a los que había que unir por necesidad. "
¿Fermat tenía una prueba completa de su teorema? No ha sobrevivido ninguna prueba escrita por él de este teorema, y la estrategia que dice haber empleado (mostrar - ¿cómo? - que si existe un primo de la forma 4 n + 1 no suma de dos cuadrados, entonces hay otro estrictamente más pequeño entonces, por descendencia infinita, deducir - curiosamente, en lugar de concluir inmediatamente - que 5 no sería entonces la suma de dos cuadrados) no ha sido concretado por ninguno de sus sucesores. Sin embargo, los ingredientes que afirmó ( el pequeño teorema de Fermat , el descenso infinito) les permitieron desarrollar otros.
Como algunos otros, los primeros casos de "su" último teorema en particular, el enunciado sobre las sumas de dos cuadrados ocupa en cualquier caso un lugar central en el programa de Fermat para renovar la teoría de números. Catorce años después, mucho después de la muerte de Mersenne, vemos estas declaraciones reaparecer en un borrador de libro que Fermat dirigió a Blaise Pascal, luego en 1658 durante un intercambio con los matemáticos ingleses John Wallis y William Brouncker , y un año después, en una reseña. de la teoría de números para el joven Christian Huygens . Fermat también señala que leyes análogas se pueden encontrar para los números primos x 2 + 2 Y 2 = p y x 2 + 3 Y 2 = p .
El entorno científico para el próximo siglo es muy diferente. Las matemáticas se han profesionalizado en toda Europa y las revistas periódicas, en particular las publicaciones de las distintas Academias de Ciencias , ofrecen la posibilidad de publicar resultados y pruebas a medida que surgen. Leonhard Euler estaba interesado en el teorema de los dos cuadrados, como en muchos otros resultados de la teoría de números que dejó Fermat, y le debemos las primeras pruebas conocidas de estos enunciados.
La referencia geométrica a triángulos rectángulos de lados enteros desaparece por completo en favor de un formalismo puramente algebraico. Euler estudia en particular, junto con otras ecuaciones diofánticas, las siguientes tres familias de ecuaciones:
Aquí, m denota un número entero estrictamente positivo y p un número primo. La última ecuación generaliza la asociada al teorema de dos cuadrados (caso donde m es igual a 1).
Con respecto al teorema de los dos cuadrados, Euler primero muestra que un número primo p = 4 n - 1 no divide una suma de dos cuadrados primos entre ellos, a 2 + b 2 , aplicando el pequeño teorema de Fermat. También muestra que un divisor de una suma de dos cuadrados primos entre ellos sigue siendo la suma de dos cuadrados (y por lo tanto, si es primo, es 2 o un número entero de la forma 4 n + 1); este resultado se extiende al caso de m = 2 o 3 (encontramos que un divisor primo impar es congruente con 1 o 3 módulo 8 para m = 2 y 1 módulo 3 para m = 3); en estos últimos casos, la prueba inversa también se basa en identidades de potencias k -ésimas y el pequeño teorema de Fermat.
Encontramos rastros de estos resultados en el curso de su correspondencia con Christian Goldbach (quien él mismo contribuyó a este estudio), desde principios de la década de 1740, con publicaciones detalladas, en las Memorias de la Academia de San Petersburgo en particular, una década. mas tarde. André Weil se refiere a este período como una “campaña de siete años” para probar todas las afirmaciones de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados; hasta la década de 1770, Euler volvió a él nuevamente para dar variaciones sobre sus pruebas y estos resultados.
Euler también acumula todo tipo de experimentos digitales. Conjetura en este contexto un resultado destinado a convertirse en una de las leyes centrales de la teoría de números, la ley de la reciprocidad cuadrática , sin poder demostrarlo.
Tomando una sugerencia de Fermat, también interpreta el teorema de la suma de cuadrados como una prueba de primalidad . De hecho, un número de la forma 4 n + 1 es primo si y solo si se escribe de una manera como la suma de dos cuadrados, y estos cuadrados son primos entre sí. Este criterio de Euler para demostrar que el 5º número de Fermat 2 2 5 + 1 no es primo porque se escribe de dos formas como una suma de cuadrados:
Incluso desarrolla un método de factorización a partir de una escritura tan doble. Irónicamente, es sobre la base de una idea de la que él es el origen que la conjetura de Fermat que estipula que los números de Fermat son primos se echa en falta. Euler también demostró que 2 2 5 + 1 es divisible por 641.
Euler también busca determinar para qué enteros μ, ν el estudio de los números representables en la forma μ x 2 + ν y 2 todavía le proporcionaría un criterio análogo de primalidad. Con la ayuda de sus asistentes, descubre que el criterio funciona cuando el producto μν es parte de una lista de 65 números, a los que llama numeri idonei , números apropiados (en) . Usando el mayor de estos números, 1.848, Euler muestra, por ejemplo, que 18.518.809 (= 197 2 + 18.480.000) es primo.
Joseph-Louis Lagrange integra los resultados teóricos y numéricos de Euler y los amplía, en una larga tesis en dos partes, titulada Recherches d'arithmétique ”. Lagrange no se limita al estudio de números representados por sumas de cuadrados, sino que más generalmente estudia los números enteros que se pueden escribir en la forma ax 2 + bxy + cy 2 , para los enteros x , y , los enteros a , b , c siendo reparado. Tal expresión se denomina una forma cuadrática binaria (es decir, una de dos variables forma cuadrática ). El teorema de los dos cuadrados se refiere a la forma cuadrática x 2 + y 2 , es decir, aquella para la cual a = c = 1 y b = 0. Lagrange observa que para dos formas f ( x , y ) y F ( X , Y ) representan los mismos enteros, basta con que un cambio de variables x = α X + β Y , y = γ X + δ Y (con coeficientes α, β, γ, δ enteros y tales que αδ - βγ = ± 1) se transforme una en la otra, y que para dos formas así conectadas, el discriminante b 2 - 4 ac de la forma es idéntico. Estas formas serán llamadas "equivalentes" por Gauss unas décadas más tarde y la exploración de esta relación entre formas cuadráticas por Lagrange constituye uno de los primeros estudios conocidos de una relación de equivalencia . Para un discriminante dado, solo hay un número finito de clases de forma, hasta la equivalencia.
Los dos números a y c son, evidentemente, representados de una manera primitiva (es decir, con números enteros x , y primos entre ellos) por la forma cuadrática ax 2 + bxy + cy 2 por lo tanto, por cualquier forma equivalente. Lagrange establece que recíprocamente, cualquier número entero representable de forma primitiva por una forma es el coeficiente del término en X 2 para una forma equivalente, y que cualquier divisor de un número originalmente representado por una forma es inicialmente representable por una forma de la misma. discriminante (no necesariamente equivalente). En particular, si un número primo p divide el valor en números enteros (no ambos divisibles por p ) de una forma cuadrática, el discriminante de la forma es un módulo cuadrado p . La ley de reciprocidad permite expresar esta condición inversamente como la pertenencia de p a ciertas clases de congruencia módulo el valor absoluto del discriminante (generalizando el hecho de que p debe ser congruente con 1 módulo 4 para ser representado por una suma de cuadrados , es decir, una forma cuadrática de discriminante –4).
Lagrange finalmente muestra cómo, en cada clase de formas equivalentes, encontrar formas representativas particularmente simples: para un discriminante negativo, puede definir una forma representativa única (llamada forma reducida) por clase y para un discriminante positivo, la caracterización de las formas reducidas. pide su estudio sobre la ecuación (2) anterior y fracciones continuas .
Adrien-Marie Legendre trae su piedra al edificio. Antes de finales de siglo, introdujo un símbolo que ahora lleva su nombre, lo que permite expresar de manera más simple la ley de reciprocidad cuadrática , que creía demostrar.
Durante el XIX e siglo, el estudio de los problemas de los números enteros cambia de estado. Por un lado, da lugar a vastas síntesis teóricas que unifican muchas cuestiones hasta ahora dispersas. Por otro lado, desde marginal como lo fue en el conjunto de las matemáticas, se convierte en objeto de numerosas interacciones con otras ramas, como la geometría o el análisis real o complejo . El teorema de los dos cuadrados se beneficia de este doble cambio: se integra en nuevos marcos, a veces utilizado como ilustración de propiedades actualizadas más o menos profundas, y se demuestra de forma más directa, o refinada, gracias al uso de métodos geométricos o analíticos. .
En 1801 , Carl Friedrich Gauss publicó un libro innovador sobre aritmética. La lógica que se sigue es estudiar los números utilizando un enfoque estructural . Descubre que múltiples configuraciones, ahora llamadas anillos euclidianos , se benefician de las mismas propiedades y, por lo tanto, de una aritmética similar. Se estudian nuevos conjuntos de números, a veces de enteros cardinales finitos , a veces generalizadores . Estos resultados ofrecen demostraciones más simples del teorema de los dos cuadrados, permiten probar la ley de reciprocidad cuadrática y ampliar la clasificación de formas cuadráticas de Lagrange.
El trabajo de Gauss influyó en los matemáticos del siglo. Jacobi los usa para establecer una prueba del número exacto de descomposiciones de un entero en dos cuadrados ( ver arriba ). Richard Dedekind , el último estudiante de Gauss, ofrece dos demostraciones que son elegantes y concisas utilizando números enteros gaussianos. El que se presenta en este artículo es el segundo.
Si las ideas de Gauss nos permiten comprender mejor los números, el caso general queda fuera de nuestro alcance. Para lograrlo, sería necesario poder clasificar todas las formas cuadráticas y los avances del matemático son insuficientes. Esta clasificación asume el conocimiento de las estructuras de extensiones de números enteros, llamados enteros algebraicos . Si estos conjuntos todavía tienen una suma y una multiplicación que confieren una estructura de anillo , cuanto más aumenta el valor n , más complejo se vuelve. La división euclidiana desaparece, luego, aún más molesto, el teorema fundamental de la aritmética que garantiza la unicidad de la descomposición en factores primos se desvanece a su vez.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( 1805 - 1859 ) elucida la estructura de los elementos invertibles , Ernst Kummer ( 1810 - 1893 ) encuentra la forma de sustituir faltante factores primos utilizando un concepto que ahora se llama ideales , Evariste Galois ( 1811 - 1832 ) esboza una teoría amplia de comprender mejor cómo se multiplican los números . Cada uno de los avances, consecuencia del trabajo de estos diferentes científicos, permite resolver algunos casos adicionales . El caso general finalmente se resuelve solo en el último año del siglo gracias al toque final de David Hilbert .
Las diferentes manifestaciones se agrupan según las épocas y los autores. Por otro lado, la redacción elegida utiliza el formalismo moderno: así, la presentación de los resultados de Diofanto está muy lejos de la forma geométrica presente en los textos originales. Las pruebas se eligieron por su sencillez. En consecuencia, la prueba basada en números enteros de Gauss se debe a Dedekind, que el uso de los resultados de Lagrange sobre las formas cuadráticas se debe a Gauss y algunos resultados de Fermat se expresan en términos de residuos, un término contemporáneo, que sólo aparece al final de la XVIII ª siglo. Otras pruebas incluyen la que usa el teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos y la de una oración de Don Zagier , basada en involuciones .
De la identidad de Diofanto:
Otra observación elemental es la siguiente:
Esta propiedad proviene del hecho de que dividir un cuadrado entre 4 solo puede dar un resto de los dos valores 0 o 1. De hecho, sea a = 2 m + e un número entero, con e igual a 0 o 1 (dependiendo de la paridad de a ), entonces e 2 , que es 0 o 1, es el resto de la división por 4 de a 2 = 4 ( m 2 + me ) + e 2 .
Si n es una suma de tres cuadrados a 2 = 4 M + e , b 2 = 4 N + f , c 2 = 4 O + g , con e , f y g cada uno igual a 0 o 1, entonces e + f + g , que es 0, 1, 2 o 3, es el resto de la división por 4 de n = 4 ( M + N + O ) + e + f + g . Si este resto es cero, e = f = g = 0.
De hecho, tal suma está escrita
con números enteros, que podemos, dividiéndolos simultáneamente por 2 tantas veces como sea posible, no hacer que los tres sean pares. En estas condiciones, no puede ser un número entero de la forma porque entonces tendríamos , lo cual es imposible según el punto anterior.
Un paso en la demostración es identificar y reformular una condición necesaria - que cada una de las siguientes cinco secciones mostrará que es suficiente - para que un número primo p sea la suma de dos cuadrados, teniendo en cuenta que si x 2 + y 2 es primo o , más en general, sin un factor cuadrado , entonces x y y son primos entre sí .
Por tanto, una condición necesaria para que p sea la suma de dos cuadrados es que divida una suma de dos cuadrados primos entre ellos . Oro :
Si un entero positivo divide una suma de dos cuadrados primos entre ellos, entonces no tiene la forma 4 n - 1.
La primera prueba publicada, debida a Euler, usa el pequeño teorema de Fermat :
DemostraciónEsta proposición es suficiente para demostrar que es necesaria la condición para que un entero positivo sea la suma de dos cuadrados ( ver más abajo ).
Además, la implicación de esta proposición, restringida a números primos, es de hecho una equivalencia:
Un número primo p ≠ 2 divide (al menos) una suma de dos cuadrados primos entre ellos si (y solo si) p es de la forma 4 n + 1.
Muchos enfoques nos permiten establecer que un número primo de la forma 4 n + 1 divide dicha suma. A menudo también utilizan el pequeño teorema de Fermat. La primera publicada, todavía debida a Euler, es cronológicamente el "último eslabón" de su demostración del teorema de los dos cuadrados. Un conocimiento más avanzado de la aritmética modular permite una demostración más rápida.
Demostraciones con y sin aritmética modular(Véase también el corolario de Lagrange de su teorema de "Wilson" , la primera ley complementaria a la ley de reciprocidad cuadrática , o E552 .)
De Fermat pequeño teorema demuestra que si una y b son dos números enteros entre 1 y p - 1, a continuación, un p -1 - b p -1 es un múltiplo de p , o de nuevo, denotando n el número entero (estrictamente positiva) tal que p = 4 n + 1: ( a 2 n - b 2 n ) ( a 2 n + b 2 n ) es un múltiplo de p . Como p es primo, uno de los dos factores es múltiplo de p . Basta con observar, entre 1 y p - 1, dos enteros a y b privilegiada entre ellos de tal manera que un 2 n - b 2 n no es un múltiplo de p : entonces, ( un n ) 2 + ( b n ) 2 voluntad ser un múltiplo de p de la forma deseada. Incluso vamos a imponer además b = 1.
En el campo conmutativo ℤ / p ℤ , el polinomio X 2 n - 1 tiene como máximo 2 n raíces , es decir, menos de 4 n , el número de elementos distintos de cero del campo. Por tanto, hay un número entero a que satisface las condiciones deseadas.
Considere la secuencia de polinomios Q i ( X ) definida por inducción de la siguiente manera:
Para cualquier entero i entre 1 y 2 n , el polinomio Q i es de grado 2 n - i y su coeficiente dominante es igual a (2 n ) (2 n - 1)… (2 n - i + 1). En particular, Q 2 n (1) = (2 n )! . Como p es primo y estrictamente mayor que 2 n , ¡no es un divisor de (2 n )!. O Q 2 N (1) es una combinación lineal con coeficientes enteros enteros Q 0 (1), Q 0 (2), ..., Q 0 (1 + 2 n ). Por lo tanto, al menos uno de estos valores no es un múltiplo de p , lo que finaliza la demostración.
Euler caracterizará de la misma manera a partir de entonces los números primos que dividen un número entero de la forma de un 2 + 2 b 2 , o de la forma de un 2 + 3 b 2 , con una y b privilegiada entre ellos ( ver a continuación ).
La primera parte de la demostración de Euler, presentada aquí, utiliza el método de descenso infinito de Fermat. Este método, que se utiliza a menudo en aritmética, se basa en las propiedades de los números enteros positivos . Ofrece un razonamiento del absurdo que consiste, con la ayuda de hipótesis, en construir una secuencia infinita estrictamente decreciente de enteros positivos. Como tal secuencia no existe, se demuestra que una hipótesis es falsa.
Las demostraciones de esta naturaleza se aplican de forma más natural a la obtención de la propiedad de inexistencia de soluciones. Fermat lo utiliza en particular para mostrar una proposición equivalente a la de su gran teorema para n igual a 4. La dificultad aquí consiste en aplicar este método para demostrar un resultado positivo: la existencia de una solución. Euler encuentra un método inteligente; primero establece el siguiente lema usando descendencia infinita:
Si un número entero n > 0 es la suma de dos cuadrados primos entre ellos , entonces cualquier divisor de n es la suma de dos cuadrados.
Nota: encontramos como corolario que dicho divisor no es de la forma 4 k - 1 .
Sus pasos preparatorios para este lema son:
En sus cartas a Goldbach, Euler señala que la propiedad de un entero p es la suma de dos cuadrados de números enteros. Con esta notación, también se detalla el argumento de Euler ( E228 ).
1 . Si y ( p primo, q entero), entonces . (Proposición 1). Prueba . O bien . Tenemos , de donde : así . Por otro lado, si definimos x e y por y , a continuación . Entonces , y dado que ( c , d ) = 1 , y . Entonces sigue eso . 2 . Si y ( p i primo, q entero), entonces . (Corollaria 1-4). Prueba . Inmediato por 1 y por un argumento de inducción sobre k . 3 . Si y ( p y q números enteros> 0), entonces existe un factor primordial p ' a p , . (Proposición 2). Prueba . Es el reverso de 2. 4 . Si es un número entero, entonces hay números enteros , con . (Proposición 3). Prueba . Para no negativo números enteros c y d de menos de p / 2, y . Entonces, ¿ dónde ? Como , no tiene factor primo con p , y así . 5 . Si es un número entero y , entonces . (Proposición 4). Prueba . De lo contrario, sea el número entero satisfactorio más pequeño y . Claramente . Por 4 no son números enteros c y d de tal manera que . Por 3 existe . Pero contradice la minimidad de q , que por tanto no puede existir. (Aquí, Euler da en cambio un argumento de descendencia infinita: no supone q mínimo, y reitera el proceso en p ' , luego en el entero menor que p' así obtenido, etc.).Una vez que se ha establecido este resultado, Euler, habiendo finalmente logrado demostrar que cualquier número primo p de la forma 4 n + 1 divide una suma de dos cuadrados primos entre ellos ( ver arriba ), deduce que p es una suma de dos cuadrados.
El mismo método le permitirá mostrar, por ejemplo, que si un y b son primos entre sí, un número primo de la forma 8 n - 1 o 8 n - 3 No se puede dividir un 2 + 2 b 2 (ya que sería entonces el propio de esta forma, lo cual es imposible, razonando " à la Diofanto ") y "un amigo" (tal vez Lexell ) le señalará que se muestra como un número primo de la forma 8 n ± 3 no puede dividir un 2 - 2 b 2 .
Lagrange persigue de forma más sistemática la investigación iniciada por su mentor y establece, entre otras cosas, el siguiente resultado:
Cualquier divisor de un número de la forma a α 2 + b αγ + c γ 2 con α y γ primos entre ellos es de la forma Au 2 + Buv + Cv 2 con B 2 - 4 AC = b 2 - 4 ac y | B | ≤ | A |, | C |.
DemostraciónDenote por m este divisor, mn = a α 2 + b αγ + c γ 2 , y β, δ enteros tales que αδ - βγ = 1 . Al realizar en q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 el cambio de variables x = α X + β Y , y = γ X + δ Y , construimos una forma cuadrática entera Q ( X , Y ) = a 'X 2 + b' XY + c 'Y 2 equivalente a q y tal que mn = q (α, γ) = Q (1, 0) = a' . Considere entonces la forma R ( X , Y ): = mX 2 + b'XY + nc 'Y 2 , con discriminante b' 2 - 4 MNC '= b' 2 - 4 a'c '= b 2 - 4 ac .
Para cualquier forma r ( U , V ) = AU 2 + BUV + CV 2 equivalente a R ( X , Y ) por un cambio de variables U = uX + sY , V = vX + tY con ut - sv = 1, tenemos r ( u , v ) = R (1, 0) = m , y el discriminante se mantiene: B 2 - 4 AC = b 2 - 4 ac . Entre estas formas r , elija una para la cual | B | es mínimo. El coeficiente de UV en r ( U + kV , V ) es igual a 2 Ak + B por lo tanto lo que prueba que | A | ≥ | B |. También mostramos que | C | ≥ | B |.
Sea p un número primo congruente con 1 módulo 4. Divide una suma de dos cuadrados primos entre ellos ( ver arriba ). De acuerdo con el teorema de Lagrange aplica a ( a , b , c ) = (1, 0, 1), es por lo tanto escribirse Au 2 + BUV + Cv 2 = p (> 0) con B 2 - 4 AC = -4 <0 (por lo tanto , A , C > 0) y –4 ≤ B 2 - 4 B 2 . Deducimos que B 2 es par y ≤ 4/3, por lo tanto B = 0 y A = C = 1, de modo que p = u 2 + v 2 .
La adición de una geometría euclidiana a la cuestión de los dos cuadrados es una contribución indiscutible. Permite introducir las herramientas del álgebra lineal en la aritmética. Sin embargo, abre más preguntas de las que responde. Quedan muy pocas herramientas disponibles para atacar el caso general. Gauss propone un nuevo enriquecimiento estructural del conjunto de pares de coordenadas enteras. El plano, que ya tiene una suma, un producto externo por un elemento de ℤ y una forma cuadrática, está adicionalmente equipado con una multiplicación interna. El punto ( a , b ) de coordenadas enteras se identifica con el complejo a + b i . El conjunto ℤ [ i ] de estos puntos tiene entonces una estructura de anillo cuyos elementos se denominan enteros gaussianos.
La forma cuadrática ahora se interpreta como estándar . Con un punto z se asocia la norma N ( z ) definida como el producto de zy su conjugado . La norma tiene una doble ventaja para el teorema de los dos cuadrados: la pregunta formulada se expresa en una forma simple N ( z ) = py la norma, que a un entero de Gauss asocia un entero positivo, es multiplicativa , c 'es decir decir:
(este avatar de la identidad de Diofanto se puede demostrar nuevamente usando que la conjugación es en sí misma multiplicativa).
Equipado con esta norma, el anillo es euclidiano , es decir, si b ≠ 0 y a son dos enteros gaussianos:
Cada anillo euclidiano también es factorial , lo que significa que el teorema fundamental de la aritmética todavía se aplica. Por lo tanto, hay números primos gaussianos y una descomposición de factores primos, únicos a excepción de los productos de los invertibles del anillo .
Las normas de la forma m 2 + 1 intervendrán a través de la primera ley complementaria de la ley de reciprocidad cuadrática , una simple reformulación del análisis realizado anteriormente de la propiedad “ p divide una suma de dos cuadrados primos entre ellos”:
Para cualquier número primo p ≠ 2, existe un entero m tal que p divide m 2 + 1 si y solo si p ≡ 1 mod 4.
DemostraciónSi p ≡ 1 mod 4 entonces p divide una suma de dos cuadrados, u 2 y v 2 , primos entre sí y por lo tanto primos con p , y tenemos –1 ≡ m 2 mod p , tomando por ejemplo m igual al producto de u por el inverso modular de v (y de lo contrario, p no divide ninguna suma de dos cuadrados primos entre ellos, en particular cualquier suma de la forma m 2 + 1).
Este nuevo marco estructural permite demostrar el teorema en unas pocas líneas. Si p es un número primo congruente con 1 módulo 4, el objetivo es mostrar la existencia de un entero gaussiano z tal que N ( z ) = p . Hay dos números enteros relativos m y q tal que m 2 + 1 = pq , en otras palabras:
Esta igualdad prueba que p no es primo como un entero gaussiano, ya que no divide ni m + i ni m - i , el número complejo ( m / p ) ± (1 / p ) i no es un entero gaussiano. Por tanto, existen, en el anillo de los enteros gaussianos, dos elementos no invertibles z 1 y z 2 cuyo producto es igual ap . Entonces, sus normas son diferentes de 1 y del producto igual ap 2 . Como p es primo, deducimos que estas dos normas son iguales ap , lo que finaliza la demostración.
Lema de Thue , que ha sido mostrada al principio del XX ° siglo, sino simplemente utiliza el principio del palomar de Dirichlet , se puede demostrar que para cualquier primer p ≠ 2, la condición de "-1 es un módulo cuadrado p ”, identificado anteriormente (§ “Gauss y sus enteros” y “Fermat y su pequeño teorema ” ) como equivalente ap ≡ 1 (mod 4) y necesario para que p sea la suma de dos cuadrados, también es suficiente. De manera más general (cf. " Aplicación del lema de Thue a las sumas de dos cuadrados "):
Un número entero n > 0 es la suma de dos cuadrados primos entre ellos si (y solo si) –1 es un cuadrado de módulo n .
Inmediatamente deducimos:
Don Zagier publicó en 1990 una demostración que constaba de una sola frase:
" Involución en el conjunto finito
definido por
tiene exactamente un punto fijo , entonces | S | es impar y la involución definida por
también tiene un punto fijo. "
En efecto, un cálculo elemental permite comprobar por un lado que estos dos mapas son efectivamente involuciones de S (de modo que la paridad del número de puntos fijos de cada uno de ellos es igual a la del número | S | d 'elementos de S ) y por otro lado que el primero tiene un punto fijo único (el triplete (1, 1, k ), donde k es el número entero tal que p = 4 k + 1). Esto prueba que la segunda involución tiene un número impar de puntos fijos, por lo que al menos uno, lo que permite escribir p en la forma x 2 + (2 y ) 2 .
Esta demostración se retomó posteriormente en particular en la obra Razones divinas . La prueba de Heath-Brown se inspiró en sí misma en la prueba de Liouville . La técnica de prueba es una analogía combinatoria del principio topológico de que la característica de Euler de un espacio topológico con una involución tiene la misma paridad que la del conjunto de sus puntos fijos . Es una reminiscencia del uso de involuciones de cambio de signo en las pruebas de biyecciones combinatorias. También se ha ofrecido una interpretación visual básica de esta evidencia.
Una vez que los números primos se conocen como la suma de dos cuadrados, es posible generalizar la pregunta a todos los números enteros:
Un número entero n > 0 es la suma de dos cuadrados de números enteros si, y solo si, en su factorización prima , los números primos congruentes con 3 módulo 4 aparecen a una potencia par.
DemostraciónEntonces, si n tiene la forma descrita en el teorema, entonces n es un producto de las sumas de dos cuadrados, por lo que n es la suma de dos cuadrados .
A la inversa, suponga que n = a 2 + b 2 . Sea d = pgcd ( a , b ), a '= a / d , b' = b / d , n '= a' 2 + b ' 2 = n / d 2 y p un número primo congruente con 3 módulo 4. Entonces ( ver arriba ) p no divide ninguna suma de dos cuadrados primos entre ellos. En particular, p no divide n ' . Su exponente en n es, por tanto, el mismo que en d 2 . Por tanto, es parejo.
En 1654, al final de una carta a Pascal , Fermat conjetura que para cualquier número primo p :
Los recíprocos son inmediatos, por razonamiento " a la Diofanto ".
Estas dos conjeturas son demostradas por primera vez por Euler, en 1759 y, para el caso p ≡ 3 mod 8, 1772.
Demostraciones de EulerUna cuestión natural es también identificar los enteros positivos que dividen una suma de dos cuadrados primos entre ellos, es decir ( ver arriba ) los enteros módulo que –1 es un cuadrado, por lo tanto (§ “ Lagrange et les quadratic forms ” o § “ Lema de Thue ”) los números enteros equivalen a la suma de dos cuadrados primos entre ellos.
M. Guinot, Aritmética para aficionados.