Anillo factorial

En matemáticas , un anillo factorial es un caso especial de un anillo integral . Al igual que los números enteros , existe un equivalente del teorema fundamental de la aritmética para tal estructura. Cualquier elemento de un anillo factorial se descompone en un producto de un elemento invertible y elementos irreducibles , siendo esta descomposición única a excepción de los elementos invertibles. Por ejemplo, en Z , el anillo de números enteros relativos , –2 es irreducible.

Los ejemplos de un anillo factorial no son infrecuentes. Todo anillo principal (es decir, integra y del que todo ideal es principal ) es factorial. Lo contrario no es cierto. Así, un anillo de polinomios con coeficientes en un anillo factorial k es siempre factorial también, pero es principal solo si el anillo k es un campo . En este sentido, el concepto de anillo factorial generaliza el de anillo principal. A su vez, puede generalizarse abandonando la hipótesis de unicidad de la descomposición en un producto de factores irreductibles. De este modo obtenemos la clase más grande de anillos atómicos .

Algunos resultados habituales de la aritmética elemental se aplican a un anillo factorial. Por lo tanto, el lema de Euclides se comprueba y es posible definir un máximo común divisor y el mínimo común múltiplo beneficiando propiedades casi habitual Z .

Definiciones

A lo largo de este párrafo, A denota un anillo integral . El grupo de unidades consiste en elementos que tienen una inversa en A .

La noción de anillo factorial se basa en tres definiciones:

se dice que un elemento de A es irreductible si no es ni invertible ni producto de dos elementos no invertibles;
se dice que dos elementos a y b distintos de cero de A están asociados si existe un elemento invertible u tal que a = ub (esta relación es una relación de equivalencia );
un elemento p de A se dice que es primordial si no es cero y no invertible y satisface Lema de Euclides , es decir, si por cualquier producto ab que es múltiplo de p , una o b es múltiplo de p .

La definición más común de un anillo factorial es:

Se dice que A es factorial si satisface las dos propiedades siguientes:

Para cualquier elemento a de A distinto de cero y no invertible, existe una secuencia finita p 1 , ..., p n de elementos irreducibles de A de los cuales a es el producto:

a = p_ {1} \ cdots p_ {n} \;

Si, para tal elemento a , tenemos dos secuencias p 1 ,…, p n y q 1 ,…, q m , entonces m = ny existe una permutación σ del conjunto {1,…, n } como así como elementos invertibles u 1 ,…, u n tales que p i = u i q σ ( i ) para todo i (la descomposición de a es única hasta el orden de los factores y hasta la asociación).

Es esta definición la que se utiliza a continuación, pero veremos, gracias a las primeras propiedades a continuación , que equivale a una definición más simple:

Se dice que A es factorial si cualquier elemento de A distinto de cero y no invertible es un producto de elementos primos.

Ejemplo: el anillo Z de números enteros relativos es factorial. Sus elementos invertibles son –1 y 1, por lo que se asocian dos enteros distintos de cero cuando son iguales o opuestos. Sus elementos irreductibles son primero los números enteros y sus opuestos. Cualquier elemento distinto de cero de Z se descompone en un producto de elementos irreducibles. Por ejemplo, –28 se descompone en (–2) .2.7. También se podría descomponer por ejemplo en (–7) .2.2 pero esta última descomposición se considera igual que la primera, porque se deduce de ella permutando los factores y multiplicándolos por invertibles.

Algunos anillos tienen elementos irreductibles particulares, por lo que un elemento positivo e irreducible de Z se llama número primo. En K [ X ] (si K es un campo), los elementos particulares son los polinomios unitarios irreducibles , es decir cuyo coeficiente del monomio dominante es igual a 1. Cada clase de equivalencia contiene un elemento irreducible único particular. Este enfoque permite normalizar la descomposición en factores irreductibles para que la unicidad sea absoluta, y ya no dependa únicamente de la permutación y la asociación.

Siempre es posible establecer una estandarización de esta naturaleza. Basta definir una familia ( p i ) de elementos irreductibles de modo que si i es diferente de j entonces p i no está asociado con p j y cualquier elemento irreducible está asociado con p i . El axioma de elección muestra que siempre es posible encontrar una familia máxima de elementos irreductibles de dos por dos no asociados: tomamos un representante por clase de asociación de elementos irreductibles. Esta estandarización se utiliza en el resto del artículo: no es necesaria pero permite aligerar las afirmaciones. Un no-cero elemento de una de un anillo factorial es así escrito en una manera única:

a = u \ prod _ {{i \ in I}} p_ {i} ^ {{v _ {{p_ {i}}} (a)}} ~,

donde u es un elemento invertible. La función v p i , desde A hasta el conjunto N de enteros naturales, se llama valoración p -ádica . El valor v p i ( a ) también se denomina orden de multiplicidad de p i en a .

En el resto del artículo, A designa un anillo factorial y ( p i ) tal familia de elementos irreductibles (a menos que se indique explícitamente lo contrario).

Motivación

La aritmética en el anillo de los enteros relativos permite demostrar muchos teoremas. Las demostraciones utilizan el hecho de que este anillo es euclidiano y, por lo tanto, principal. Por otro lado, muchos anillos no lo son, por ejemplo, el de polinomios con coeficientes en números enteros relativos o incluso polinomios en varios indeterminados en un campo conmutativo.

Este último ejemplo es importante: las variedades algebraicas se definen como las raíces de un ideal de polinomios con varias variables. Así, la esfera real se define como las raíces comunes de polinomios con tres múltiplos indeterminados de X 2 + Y 2 + Z 2 - 1. El anillo de funciones polinomiales definidas en la esfera no es ni euclidiana, ni siquiera principal. Por otro lado, es factorial.

En un anillo factorial, algunos teoremas fundamentales de los anillos principales siguen siendo ciertos. Así, el lema de Euclides, las propiedades de los múltiplos comunes más pequeños y de los divisores comunes más grandes o incluso el teorema fundamental de la aritmética siguen siendo válidos (este último se verifica por definición).

Ya no todos se aplican, por lo que un ideal principal no siempre es máximo. En Z [ X ], el anillo de polinomios con coeficientes en el anillo Z de enteros relativos, el ideal 2 Z [ X ] no es máximo y Z [ X ] / 2 Z [ X ] no es un campo porque la clase de X no es invertible. La identidad Bézout no siempre es cierta: en Z [ X ], los ítems 2 y X no tienen un factor común, sin embargo, el ideal generado por 2 y X no es el anillo completo. De hecho, un anillo factorial en el que se satisface la identidad de Bézout es un anillo principal.

Ejemplos y contraejemplos

El anillo Z es un ejemplo sencillo de anillo factorial. Otro ejemplo es el anillo Z [i] de los enteros de Gauss : los complejos escritos en la forma a + i b donde a y b son números enteros relativos.
Si K es un campo, entonces el anillo K [ X ] de polinomios con coeficientes en K es factorial. De manera más general, tan pronto como A es factorial, es lo mismo para A [ X 1 ,…, X n ].
Demostramos que cualquier anillo principal (más aún cualquier anillo euclidiano ) también es factorial.
Un anillo entero cuadrático no factorial (aunque completamente cerrado ) es Z [i √ 5 ]. Por ejemplo, 6 se divide en 2 x 3 y en (1 + i √ 5 ) x (1 - i √ 5 ).
Entre Z [ζ] donde ζ es una raíz de unidad , solo treinta son factoriales . Por ejemplo, Z [ $e i2π / n$ ] es factorial para 1 ≤ n ≤ 22, pero no para n = 23. Para encontrar una solución muy general a esta dificultad, Ernst Kummer crea números ideales , ahora formalizados por el trabajo de Richard Dedekind. a través del concepto del anillo Dedekind .
Cualquier subanillo estrictamente entre Z y Z [ $e i2π / 3$ ] no es factorial (porque no está completamente cerrado). Un contraejemplo famoso es el subanillo Z [i √ 3 ], en el que 4 tiene dos descomposiciones diferentes: 4 = 2 × 2 = (1 + i √ 3 ) (1 - i √ 3 ). Sospechamos fuertemente que Leonhard Euler se basó implícitamente en la factorialidad de Z [i √ 3 ] para un argumento importante e injustificado de su demostración del último teorema de Fermat en el caso n = 3 ( Álgebra 1770).
Un contraejemplo “geométrico” es el del cociente de K [ X , Y , Z ] por el ideal generado por X 2 - YZ . Sea p la aplicación de pasaje al cociente; p ( X 2 ) admite dos descomposiciones distintas en factores irreducibles: tenemos p ( X 2 ) = p ( X ) p ( X ) pero también p ( X 2 ) = p ( Y ) p ( Z ).
Un contraejemplo similar es el anillo de polinomios trigonométricos , en el que sen 2 = (1 + cos) (1 - cos). Es isomorfo al cociente de K [ X , Y ] por el ideal generado por X 2 + Y 2 - 1 = Y 2 - (1 + X ) (1– X ) o nuevamente, al cociente del contraejemplo anterior por el ideal generado por p ( Y + Z - 2).
Un contraejemplo más anecdótico es el del anillo Z / 4 Z : cualquier elemento distinto de cero y no invertible se escribe allí de una manera única (excepto una asociación) como un producto de elementos irreducibles, pero Z / 4 Z n 'no es factorial por falta de integridad.

Propiedades

Primeras propiedades

Cualquier anillo factorial es un anillo GCD .
Consulte la siguiente sección para obtener más detalles. Tal anillo satisface el lema de Gauss . En consecuencia :
- En un anillo factorial, todo elemento irreducible es primo.
- Cualquier anillo factorial A está completamente cerrado.
  En otras palabras, los únicos elementos del cuerpo de las fracciones que son números enteros de A (es decir raíces de un polinomio mónico con coeficientes en A ) son los elementos de A .

Un anillo integral es factorial si y solo si satisface las siguientes dos propiedades:

(1) Toda secuencia creciente de ideales principales es estacionaria. (2) Todo elemento irreductible es primo. Demostración

Si A satisface las dos propiedades (1) y (2), entonces es factorial: ver, por ejemplo, Antoine Chambert-Loir , “ Álgebra conmutativa ” , Universidad de Rennes 1 ,2005, p. 66-68 o el párrafo “Factorialidad de A , descomposición primaria” en la lección sobre anillos en Wikiversity .
Si el anillo es factorial entonces satisface las propiedades (1) y (2):
Sea σ la función de A \ {0} en el conjunto N de enteros naturales que a a asocia el número de factores no invertibles en la descomposición en factores irreductibles de a . La unicidad de la descomposición en un anillo factorial muestra que la función σ está bien definida.
Cualquiera de una y b dos elementos distintos de cero de A . La unicidad de la descomposición también muestra que σ ( ab ) = σ ( a ) + σ ( b ). Entonces, si c divide estrictamente a , entonces σ ( a ) es estrictamente mayor que σ ( c ).
- Cualquier secuencia creciente de ideales principales es estacionaria:
  Sea ( a n A ) una secuencia creciente de ideales principales. Si la secuencia de ( a n ) es constante igual a 0, la secuencia es estacionaria. De lo contrario, incluso si eso significa volver a indexar la secuencia, suponga que un 0 no es cero. Decir que el ideal a n +1 A contiene estrictamente el ideal a n A significa que a n +1 divide estrictamente a n . Esto solo puede suceder para un número finito (menor o igual que σ ( a 0 )) de enteros n , lo que demuestra que la secuencia es constante desde un cierto rango, es decir estacionaria.
- Todo elemento irreducible es primo:
  este es el lema de Euclides.

Deducimos por ejemplo:

Cada anillo principal es factorial.

Además, en el artículo " Anillo principal ", demostramos:

Cualquier anillo factorial de Dedekind es principal .

Divisor común y múltiplo

Sea ( un n ) una familia de elementos no nulos de A .

El máximo común divisor de estos elementos es, entre los divisores comunes a un n , la que es múltiplo de todos los demás. Corresponde única para el producto de una invertible: es el producto de todos los irreducibles p i presente en la descomposición en factores irreducibles de cada una n , cada uno asignado un exponente igual a la más pequeña de sus órdenes de multiplicidad en el un n .
El mínimo común múltiplo de una n es, entre los múltiplos comunes (si los hay) a estos elementos, el que es el divisor de todos los demás. Es único excepto por el producto por un invertible si existe (que es siempre el caso si el conjunto de un n es finito): es el producto de los factores p i presentes en la descomposición en factores irreductibles de menos uno de los a n , cada uno asignó un exponente igual al mayor de sus órdenes de multiplicidad en el a n .
El un n se dice que es primordial entre sí , o prime entre sí como un todo , si su máximo común divisor es igual a 1. Se dice que prime entre sí de dos en dos , si para cualquier par { m , n } de índices, un m y un n son primos entre sí.

Estas definiciones generalizan las nociones de mínimo común múltiplo y máximo común divisor . En este contexto, algunas de las propiedades verdaderas en un anillo principal todavía se aplican, otras no. La relación de orden parcial utilizada aquí (o más exactamente: preorden parcial) es divisibilidad: a es menor que b si es un divisor de b . Se expresa en términos de ideales por el orden inverso de inclusión: a es menor que b si el ideal generado por a contiene el ideal generado por b .

Sea ( un n ) una familia de elementos distintos de cero de A y un , b dos elementos distintos de cero de A .

Existe un elemento invertible u tal que ${\ text {pgcd}} (ba_ {n}) = u ~ b ~ {\ text {pgcd}} (a_ {n}).$
Si la familia ( a n ) es finita, existe un elemento invertible u tal que ${\ text {ppcm}} (ba_ {n}) = u ~ b ~ {\ text {ppcm}} (a_ {n}).$
Si la familia ( a n ) es finita y si los a n son coprime entre ellos de dos en dos, existe un elemento invertible u tal que ${\ text {ppcm}} (a_ {n}) = u ~ \ prod _ {n} a_ {n}.$
Existe un elemento invertible u tal que $ab = u ~ {\ text {ppcm}} (a, b) ~ {\ text {pgcd}} (a, b).$
El ideal principal más pequeño que contiene todos los a n es el ideal generado por el máximo común divisor de a n .

En efecto, basta con notar que un ideal principal, generado por un elemento d , contiene todos los a n si y solo si d divide todos los a n , es decir divide su máximo común divisor, de lo contrario dice si este ideal contiene que generado por el máximo común divisor. Este ideal principal más pequeño que contiene todos los a n contiene el ideal generado por la familia, pero cuando este último no es principal, la inclusión es estricta. Así, en Z [ X ], el ideal generado por 2 y X es el conjunto de polinomios cuyo término constante es par, pero el ideal principal más pequeño que lo contiene es el anillo completo. En un anillo principal, los dos ideales son iguales. Este resultado se conoce como el teorema de Bachet-Bézout .

Si el a n admite un mínimo común múltiplo, la intersección de los ideales generados por el a n es el ideal principal generado por este mínimo común múltiplo.
Si R denota la relación de equivalencia de asociación definida en el párrafo "Definiciones" y A * el conjunto de elementos distintos de cero del anillo, entonces el conjunto de cocientes A * / R de las clases de asociación, provisto con los operadores gcd y ppcm , formar una celosía .

Anillos de polinomios

Los anillos polinomiales representan la primera motivación histórica para los anillos factoriales. Si los coeficientes se eligen en un campo conmutativo, el anillo tiene una división euclidiana , de lo contrario aparece otra aritmética . En 1801, Carl Friedrich Gauss publicó un tratado al principio del cual mostró una propiedad, hoy llamada lema de Gauss sobre polinomios , que es el caso especial del anillo Z del lema siguiente sobre "contenido".

En este párrafo, A designa un anillo factorial y K su campo de fracciones . Es útil, para estudiar polinomios con coeficientes en A , explicar dos definiciones:

Se dice que un polinomio P de A [ X ] es primitivo si los únicos elementos de A que dividen todos los coeficientes de P al mismo tiempo son los invertibles, es decir, si P no es divisible por un polinomio constante no invertible.
El contenido de un polinomio P coeficientes no cero en K es un elemento de una de K de tal manera que hay un polinomio primitivo Q de A [ X ] de tal manera que aQ es igual a P . En este artículo, denotamos por cont ( P ) el contenido de P :

P = {\ text {cont}} (P) Q, \ quad {\ text {cont}} (P) \ in K, \ quad Q \ in A [X], \ quad Q \ {\ text {primitive} }.

Entre las siguientes propiedades, las dos primeras dan sentido a esta definición de contenido:

Cualquier polinomio distinto de cero con coeficientes en A (resp. K) tiene un contenido que pertenece a A (resp. K).
El contenido de un polinomio es único excepto por el producto de un elemento invertible de A.
Sean P y Q dos polinomios distintos de cero con coeficientes en K, se verifica la siguiente igualdad, excepto por el producto de un elemento invertible de A: ${\ text {cont}} (PQ) = {\ text {cont}} (P) {\ text {cont}} (Q).$

El siguiente resultado se conoce como el lema gaussiano en el caso en que A es el anillo ℤ de los enteros relativos:

Un polinomio no constante con coeficientes en A es irreducible en A [ X ] si y solo si es primitivo en A [ X ] e irreducible en K [ X ].

Deducimos el siguiente corolario:

Para cada número natural n, el anillo de n polinomios indeterminados A [ X 1 ,…, X n ] es factorial.

Demostraciones

Cualquier polinomio P distinto de cero con coeficientes en A (resp. K ) tiene un contenido perteneciente a A (resp. K ):
Si P tiene coeficientes en A , basta con establecer cont ( P ) = el mcd de sus coeficientes: el El cociente de P por este elemento de A será bastante primitivo. Si ahora los coeficientes de P están solo en K , es decir, son fracciones de elementos de A , volvemos al caso anterior reduciendo estas fracciones a un denominador común b (por ejemplo el producto de sus denominadores respectivos): P se escribe R / b con b elemento distinto de cero de A y R polinomio con coeficientes en A , al que se aplica el principio del razonamiento. De R = cont ( R ) Q con la primitiva Q deducimos P = (cont ( R ) / b ) Q , que muestra la proposición.
El contenido de un polinomio distinto de cero es único excepto por el producto de un elemento invertible de A :
si P tiene coeficientes en A , su contenido solo puede ser el mcd de sus coeficientes. Por tanto, se determina de forma única hasta producto mediante un invertible. Si ahora P = R / b con las mismas notaciones que antes, de P = cont ( P ) Q deducimos R = b .cont ( P ) Q por lo tanto cont ( R ) = b .cont ( P ), de modo que el contenido de P , igual al cociente por b del de R , está, como él, determinado de manera única hasta el producto por un invertible.
Sean P y Q dos polinomios distintos de cero con coeficientes en K , se verifica la siguiente igualdad, excepto por el producto de un elemento invertible de A : ${\ text {cont}} (PQ) = {\ text {cont}} (P) {\ text {cont}} (Q)$ Por definición del contenido, podemos suponer que P y Q tienen coeficientes en A , y basta con mostrar que entonces, si son primitivos, también lo es su producto. Ahora bien, si p es un elemento irreducible de A y si r (resp. S ) es el mayor de los índices de los coeficientes de P (resp. Q ) no divisible por p , entonces el coeficiente del índice r + s de PQ es un suma de productos, todos los cuales, excepto uno, son divisibles por p , de modo que esta suma no es divisible por p . (Una variante más abstracta de este razonamiento es: p es primo en A ya que A es factorial, por lo que A / pA es integral, por lo que el anillo ( A / pA ) [ X ] también lo es. Como P y Q son primitivos, sus imágenes por el morfismo canónico de A [ X ] en ( A / pA ) [ X ] son distintos de cero, por lo tanto, la imagen de PQ , producto de estas dos imágenes, también es distinta de cero.) Por lo tanto, ningún elemento irreducible p de A no es un divisor común a todos los coeficientes de PQ , por lo que este polinomio producido es bastante primitivo.
Deje que P sea un polinomio no constante con coeficientes en A . El polinomio es irreductible en A [ X ] si y solo si es primitivo en A [ X ] e irreducible en K [ X ]:
se trata de demostrar que si P es irreducible en A [ X ] entonces es primitivo, y que si P es primitivo, entonces su irreductibilidad (o reducibilidad) en A [ X ] es equivalente a la de K [ X ].
Suponga P irreducible en A [ X ] y observe la descomposición P = cont ( P ) Q : los dos factores están en A [ X ], entonces uno de los dos debe ser invertible, pero no puede ser Q (que es del mismo grado como P ). En consecuencia, cont ( P ) es invertible en A [ X ] por lo tanto en A , de modo que P es primitivo.
Supongamos ahora P primitivo y demuestre que es reducible en K [ X ] si y sólo si es reducible en A [ X ]. Si P es reducible en K [ X ] entonces existen dos polinomios B y C en K [ X ], no nulos y reversibles, y por lo tanto no constante, tal como P = B . C . La proposición anterior muestra la existencia en A [ X ] de dos polinomios Q y R de los mismos grados respectivos que B y C , por lo tanto no invertibles, tales como: $P = {\ text {cont}} (BC) QR = {\ text {cont}} (P) QR = QR,$ de modo que P es reducible en A [ X ]. Por el contrario, si P es reducible en A [ X ], es decir, producto de dos elementos no invertibles de A [ X ], entonces (dado que P es primitivo) los dos factores no son constantes, por lo tanto no son invertibles en K [ X ]. , de modo que P es reducible en K [ X ].
El anillo A [ X ] es factorial:
El método habitual, para demostrar la existencia y la "unicidad" (excepto por permutación y asociación) de la descomposición de un elemento P distinto de cero de A [ X ] en el producto d 'irreducible, consiste en utilizar su descomposición en el anillo K [ X ], que sabemos que es factorial (e incluso euclidiano ).
Sea P = P 1 … P m una descomposición de P en un producto de elementos irreducibles P i de K [ X ]. Para cada índice i , denotamos por c i “el” contenido (hasta el producto por una unidad de A ) de P i , y Q i el polinomio primitivo P i / c i . Según la proposición anterior, los Q i son irreductibles en A [ X ]. Ahora P = c Q 1 … Q m , denotando c el producto de c i . Este elemento c es igual al contenido de P , por lo que pertenece a A . Nota entonces c = p 1 ... p n "su" descomposición irreductible en una . Obtenemos una descomposición de P en el producto de los irreducibles de A [ X ]: P = p 1 … p n Q 1 … Q m .
Si P = r 1 … r n ' S 1 … S m' es otro (distinguiendo de la misma manera entre los factores, por notaciones diferentes, polinomios constantes y no constantes) entonces, por "unicidad" de la descomposición de P en K [ X ], m '= my (incluso si eso significa reordenar el S i ) S i = u i Q i donde u i es a priori en K , pero de hecho es igual al contenido de S i , por lo tanto es una reversión elemento de A . Mediante la eliminación de los dos producto p 1 ... p n y r 1 ... r n ' son por lo tanto asociados en A . Por factorialidad de A , tienen entonces (mismo número de factores, n '= n y) mismos factores (hasta permutación y asociación), lo que finaliza la prueba de unicidad de la descomposición de P en A [ X ].
Sea n un número natural, el anillo A [ X 1 ,…, X n ] es factorial:
Esta proposición (inmediata para n = 0 ya que es entonces el anillo A ) se deduce de la anterior por inducción sobre el número n de indeterminados, utilizando el isomorfismo natural de anillos entre A [ X 1 ,…, X n - 1 ] [ X n ] y A [ X 1 ,…, X n ].

La propiedad anterior admite una inversa, cuya prueba es fácil: si un anillo A es tal que A [ X ] es factorial, entonces A es factorial.

Notas y referencias

En un anillo noetheriano , la descomposición existe, pero no es única en general.
(en) Pierre Samuel , " Factorización única " , Amer. Matemáticas. Mes. , vol. 75, n o 9,Noviembre de 1968, p. 945-952 ( leer en línea )demuéstrelo como un ejemplo de aplicación de un teorema de Nagata (inverso parcial del hecho de que cualquier anillo de fracciones de un anillo factorial es factorial).
Esta caracterización se enuncia en el ejercicio 6 del capítulo 2 de Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detalle de ediciones ], p. 61 , con la aclaración de que la hipótesis de noetherianity no es necesaria.
(en) Hale F. Trotter , " Un ejemplo de factorización no única pasada por alto " , Amer. Matemáticas. Mes. , vol. 95, n o 4,Abril de 1988, p. 339-342 ( leer en línea ).
Por ejemplo, vea la sección "Factorialité de A , descomposición primaria" en la lección sobre los anillos en Wikiversity .
Carl Friedrich Gauss , Disquisitiones arithmeticae ,1801[ detalle de ediciones ], Párrafo 42 .
Encontramos estas dos definiciones, por ejemplo en la página El teorema de permanencia de la factorialidad (Gauss) del sitio les-mathematiques.net. Algunos autores optan por definir solo el contenido de un polinomio con coeficientes en A [ X ], por ejemplo, Chambert-Loir 2005 , p. 73.
Este teorema se extiende a cualquier anillo de polinomios en una infinidad de indeterminados, usando que tal anillo es la unión de sus subanillos de polinomios en un número finito de indeterminados: cf. N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas , AC VII § 3, ejercicio 2.
La demostración está tomada de (en) Serge Lang , Álgebra , Addison-Wesley ,1965, p. 127.
Las dos últimas demostraciones están inspiradas en Lang 1965 , p. 126-128.

Ver también

(en) PM Cohn , “ Unique Factorization Domains ” , Amer. Matemáticas. Mes. , vol. 80, n o 1,Enero de 1973, p. 1-18 ( DOI 10.2307 / 2319253 ) - Información general sobre factorialidad, incluido el caso de anillos no conmutativos.