Cuadrado (álgebra)

En aritmética y álgebra , el cuadrado es una operación de multiplicar un elemento por sí mismo. La noción se aplica primero a los números , y en particular a los números naturales , para los cuales el cuadrado está representado por una disposición cuadrada en el sentido geométrico del término. Un número que se puede escribir como el cuadrado de un número entero se llama cuadrado perfecto . Pero de manera más general, hablamos del cuadrado de una función , de una matriz o de cualquier tipo de objeto matemático para el que existe una operación denotada por multiplicación , como la composición de endomorfismos o el producto cartesiano .

Esta operación aparece en identidades notables , permite definir la función cuadrada y las ecuaciones cuadráticas , e interviene de manera fundamental en el teorema de Pitágoras y muchos otros resultados de todas las ramas de las matemáticas. En álgebra geométrica , define la medida del área de un cuadrado en función de la longitud de su lado.

En informática , el cálculo del cuadrado permite simplificar los cálculos de otras potencias mediante una rápida exponenciación .

En física , el cuadrado aparece en muchas fórmulas como la cinética de caída libre o la relación de Einstein E = mc² .

Operación digital

Notación y primeros ejemplos

El cuadrado se define para cualquier número $n$ como el resultado de multiplicar ese número por sí mismo, y lo denotamos con un número 2 por exponente : $n 2 = n \times n$ .

Los cuadrados de los primeros números enteros naturales , llamados cuadrados perfectos o números cuadrados , aparecen en la diagonal principal de la tabla de multiplicar .

Primeros cuadrados perfectos en la diagonal principal de la tabla de multiplicar

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	dieciséis	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	dieciséis	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	dieciséis	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

El cuadrado de un número tiene el mismo valor que el cuadrado de su opuesto según la regla de los signos . Pero las convenciones sobre el orden de precedencia de las operaciones significan que un signo menos (-) (asociado, por ejemplo, con la notación de un entero relativo ) no se tendrá en cuenta en el cuadrado en ausencia de paréntesis . Asimismo, cualquier expresión compuesta con al menos un operador (suma, producto, fracción…) debe estar rodeada de delimitadores (paréntesis o corchetes) antes de escribirse al cuadrado.

Reglas de cálculo

Para una suma o una diferencia de dos números, el cuadrado se puede calcular aplicando las primeras identidades notables :

(a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}

{\ Displaystyle (ab) ^ {2} = a ^ {2} -2ab + b ^ {2}}

La tercera identidad notable permite factorizar una diferencia de dos cuadrados:

{\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) \ times (ab)}

El cuadrado de una fracción se obtiene calculando el cociente del cuadrado del numerador por el cuadrado del denominador. Esta propiedad a veces se lleva por error al calcular el cuadrado de los decimales .

La identidad de Brahmagupta permite expresar el producto de dos sumas de dos cuadrados como una suma de dos cuadrados: cualesquiera que sean los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ ,

(Un 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) = (un c - b d) 2 + (un d + b c) 2

Desigualdad

Cualquier número natural $n$ es menor que su cuadrado: $n \leq n 2$ , con una desigualdad estricta tan pronto como $n \geq 2$ .

Esta desigualdad sigue siendo válida para todos los números reales mayores que 1, así como para todos los negativos, pero es falsa para los reales entre 0 y 1. Este fenómeno se visualiza en la curva de la función cuadrada , que está por encima de la primera bisectriz en $] -\infty, 0] \cup [1, + \infty [$ pero abajo en el intervalo $] 0, 1 [$ .

Asimismo, el cuadrado conserva las desigualdades entre reales positivos:

{\ Displaystyle \ forall a, b \ geqslant 0, \ quad a \ leq b \ iff a ^ {2} \ leq b ^ {2}}

pero invierte las desigualdades entre reales negativos, y no existe una regla simple para cuadrar la desigualdad entre reales. Estas propiedades corresponden al hecho de que la función cuadrada aumenta en $R +$ y disminuye en $R -$ .

Ecuación

Una ecuación de la forma $x 2 = a$ , de $x$ desconocida , tiene una solución real solo si el parámetro $a$ es positivo.

Si $a = 0$ , la única solución viene dada por $x = 0$ .

Si $a > 0$ , hay dos soluciones reales opuestas definidas con la raíz cuadrada : o . ${\ Displaystyle x = {\ sqrt {a}}}$ ${\ Displaystyle x = - {\ sqrt {a}}}$

Estas soluciones son enteras solo si $a$ es un cuadrado perfecto y son racionales solo si $a$ es un cociente de cuadrados perfectos. En particular, esta propiedad implica la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 .

Si $a <0$ , hay dos soluciones complejas que se pueden escribir y . De manera más general, si $a$ es un número complejo escrito en forma polar $a$ $=$ $r$ $.e$ $i$ $θ$ , entonces la ecuación $x$ $2$ $=$ $a$ tiene dos soluciones complejas opuestas y . ${\ Displaystyle \ mathrm {i} {\ sqrt {\ left | a \ right |}}}$ ${\ Displaystyle - \ mathrm {i} {\ sqrt {\ left | a \ right |}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {r}}. \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta / 2}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {r}}. \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ theta / 2 + \ pi)}}$

Desigualdad

Las desigualdades de la forma $x 2 < a$ , $x 2 \leq a$ , $x 2 \geq a$ , $x 2 > tiene$ se pueden resolver usando una tabla de los signos de la diferencia $x 2 - a$ : ${\ Displaystyle {\ begin {array} {| c | ccccccc |} \ hline x & - \ infty && - {\ sqrt {a}} && {\ sqrt {a}} && + \ infty \\\ hline x ^ {2} -a && + & 0 & - & 0 & + & \\\ hline \ end {array}}}$

Aritmética

En el conjunto de números naturales

Los cuadrados perfectos forman un entero más infinito (continuación A000290 de OEIS ) de densidad cero, las diferencias entre términos consecutivos forman la secuencia de enteros impares y cuya serie asociada está definida por las sumas parciales:

{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}}

El cuadrado se usa en algunas ecuaciones diofánticas como la relación $a 2 + b 2 = c 2$ de triples pitagóricos .

El teorema de los cuatro cuadrados muestra que cualquier entero natural se descompone en una suma de cuatro cuadrados perfectos.

El teorema de los dos cuadrados de Fermat da una condición necesaria y suficiente para que un número entero $n$ se divida en una suma de dos cuadrados perfectos, dependiendo de la factorización prima de $n$ .

Aritmética modular

En aritmética modular , si $p$ es un número primo impar, el conjunto de cuadrados de módulo $p$ distintos de cero forma un subgrupo de índice 2 en el grupo $F p *$ de residuos de módulo $p$ distintos de cero , llamados residuos cuadráticos . La determinación de si un residuo $r$ es un módulo cuadrado $p$ se formula con el símbolo de Legendre : . La determinación de los residuos cuadráticos módulo cualquier número natural $n se$ basa en el símbolo de Jacobi . ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {r} {p}} \ right) = 1}$

Encontrar soluciones a una ecuación $x 2 \equiv 1$ módulo un número entero $n$ es equivalente a la factorización prima de $n$ .

Otras areas

Conjunto de parejas

Dado un conjunto $E$ , su cuadrado $E 2 = E \times E$ es el conjunto de pares de elementos de $E$ . Si $E$ es finito , su cardinalidad se escribe $card (E 2 ) = (card (E)) 2$ . En particular, para un gráfico con un gran número de vértices $n$ , el conjunto de aristas se describe mediante una parte de un conjunto de $n 2$ elementos. Por ejemplo, si cada vértice representa un sitio web , ya que hay más de mil millones en 2021), los vínculos entre ellos se pueden representar mediante una matriz de más de mil millones de elementos.

La notación $R 2$ indica el plano euclidiano provisto de un sistema de coordenadas ortonormal por asimilación de los puntos con sus pares de coordenadas cartesianas en geometría analítica .

Álgebra lineal

Para un endomorfismo $u$ en un espacio vectorial $E$ , el cuadrado generalmente representa su iterado , es decir, el compuesto $u 2 = u \circ u$ del endomorfismo consigo mismo. Si el endomorfismo está representado por una matriz cuadrada $M$ , su cuadrado $u 2$ está representado por $M 2$ .

Un proyector es un $p$ idempotente endomorphism , es decir que satisface la relación $p 2 = p$ . Una simetría vectorial es un endomorfismo involutivo $s$ , es decir que satisface la relación $s$ $2$ $= id$ .

Resolver una ecuación de la forma $u 2 = v$ en el conjunto de matrices cuadradas se puede facilitar si el endomorfismo $v$ es diagonalizable . En este caso, los espacios propios de $v$ son estables por $u$ , y si los valores propios son cuadrados, cada solución está definida por una familia de simetrías vectoriales en estos subespacios.

Probabilidades y estadísticas

La expectativa del cuadrado de una variable aleatoria real $X$ es su segundo momento $m 2 = E (X 2 )$ . Su varianza es igual según la fórmula de Koenig-Huygens a la diferencia entre la expectativa del cuadrado y el cuadrado de la expectativa: $V (X) = E (X 2 ) - ( E (X)) 2$ , y luego define el cuadrado de la desviación estándar .

Personaje

En Unicode , el carácter U + 00B2 ² exponente de dos ( HTML : ² ²) .

Notas y referencias

1,197,982,359 sitios según la Encuesta de servidores web del 12 de febrero de 2021.

Fuente principal de este artículo: clase de matemáticas nivel 3 e / 2 de

Ver también