Factorial

En matemáticas , el factorial de un número natural n es el producto de enteros estrictamente positivos menores o iguales an .

Esta operación se indica con un signo de exclamación , n !, Que dice "factorial de n ", "factorial n" o "n factorial" (la última expresión es la menos utilizada). Esta notación fue introducida en 1808 por Christian Kramp .

Por ejemplo, el factorial 10 expresa el número de posibles combinaciones de ubicación de los 10 invitados alrededor de una mesa (decimos la permutación de los invitados). El primer invitado se sienta en uno de los 10 lugares a su disposición. Cada una de sus 10 ubicaciones abre 9 nuevas posibilidades para el segundo huésped, estas 8 para el tercero, y así sucesivamente.

El factorial juega un papel importante en el álgebra combinatoria porque hay n ! diferentes formas de permutar n objetos. Aparece en muchas fórmulas en matemáticas, como la fórmula binomial y la fórmula de Taylor .

Definición

no	n !
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5,040
8	40,320
9	362,880
10	3.628.800
11	39 916 800
12	479 001600
13	6 227020 800
14	87 178 291 200
15	1,307,674,368,000
dieciséis	20,922,789,888,000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	12164510040832000
20	2.432.902.008 176.640.000
...	...
25	1,551 121 004 333 098 598 4 × 10 25
Notas: Consulte la siguiente A000142 de OEIS para obtener más ejemplos. La parte decimal del valor de 25!, Que se muestra en notación científica, es correcta.

Sea n un número natural. Su factorial se define formalmente por:

{\ Displaystyle n! = \ prod _ {1 \ leqslant i \ leqslant n} i = 1 \ times 2 \ times 3 \ times \ ldots \ times (n-1) \ times n.}

La tabla de la derecha muestra los primeros factoriales; por ejemplo, tenemos

1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1 × 2 × 3 = 6
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 3.628.800

¡Valor de 0!

Esta definición también da

0! = 1

ya que por convención, el producto vacío es igual al elemento neutro de la multiplicación. Esta convención es útil aquí porque permite que las fórmulas de recuento obtenidas en el análisis combinatorio sigan siendo válidas para tamaños cero. En particular, el número de arreglos o permutaciones del conjunto vacío es igual a 1.

También existe una definición por inducción (equivalente) del factorial:

0! = 1.
Para cualquier número entero n > 0, n ! = ( n - 1)! × n .

Finalmente, la función Gamma , que amplía analíticamente el factorial, da un resultado consistente:

{\ Displaystyle \ Gamma (n) = (n-1)! \ qquad n \ in \ mathbb {N} _ {0},}

{\ Displaystyle \ Gamma (1) = 1 = 0!}

Propiedades

La inversa del factor son los coeficientes de expansión en series de potencia de la función exponencial : ${\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}}$ ,el caso $x$ = 1 dando el valor de la constante $e$ : $\ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} {\ frac 1 {n!}} = {\ mathrm e} = 2,718 \, 281 \, 828 \, 459 \ ldots$ .
Los n - 1 enteros consecutivos n ! + 2, n ! + 3,…, n ! + n son compuestos . Entonces hay enteros enteros tan grandes como queramos donde no hay un número primo .

Generalización

La función factorial tiene que extenderse a todos los números complejos que no sean enteros estrictamente negativos, la aplicación z ↦ Γ ( z + 1) donde Γ denota la función gamma de Euler . De hecho, para cualquier número natural n , tenemos:

n! = \ int _ {0} ^ {{\ infty}} t ^ {n} {{\ rm {e}}} ^ {{- t}} {{\ rm {d}}} t = \ Gamma (n + 1).

Además, la función z ↦ Γ ( z + 1) satisface la misma relación de recurrencia que el factorial:

{\ Displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ setminus (- \ mathbb {N}), \ quad \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z).}

Esta visión de la función gamma (traducida) como una extensión privilegiada del factorial se justifica por las siguientes razones:

las dos funciones comparten la misma definición recurrente;
la función gamma se utiliza generalmente en un contexto similar (aunque más general) al factorial;
la función gamma es la única función que satisface esta definición de inducción sobre números complejos, que es holomórfica y cuyo logaritmo de la restricción a reales positivos es convexo ( teorema de Bohr-Mollerup ).

Sin embargo, existen otras extensiones con "buenas propiedades" como " Función gamma Hadamard (in) ", que está completa .

Aproximación

La fórmula de Stirling da un equivalente de n ! cuando n es grande:

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {n!} {{\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {\ mathrm {e}}} \ derecha) ^ {n}}} = 1}

de donde

{\ Displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \, {\ left ({\ frac {n} {\ mathrm {e}}} \ right)} ^ {n}}

donde el número $e$ denota la base del exponencial .

¡Deducimos una aproximación del logaritmo de n ! :

{\ Displaystyle \ ln \ left (n! \ right) \ simeq n \ ln \ left (n \ right) -n}

Ejemplos de aplicaciones

En combinatoria , existe n ! diferentes formas de organizar n objetos distintos (es decir, n ! permutaciones ). Y el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n viene dado por el coeficiente binomial :

{n \ elija k} = {n! \ over k! (nk)!}.

Los factoriales también aparecen en el análisis . Por ejemplo, el teorema de Taylor , que expresa el valor en x de una función f como una serie entera , involucra el factorial n ! para el término correspondiente a la n- ésima derivada de f en x .

El volumen de una hiperesfera incluso en una dimensión $n$ se puede expresar mediante:

{\ Displaystyle \ mathrm {V} _ {n} = {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} \ mathrm {R} ^ {n}} {\ left ({\ frac {n} {2}} \ derecha)!}}.}

Los factoriales se utilizan ampliamente en la teoría de la probabilidad .

Los factoriales se utilizan a menudo como ejemplo, con la secuencia de Fibonacci , para aprender la recursividad en informática debido a su simple definición recurrente.

Teoría de los números

Los factoriales tienen muchas aplicaciones en la teoría de números .

Por ejemplo, el teorema de Wilson muestra que un número entero n > 1 es primo si y solo si ( n - 1). ≡ –1 (mod n ).

En particular, si n es primo, entonces no divide ( n - 1)!, Lo que además puede deducirse directamente del lema de Euclides ; lo contrario es casi cierto: si n es un número compuesto distinto de 4, ¡entonces ( n - 1)! ≡ 0 (mod n ).

Una prueba de este último enunciado usa que un producto P de k enteros consecutivos siempre es divisible por k (ya que uno de los k factores lo es ). De hecho, ¡ P es incluso divisible por k ! podemos probarlo expresando P / k ! como un coeficiente binomial , o comparando, para cualquier número primo p , la multiplicidad de p en las descomposiciones en factores primos de P y k !, gracias a la fórmula de Legendre .

El único factorial que también es un número primo es 2, ¡pero hay números primos de la forma n ! ± 1, llamados números primos factoriales .

Variantes

Muchos autores han definido funciones similares, creciendo aún más rápidamente, así como productos restringidos solo a ciertos números enteros. Así encontramos en la literatura las funciones primorial , multifactorial, superfactorial, hiperfactorial, etc. Pero no parece que, a diferencia del factorial, omnipresente en la mayoría de las ramas de las matemáticas, estas otras funciones hayan tenido muchas aplicaciones además de las recreativas , salvo las primordiales; En cuanto a su uso para denotar números muy grandes , las notaciones de Knuth y las de Conway demuestran ser más manejables y mucho más efectivas.

Algoritmo

El cálculo del factorial se puede traducir mediante el siguiente algoritmo recursivo , escrito en pseudocódigo :

Fonction factorielle (n: entier): entier Début Si n > 1 Retourner n * factorielle(n - 1) Sinon Retourner 1 Fin si Fin

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Factorial " ( ver la lista de autores ) .

Jean Dieudonné , Por el honor del espíritu humano: matemáticas hoy , Hachette ,1988, 316 p. ( ISBN 978-2-01-014000-6 , OCLC 20000703 ) , pág. 102.
(in) HM Srivastava y Junesang Choi, Funciones Zeta y q-Zeta y series e integrales asociadas , Elsevier,2011( leer en línea ) , pág. 124.
Gauss , Investigación aritmética , § 127 .
" ¿Son estas la misma prueba? " , En el weblog de Gowers ,2010.
Especialmente en OEIS .

Ver también

enlaces externos

factorial n! en el sitio factorielle.free.fr
(es) Peter Luschny, " Funciones factoriales rápidas "