Número de Fermat
Un número de Fermat es un número que se puede escribir en la forma 2 2 n + 1, con n entero natural . El n- ésimo número de Fermat, 2 2 n + 1, se denota por F n .
Estos números deben su nombre a Pierre de Fermat , quien conjeturó que todos estos números eran primos . Esta conjetura resultó ser falsa, siendo F 5 compuesta, así como todas las posteriores hasta F 32 . No se sabe si los números que comienzan en F 33 son primos o compuestos. Por lo tanto, los únicos números primos de Fermat conocidos son cinco, es decir, los primeros cinco F 0 , F 1 , F 2 , F 3 y F 4 , que son respectivamente 3, 5, 17, 257 y 65.537.
Los números de Fermat tienen propiedades interesantes, generalmente derivadas de la aritmética modular . En particular, el teorema de Gauss-Wantzel establece un vínculo entre estos números y la construcción de la regla y el compás de los polígonos regulares: un polígono regular con n lados se puede construir usando una regla y un compás si y solo si n es una potencia de 2, o el producto de una potencia de 2 y números primos distintos de Fermat.
Historia
En 1640 , en una carta dirigida a Bernard Frénicle de Bessy , Pierre de Fermat enuncia su pequeño teorema y comenta: “ Y esta proposición es generalmente cierta en todas las progresiones y en todos los números primos; de la cual te enviaré la demostración, si no tengo miedo de demorarme demasiado . " Este teorema le permitió estudiar los números que ahora llevan su nombre. En la misma carta, conjetura que todos estos números son primos pero reconoce: " Todavía no he podido demostrar necesariamente la verdad de esta proposición " . Esta hipótesis le fascina; dos meses después, en una carta a Marin Mersenne , escribió: “ Si una vez puedo sostener la razón fundamental de que 3, 5, 17, etc. son números primos, me parece que encontraré cosas muy bonitas en este asunto, porque ya he encontrado cosas maravillosas que compartiré contigo . " Incluso escribió Blaise Pascal : " Yo no le pediría a trabajar a esta pregunta si podía resolver por mí mismo " . En una carta a Kenelm Digby , sin fecha pero enviada por Digby a John Wallis el16 de junio de 1658, Fermat todavía da su conjetura como no probada. Sin embargo, en una carta de 1659 a Pierre de Carcavi , se expresa en términos que, según algunos autores, implican que cree haber encontrado una demostración. Si Fermat presentó esta conjetura a sus principales corresponsales, por otro lado está ausente de la Aritmética de Diofanto reeditada en 1670, donde su hijo transcribió las otras cuarenta y siete conjeturas que luego fueron probadas. Ésta es la única suposición errónea de Fermat.
En 1732 , el joven Leonhard Euler , a quien Christian Goldbach había informado de esta conjetura tres años antes, la refuta: F 5 es divisible por 641. No revela la construcción de su prueba hasta quince años después. Utiliza un método similar al que le había permitido a Fermat factorizar los números de Mersenne M 23 y M 37 .
Es probable que los únicos números primos de esta forma sean 3, 5, 17, 257 y 65.537, porque Boklan y Conway han prepublicado enMayo de 2016 un análisis muy fino que estima que la probabilidad de que otro número primo sea menor que uno en mil millones.
Propiedades
Primeras propiedades
La secuencia de números de Fermat tiene varias relaciones de recurrencia . Podemos citar por ejemplo si n es mayor o igual que 2:
Fno = (Fno-1-1)2+1otuFno=Fno-12-2(Fno-2-1)2{\ Displaystyle F_ {n} \ = \ (F_ {n-1} -1) ^ {2} +1 \ quad {\ rm {o}} \ quad F_ {n} = F_ {n-1} ^ { 2} -2 (F_ {n-2} -1) ^ {2}}![{\ Displaystyle F_ {n} \ = \ (F_ {n-1} -1) ^ {2} +1 \ quad {\ rm {o}} \ quad F_ {n} = F_ {n-1} ^ { 2} -2 (F_ {n-2} -1) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008ad6ad41b00da4c190bc8c32d6868f2dcdee41)
o de nuevo, con productos de números Fermat:
Fno = ∏I=0no-1FI + 2otuFno=Fno-1+22no-1∏I=0no-2FI.{\ Displaystyle F_ {n} \ = \ \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} F_ {i} \ + \ 2 \ quad {\ rm {o}} \ quad F_ {n} = F_ { n-1} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} \ prod _ {i = 0} ^ {n-2} F_ {i}.}![{\ Displaystyle F_ {n} \ = \ \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} F_ {i} \ + \ 2 \ quad {\ rm {o}} \ quad F_ {n} = F_ { n-1} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} \ prod _ {i = 0} ^ {n-2} F_ {i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b44435d36588d35df32727e42d545d7adab6e00)
Deducimos de esto el teorema de Goldbach afirmando que:
Dos números de Fermat distintos son primos entre sí .
Sea D ( n , b ) el número de dígitos utilizados para escribir F n en la base b .
D(no,B)=⌊Iniciar sesiónB(22no+1)+1⌋≈⌊2noIniciar sesiónB2+1⌋.{\ Displaystyle D (n, b) = \ left \ lfloor \ log _ {b} \ left (2 ^ {2 ^ {\ overset {n} {}}} + 1 \ right) +1 \ right \ rfloor \ aprox \ lpiso 2 ^ {n} \, \ log _ {b} 2 + 1 \ rfloor.}![{\ Displaystyle D (n, b) = \ left \ lfloor \ log _ {b} \ left (2 ^ {2 ^ {\ overset {n} {}}} + 1 \ right) +1 \ right \ rfloor \ aprox \ lpiso 2 ^ {n} \, \ log _ {b} 2 + 1 \ rfloor.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84780afa6c27391e2c3c47e1c2f30bb541e5554f)
Los corchetes denotan la función entera y log b el logaritmo base b .
Los números primos de Fermat no son números brasileños, mientras que los números compuestos de Fermat son todos números brasileños .
Demostraciones
- Fno = (Fno-1-1)2+1otuFno=Fno-12-2(Fno-2- 1)2.{\ Displaystyle F_ {n} \ = \ (F_ {n-1} -1) ^ {2} +1 \ quad {\ rm {o}} \ quad F_ {n} = F_ {n-1} ^ { 2} -2 (F_ {n-2} - \ 1) ^ {2}.}
![{\ Displaystyle F_ {n} \ = \ (F_ {n-1} -1) ^ {2} +1 \ quad {\ rm {o}} \ quad F_ {n} = F_ {n-1} ^ { 2} -2 (F_ {n-2} - \ 1) ^ {2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bba739ade4d3b1acfbdba3c411e3f031d82a865)
En efecto :
Fno = 22no+1 = (22no-1)2+1 = (Fno-1 - 1)2+1 = Fno-12-2Fno-1+2 = Fno-12-2(Fno-2 - 1)2.{\ Displaystyle F_ {n} \ = \ 2 ^ {2 ^ {n}} + 1 \ = \ (2 ^ {2 ^ {n-1}}) ^ {2} +1 \ = \ (F_ {n -1} \ - \ 1) ^ {2} +1 \ = \ F_ {n-1} ^ {2} -2F_ {n-1} +2 \ = \ F_ {n-1} ^ {2} - 2 (F_ {n-2} \ - \ 1) ^ {2}.}
- Fno = ∏I=0no-1FI + 2otuFno=Fno-1+22no-1∏I=0no-2FI.{\ Displaystyle F_ {n} \ = \ \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} F_ {i} \ + \ 2 \ quad {\ rm {o}} \ quad F_ {n} = F_ { n-1} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} \ prod _ {i = 0} ^ {n-2} F_ {i}.}
![{\ Displaystyle F_ {n} \ = \ \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} F_ {i} \ + \ 2 \ quad {\ rm {o}} \ quad F_ {n} = F_ { n-1} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} \ prod _ {i = 0} ^ {n-2} F_ {i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b44435d36588d35df32727e42d545d7adab6e00)
Una recurrencia y la siguiente igualdad permiten calcular el primer producto:
Fno-2=(Fno-1 -1)2-1 = Fno-1(Fno-1-2).{\ Displaystyle F_ {n} -2 = (F_ {n-1} \ -1) ^ {2} -1 \ = \ F_ {n-1} (F_ {n-1} -2).}![{\ Displaystyle F_ {n} -2 = (F_ {n-1} \ -1) ^ {2} -1 \ = \ F_ {n-1} (F_ {n-1} -2).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4865f4dd7f609b7872c03ce5e06f0daf8257358)
La segunda igualdad sigue:
Fno=22no+1 = 22no-1+1+22no-1(22no-1-1) = Fno-1+22no-1(Fno-1-2)=Fno-1 + 22no-1∏I=0no-2FI.{\ Displaystyle F_ {n} = 2 ^ {2 ^ {n}} + 1 \ = \ 2 ^ {2 ^ {n-1}} + 1 + 2 ^ {2 ^ {n-1}} (2 ^ {2 ^ {n-1}} - 1) \ = \ F_ {n-1} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} (F_ {n-1} -2) = F_ {n-1} \ + \ 2 ^ {2 ^ {n-1}} \ prod _ {i = 0} ^ {n-2} F_ {i}.}
- Dos números de Fermat distintos son primos entre sí.
Dejar que n y m ser dos números enteros positivos tales que n es estrictamente mayor que m . Demostremos que el único factor común a F n y F m es 1. Un cálculo anterior muestra que
Fno=qFmetro+2sIq=(∏I=0metro-1FI)(∏I=metro+1no-1FI){\ Displaystyle F_ {n} = qF_ {m} +2 \ quad {\ rm {si}} \ quad q = \ left (\ prod _ {i = 0} ^ {m-1} F_ {i} \ right ) \ left (\ prod _ {i = m + 1} ^ {n-1} F_ {i} \ right)}![{\ Displaystyle F_ {n} = qF_ {m} +2 \ quad {\ rm {si}} \ quad q = \ left (\ prod _ {i = 0} ^ {m-1} F_ {i} \ right ) \ left (\ prod _ {i = m + 1} ^ {n-1} F_ {i} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1cb7b6028b22e3e7db39b3912f911c3403759f)
por lo tanto, un divisor común a F n y F m también es un divisor de 2. Sin embargo, 2 no divide a F n . Por lo tanto, estos tres números enteros son primos entre ellos de dos en dos.
- D(no,B)=⌊Iniciar sesiónB(22no+1)+1⌋≈⌊2noIniciar sesiónB2+1⌋.{\ Displaystyle D (n, b) = \ left \ lfloor \ log _ {b} \ left (2 ^ {2 ^ {n}} + 1 \ right) +1 \ right \ rfloor \ approx \ left \ lfloor 2 ^ {n} \, \ log _ {b} 2 + 1 \ right \ rfloor.}
![{\ Displaystyle D (n, b) = \ left \ lfloor \ log _ {b} \ left (2 ^ {2 ^ {n}} + 1 \ right) +1 \ right \ rfloor \ approx \ left \ lfloor 2 ^ {n} \, \ log _ {b} 2 + 1 \ right \ rfloor.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539b0ba496325267a95fdf06805cd1296137a0cd)
Basta notar que el número de dígitos necesarios para escribir un número entero a en base b es igual a la parte entera de log b ( a ).
Número de Fermat y primordialidad
La razón histórica del estudio de los números de Fermat es la búsqueda de números primos. Fermat ya estaba familiarizado con la siguiente propuesta:
Sea k un entero estrictamente positivo; si el número 2 k + 1 es primo, entonces k es una potencia de 2.
Demostración
Hay dos números enteros a impar y b tales que k = a 2 b . Al establecer c = 2 (2 b ) , tenemos las siguientes igualdades:
2k+1=vsa+1=(vs+1)∑I=0a-1(-1)IvsI,{\ Displaystyle 2 ^ {k} + 1 = c ^ {a} + 1 = (c + 1) \ sum _ {i = 0} ^ {a-1} (- 1) ^ {i} c ^ {i },}![{\ Displaystyle 2 ^ {k} + 1 = c ^ {a} + 1 = (c + 1) \ sum _ {i = 0} ^ {a-1} (- 1) ^ {i} c ^ {i },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0c981703dfa784dea6238139136957ebdf0ab6)
que muestran que c + 1 es un divisor del número primo 2 k + 1 y por lo tanto es igual a él, de modo que k = 2 b .
Fermat conjeturaba (erróneamente, como hemos visto) que lo contrario era cierto; mostró que los cinco números
F0=21+1=3,F1=22+1=5,F2=24+1=17,F3=28+1=257mitF4=2dieciséis+1=sesenta y cinco537son primos.{\ Displaystyle F_ {0} = 2 ^ {1} + 1 = 3, \ quad F_ {1} = 2 ^ {2} + 1 = 5, \ quad F_ {2} = 2 ^ {4} + 1 = 17, \ quad F_ {3} = 2 ^ {8} + 1 = 257 \ quad {\ rm {y}} \ quad F_ {4} = 2 ^ {16} + 1 = 65 \, 537 \ quad {\ texto {son primos.}}}![{\ Displaystyle F_ {0} = 2 ^ {1} + 1 = 3, \ quad F_ {1} = 2 ^ {2} + 1 = 5, \ quad F_ {2} = 2 ^ {4} + 1 = 17, \ quad F_ {3} = 2 ^ {8} + 1 = 257 \ quad {\ rm {y}} \ quad F_ {4} = 2 ^ {16} + 1 = 65 \, 537 \ quad {\ texto {son primos.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31f7b54fa288ff375c399c4da9152f64de4f52c)
Actualmente, solo se conocen cinco números primos de Fermat, los mencionados anteriormente.
Aún no sabemos si hay otros, pero sabemos que los números de Fermat F n , para n entre 5 y 32, son todos compuestos; F 33 es el número de Fermat más pequeño que no sabemos si es primo o compuesto.
En 2013, el mayor número de Fermats que se sabía que estaban formados fue: F 2 747 497 ; uno de sus divisores es el número primo de Proth 57 × 2 2 747 499 + 1.
Factorización de números de Fermat compuestos
Euler demuestra el teorema:
Cualquier factor prima de un número Fermat F n es de la forma k. 2 n 1 + 1, donde k es un entero.
( Lucas incluso demostró más tarde que cualquier factor primo de un número de Fermat F n es de la forma k. 2 n +2 + 1).
Esto le permite encontrar rápidamente:
F5=232+1=4294967297=641×6700417{\ Displaystyle F_ {5} = 2 ^ {32} + 1 = 4 \, 294 \, 967 \, 297 = 641 \ times 6 \, 700 \, 417}
( semi-prima ).
(641=10×25+1+1=5×25+2+1){\ displaystyle (641 = 10 \ times 2 ^ {5 + 1} + 1 = 5 \ times 2 ^ {5 + 2} +1)}![{\ displaystyle (641 = 10 \ times 2 ^ {5 + 1} + 1 = 5 \ times 2 ^ {5 + 2} +1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e732e8f6ddc7da34712542e99b0c65ec72d33fc)
Demostraciones
-
Cualquier factor primo p de un número de Fermat F n es de la forma k. 2 n 1 + 1, donde k es un entero.
Módulo p , F n es congruente con 0, por lo tanto, 2 2 n es congruente con –1, de modo que el orden multiplicativo de 2 en el anillo ℤ / p ℤ es igual a 2 n +1 . Ahora bien, este orden multiplicativo es un divisor de p - 1 , lo que finaliza la prueba.
-
F5=641×6 700 417.{\ Displaystyle F_ {5} = 641 \ times 6 ~ 700 ~ 417.}
![{\ Displaystyle F_ {5} = 641 \ times 6 ~ 700 ~ 417.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf08c37184badb30382fa6ee584eaf40d9e7514)
Podemos verificarlo mediante un cálculo simple, pero expliquemos cómo Euler descubrió el divisor 641. Buscamos un número entero k tal que el número p = 64 k + 1 sea divisor primo y estricto de F 5 . Los primeros valores de k no son adecuados, pero a partir de k = 10, vemos que p = 641 es primo y que módulo p , por lo tanto y .
- 24≡54{\ Displaystyle - ~ 2 ^ {4} \ equiv 5 ^ {4}}
-232≡54×228=(5×27)4=6404≡(-1)4=1{\ Displaystyle -2 ^ {32} \ equiv 5 ^ {4} \ times 2 ^ {28} = (5 \ times 2 ^ {7}) ^ {4} = 640 ^ {4} \ equiv (-1) ^ {4} = 1}
F5≡0{\ Displaystyle F_ {5} \ equiv 0}![{\ Displaystyle F_ {5} \ equiv 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3db84e0872ef572d3b2ee0f5e262636592e334)
-
Cualquier factor primo p de F n para n > 1 se puede escribir en la forma s .2 n +2 + 1, donde s es un número entero.
De acuerdo con la prueba anterior, p es de la forma k. 2 n 1 + 1. Édouard Lucas fue más allá:
Como n > 1, p es congruente con 1 módulo 8. De acuerdo con la segunda ley complementaria de la ley de reciprocidad cuadrática , 2 es, por tanto, un residuo cuadrático módulo p , es decir, existe un número entero a tal que . También es posible notar directamente que 2 es un residuo cuadrático módulo p , porquea2≡2(modificaciónpag){\ Displaystyle a ^ {2} \ equiv 2 {\ pmod {p}}}![{\ Displaystyle a ^ {2} \ equiv 2 {\ pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7456bfc96abb9a8ddc66737e28c655d799ab65d9)
(22no-1+1)2≡22no+1+22no-1+1≡Fno+22no-1+1≡22no-1+1(modificaciónpag).{\ Displaystyle \ left (2 ^ {2 ^ {n-1}} + 1 \ right) ^ {2} \ equiv 2 ^ {2 ^ {n}} + 1 + 2 ^ {2 ^ {n-1} +1} \ equiv F_ {n} + 2 ^ {2 ^ {n-1} +1} \ equiv 2 ^ {2 ^ {n-1} +1} {\ pmod {p}}.}![{\ Displaystyle \ left (2 ^ {2 ^ {n-1}} + 1 \ right) ^ {2} \ equiv 2 ^ {2 ^ {n}} + 1 + 2 ^ {2 ^ {n-1} +1} \ equiv F_ {n} + 2 ^ {2 ^ {n-1} +1} \ equiv 2 ^ {2 ^ {n-1} +1} {\ pmod {p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4da2d6a5c95086c9b92cf505dca22a350db547d)
Dado que una potencia impar de 2 es un residuo cuadrático módulo p , 2 en sí también lo es.
Luego tenemos , y . Por tanto, el
orden de un módulo p es igual a , y según
el pequeño teorema de Fermat , p - 1 es, por tanto, divisible por ; Entonces p puede escribirse en la forma .
a2no+1≡ (a2)2no≡ 22no≡ -1{\ Displaystyle a ^ {2 ^ {n + 1}} \ equiv \ (a ^ {2}) ^ {2 ^ {n}} \ equiv \ 2 ^ {2 ^ {n}} \ equiv \ -1}
a2no+2≡ 22no+1≡ 1(modificaciónpag){\ Displaystyle a ^ {2 ^ {n + 2}} \ equiv \ 2 ^ {2 ^ {n + 1}} \ equiv \ 1 {\ pmod {p}}}
2no+2{\ Displaystyle 2 ^ {n + 2}}
2no+2{\ Displaystyle 2 ^ {n + 2}}
s2no+2+1{\ Displaystyle s2 ^ {n + 2} +1}
El caso general es un problema difícil debido al tamaño de los números enteros F n , incluso para valores relativamente pequeños de n . En 2020, el número de Fermat más grande para el que conocemos la factorización completa es F 11 , cuyo mayor de los cinco divisores primos tiene 564 dígitos decimales ( también se conoce completamente la factorización completa de F n , para n menor que 10). En cuanto a F 12 , sabemos que está compuesto; pero es, en 2020, el número de Fermat más pequeño para el que no conocemos la factorización completa. En cuanto a F 20 , es, en 2020, el número más pequeño de Fermat compuesto del que no se conoce ningún divisor primo.
Serie de inversas de números de Fermat
La serie de inversas de los números de Fermat es convergente y su suma es irracional e incluso trascendente . Estos resultados provienen del hecho de que los racionales aproximan demasiado esta suma .
∑no=0∞122no+1≈0.596{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {2 ^ {n}} + 1}} \ approx 0 {,} 596}![{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {2 ^ {n}} + 1}} \ approx 0 {,} 596}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb26ecf5ef6f1b29dc90d98ca43d91ebac606e1)
Polígono regular
Gauss y Wantzel establecieron un vínculo entre estos números y la construcción de la regla y el compás de polígonos regulares : un polígono regular con n lados es construible si y solo si n es el producto de una potencia de 2 (posiblemente igual a 2 0 = 1) y un número finito (posiblemente cero) de números primos distintos de Fermat.
Por ejemplo, el pentágono regular se puede construir usando una regla y un compás ya que 5 es un número de Fermat primo; De manera similar, un polígono con 340 lados se puede construir con una regla y un compás ya que 340 = 2 2 . F 1 . F 2 .
Generalizaciones
Es posible generalizar parte de los resultados obtenidos para los números de Fermat.
Para un n + 1 para ser primer, un debe ser necesariamente incluso y n debe ser un poder de 2 .
Números de la forma (con un ≥ 2 ) son comúnmente llamados "números de Fermat generalizadas" , pero Hans Riesel también dieron este nombre a los números de la forma . El número primo más grande de la forma conocida en 2017 es un número de más de un millón de dígitos.
a2no+1{\ Displaystyle a ^ {2 ^ {n}} + 1}
a2no+B2no{\ Displaystyle a ^ {2 ^ {n}} + b ^ {2 ^ {n}}}
a2no+1{\ Displaystyle a ^ {2 ^ {n}} + 1}
24518218+1{\ displaystyle 24518 ^ {2 ^ {18}} + 1}![{\ displaystyle 24518 ^ {2 ^ {18}} + 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bb3e09ec125f3c298a96cea8cf1ebab5156ba1)
Números de Fermat y numeración primordial
La escritura de números de Fermat en numeración primordial es interesante y permite, por ejemplo, ilustrar el uso en el marco restringido de información aritmética de las interfaces de programación .
Notas y referencias
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en
inglés titulado
" Número de Fermat " ( consulte la lista de autores ) .
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Carta XLIV a Frénicle, 18 de octubre de 1640, en Œuvres de Fermat , t. 2, París, Gauthier-Villars ,1894( leer en línea ) , pág. 209.
-
En otra carta a Frénicle también escribe: " Pero esto es lo que más admiro: es que estoy casi convencido de que todos los números progresivos aumentados por la unidad, de los cuales los exponentes son números de la progresión doble, son números primos , como 3, 5, 17, 257, 65537, 4,294,967,297 y las siguientes 20 letras 18,446,744,073 709,551,617; etc. No tengo la demostración exacta de ello, pero he excluido un número tan grande de divisores mediante demostraciones infalibles, y tengo tan grandes intuiciones, que establecen mi pensamiento, que tendría dificultades para retractarme. » , Carta XLIII, agosto? 1640, en Œuvres de Fermat, t. 2 , pág. 206.
-
Carta XLV, 25 de diciembre de 1640, en Œuvres de Fermat, t. 2 , pág. 213 . Édouard Lucas , en sus Recreaciones matemáticas , volumen II, p. 234 da esta cita infiel (7 no tiene que estar en la lista): "Si una vez puedo sostener la razón fundamental de que 3, 5, 7, 17, 257, 65537 son números primos […]" .
-
" Potestates omnes numeri 2, quarum exponentes sunt termini progressionis geometricæ ejusdem numeri 2, unitate auctae, sunt numeri primi " ( "Todas las potencias del número 2 cuyos exponentes son términos de la progresión geométrica del mismo número 2, da, si los aumentamos en uno, números primos " ).
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“ propositiones aliquot quarum demonstrationem a nobis ignorari non diffitemur […] Quaeritur demostratio illius propositionis, pulchræ sane, sed et verissimæ ” ( “algunas proposiciones cuya prueba no negaremos ignorando […] Queda por encontrar una prueba de esta proposición, ciertamente hermoso pero también muy cierto ” ), letra XCVI en Œuvres de Fermat, vol. 2 , pág. 402-405.
-
Letra CI, punto 5, en Œuvres de Fermat, t. 2 , pág. 433-434. Fermat enumera cuestiones que se tratan con su método del descenso infinito. Coloca entre estas preguntas su (errónea) conjetura sobre los números dichos a partir de los números de Fermat y ya no dice, como había hecho en cartas anteriores, que aún no ha encontrado una prueba de esta conjetura.
-
Esta es la interpretación dada por HM Edwards , Último teorema de Fermat , Springer, 1977, p. 24, oponiéndose a las opiniones contrarias de ET Bell , The Last Problem , Nueva York, 1961, pág. 256.
-
(en) E. Sandifer, " ¿Cómo lo hizo Euler - Factoring F 5 " , en eulerarchive. maa .org ,Marzo de 2007.
-
(La) L. Euler, " Observaciones del teorema quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus " , Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae , vol. 6,1732, p. 102-103 ( leer en línea ).
-
(La) L. Euler, " Theoremata circa divisors numerorum " , Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae , vol. 1,1750, p. 20-48 ( leer en línea ) (presentado en 1747/48).
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Descrito en (en) John J. O'Connor y Edmund F. Robertson , "Números perfectos" en el archivo MacTutor History of Mathematics , Universidad de St Andrews ( leer en línea ).
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Fermat, en su carta XL a Mersenne en junio? 1640 ( Œuvres de Fermat, t. 2 , p. 195-199), descubre para M 37 el divisor 6 × 37 + 1, después de haber detallado su método sobre el ejemplo conocido M 11 = 23 × 89. En su carta XLIII a Frénicle (agosto? 1640) ya citado, también señala, para M 23 , el divisor 47.
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(en) Kent D. Boklan y John H. Conway , "¡ Espere MÁS una mil millonésima parte de un nuevo Fermat Prime! " , The Mathematical Intelligencer ,2017( DOI 10.1007 / s00283-016-9644-3 , arXiv 1605.01371v2 , leído en línea , consultado el 8 de mayo de 2016 ).
-
(en) Leonid Durman y Luigi Morelli, " Historia - Investigadores Todos los números de Fermat, que encontraron au moins un factor " en Búsqueda distribuida de divisores de números de Fermat .
-
B. Schott, [1] , Números brasileños, Cuadratura , n ° 76, 2010, Prop. 3 p. 36.
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Boklan y Conway 2017 llaman "números primos de Ferma t " (con una t en cursiva) los números primos de la forma 2 k + 1 con k entero positivo o cero , que son por lo tanto 2 y los números primos de Fermat "verdaderos".
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Para obtener resultados más recientes, consulte, por ejemplo (en) Wilfrid Keller, " Factores primos k • 2 n + 1 de los números de Fermat F my estado de factorización completo " ,abril 2015.
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(in) " PrimeGrid's Proth Prime Search - 57 * 2 ^ 2747499 + 1 (anuncio oficial) " , PrimeGrid ,13 de mayo de 2013.
-
(in) Richard P. Brent, Factorización del décimo y undécimo número de Fermat , febrero de 1996.
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Desde27 de marzo de 2010, conocemos seis de los divisores primos de F 12 , pero aún no su descomposición completa. Ver [2] .
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Antes de 2010, el número más pequeño era F 14 . La3 de febrero de 2010Tapio Rajala, del Departamento de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Jyväskylä , Finlandia, descubrió un divisor de 54 dígitos de F 14 . Ver el prothsearch y mersenneforum sitio : k 0.2 16 + 1, donde k es un número de 49 dígitos .
-
Suite A051158 de OEIS .
-
(en) Solomon W. Golomb , " Sobre la suma de los recíprocos de los números de Fermat y las irracionalidades relacionadas " , Canad. J. Math. , vol. 15,1963, p. 475-478 ( leer en línea ).
-
(en) D. Duverney , " Trascendencia de una serie de números racionales que convergen rápidamente " , Matemáticas. Proc. Cambridge Philos. Soc. , vol. 130, n o 22001, p. 193-207.
-
(en) Eric W. Weisstein , " Número de Fermat generalizado " en MathWorld .
-
(in) Búsqueda generalizada de Fermat Prime .
-
(in) H. Riesel, Números primos y métodos informáticos para la factorización , Springer ,1994( leer en línea ) , pág. 102.
-
(in) La base de datos premium .
Ver también
- Prueba de falla
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(en) Michal Křížek, Florian Luca (en) y Lawrence Somer, 17 conferencias sobre números de Fermat: de la teoría de números a la geometría , Nueva York, Springer,2001, 257 p. ( ISBN 978-0-387-95332-8 , leer en línea ) - Contiene una extensa bibliografía.
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(en) Suite A000215 de la OEIS