Identidad de Brahmagupta

En matemáticas, la identidad de Brahmagupta es una fórmula utilizada para resolver ecuaciones diofánticas . Ella es vieja; Diofanto , un matemático griego, probablemente, viviendo en III ª siglo, establece un caso especial para el estudio de un antepasado del teorema de los dos cuadrados de Fermat . Brahmagupta (598-668) lo establece en toda su generalidad para resolver una cuestión asociada a la ecuación de Pell-Fermat . Más tarde, la escuela india desarrolló un algoritmo llamado " método chakravala ", un ingrediente básico del cual es la identidad de Brahmagupta.

Identidades

Una primera forma, a menudo llamada "identidad de Diofanto" ( Arithmetica , Libro III, 19) dice que el producto de dos números, cada uno igual a una suma de dos cuadrados , es en sí mismo una suma de dos cuadrados. Precisamente:

{\ Displaystyle \ forall a, b, c, d \ in A \ quad (a ^ {2} + b ^ {2}) (c ^ {2} + d ^ {2}) = (ac-bd) ^ {2} + (anuncio + bc) ^ {2}}

donde A denota un anillo conmutativo .

Demostración

Basta desarrollar y luego factorizar el término de la derecha:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} (ac-bd) ^ {2} + \ left (ad + bc \ right) ^ {2} & = a ^ {2} c ^ {2} -2acbd + b ^ { 2} d ^ {2} + a ^ {2} d ^ {2} + 2adbc + b ^ {2} c ^ {2} \\ & = a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2 } d ^ {2} + a ^ {2} d ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \\ & = \ left (a ^ {2} + b ^ {2} \ right) \ izquierda (c ^ {2} + d ^ {2} \ right). \ end {alineado}}}

El uso más frecuente es donde A es el anillo de números enteros relativos o el campo de racionales , reales o complejos .

En su forma general, la identidad de Brahmagupta es

{\ Displaystyle (a ^ {2} -nb ^ {2}) (c ^ {2} -nd ^ {2}) = (ac + nbd) ^ {2} -n \ left (ad + bc \ right) ^ {2}.}

Se deduce del de Diofanto multiplicando y por (es decir , por , en el anillo del cociente genérico ). Por el contrario, la identidad de Diofanto es el caso especial de la de Brahmagupta. $B$ $D$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {-n}}}$ $mi$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ left [a, b, c, d, n, e \ right] / (e ^ {2} + n)}$ $n = -1$

Obtenemos formas equivalentes de estas dos identidades reemplazando por su opuesto: $B$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} (a ^ {2} + b ^ {2}) (c ^ {2} + d ^ {2}) & = (ac + bd) ^ {2} + (ad- bc) ^ {2}, \\ (a ^ {2} -nb ^ {2}) (c ^ {2} -nd ^ {2}) & = (ac-nbd) ^ {2} -n (anuncio -bc) ^ {2}. \ end {alineado}}}

Observaciones

La identidad de Brahmagupta expresa la multiplicatividad de la norma relativa a una extensión cuadrática .
Un caso especial es la multiplicatividad del módulo de un número complejo : si u = a + i b y v = c + i d con a , b , c , d reales, la identidad de Diofanto expresa que | u | 2 | v | 2 = | uv | 2 .
La identidad de los cuatro cuadrados de Euler puede verse como una generalización, utilizando la norma del cuaternión .
Existe una identidad similar de ocho cuadrados , derivada de los números de Cayley y relacionada con la periodicidad de Bott (en) .