Involución (matemáticas)
En matemáticas , una involución es una aplicación biyectiva que es su propia recíproca , es decir, por la cual cada elemento es la imagen de su imagen. Este es el caso, por ejemplo, del cambio de signo en el conjunto de números reales , o de las simetrías del plano o del espacio en la geometría euclidiana . En álgebra lineal , los endomorfismos involutivos también se denominan simetrías.
Las involuciones aparecen en muchas áreas de las matemáticas, especialmente en combinatoria y topología . Una involución también puede asociarse con un fenómeno de dualidad .
Definicion formal
Decimos que una aplicación es involutiva (o que es una involución de E ) si para todo . En otras palabras : el compuesto de f con ella misma es la aplicación identidad de E .
Propiedades
Un mapa f de E en sí mismo es una involución si y solo si es biyectivo y tal que f −1 = f (la imagen y el antecedente de cualquier elemento de E coinciden).
El compuesto g ∘ f de dos involuciones f y g de E es involutivo si y solo si f y g conmutan , es decir, si f ∘ g = g ∘ f .
Sea f una involución de E :
- si g es una biyección de E sobre F , con biyección recíproca g −1 , entonces g ∘ f ∘ g −1 es una involución de F ;
- si g es un mapeo de E en E como g ∘ f ∘ g = f , entonces f ∘ g y g ∘ f son involuciones de E .
Ejemplos de
En álgebra lineal , si K es un campo y E un K -espacio vectorial:
- las simetrías de E son los endomorfismos que incumben a partir E .
- en particular, en el espacio vectorial M n ( K ) de matrices cuadradas de orden n con coeficientes en K , la transposición es un endomorfismo involutivo.
- cuando E es de dimensión finita n , podemos asociar a cada endomorfismo de E su matriz A (elemento de M n ( K )) en una base fija; esta matriz es la de una simetría si y solo si A × A es igual a la matriz identidad I n .
En álgebra , la aplicación de un grupo en sí mismo que a cada elemento x asocia su simétrica x −1 es involutiva: ( x −1 ) −1 = x .
En análisis , para todos los números reales b ≠ 0 y a , los mapas definidos en ℝ \ { a } y definidos en ℝ, son involuciones.
La conjugación compleja es una involución de ℂ . Más generalmente :
- en el conjunto de matrices cuadradas de orden n con coeficientes complejos, el mapa que a cualquier matriz asocia su adjunto es una involución.
- en una extensión cuadrática , la aplicación que a cualquier elemento asocia su conjugado es involutiva.
En la lógica clásica , la negación es involutiva: "no no A" es equivalente a "A"; pero este no es el caso de la lógica intuicionista .
Una permutación es una involución si y sólo si se descompone en ciclos disjuntos de longitudes menores o iguales a 2. Por lo tanto, se compone exclusivamente de puntos fijos y transposiciones.
Generalización
El concepto de involución se puede extender a otros objetos matemáticos: de hecho, si consideramos un monoide ( M , ✻, e ), decimos que un elemento a de M es una involución (para la ley ✻) o es involutivo (en M ) si a ✻ a = e .
Entonces tenemos, para cualquier número natural k : a 2 k = e k = e por lo tanto a 2 k + 1 = e ✻ a = a .
El elemento neutro de un monoide es una involución de este monoide.
Un caso frecuente es el de una involución en un anillo con respecto a la segunda ley.