Notae priores

Los priores Notae o Ad Logiticem speciosam priores Miniatura es el nombre del primer libro de álgebra planeada por François Viète para suceder a su Isagoge . En este libro, Viète da los elementos preparatorios para resolver ecuaciones de tercer grado sin utilizar complejos . Son seguidos en el orden cronológico de sus publicaciones por el Zeteticorum libri quinque .

Orígenes

Los algebraists italianos del XVI ° siglo logrado resolver ecuaciones cúbicas formando la primera de las soluciones imaginarias. Sin embargo, solo dan fórmulas en casos particulares, utilizando un simbolismo difícil de legitimar a los ojos de los matemáticos de la época, para quienes el único axiomático admisible es el de Euclides, en geometría.

Viète hace el mismo trabajo que los algebristas italianos, pero usando cálculos geométricos, en triángulos rectángulos. Desarrolló para este propósito una teoría de las potencias de un triángulo y de los productos de dos triángulos, bastante comparable a los cálculos de los italianos en los complejos. Pero, haciendo este trabajo en su propio lenguaje simbólico, logra por este medio una resolución general de estas ecuaciones.

Contenido

General

El tratado se divide en dos partes, una algebraica y otra geométrica. Las primeras propuestas preparan el trabajo posterior: Proposición I: Se dan tres cantidades y se encuentra una cuarta proporcional. Proposición II: Dadas dos cantidades, encuentre una tercera proporcional, una cuarta, una quinta y otras cantidades continuamente proporcionales de orden posterior, hasta el infinito. Proposición III: Encuentre una media proporcional entre dos cuadrados dados. Proposición IV: Encuentra dos medias continuamente proporcionales entre dos cubos dados. Proposición V: entre dos lados dados, encuentre cualquier número de medias continuamente proporcionales. A lo que Viète da como solución: Un cuadrado-cubo, Un cuadrado-cuadrado por B, Un cubo por B cuadrado, A cuadrado por B cubo, A por B cuadrado-cuadrado y B cuadrado-cubo. Proposición VI: A la suma de dos cantidades sume su diferencia. A lo que responde el teorema: La suma de dos cantidades sumadas a su diferencia es igual al doble de la mayor.

(la diferencia se toma en valor absoluto)

Proposición VII: De la suma de dos tamaños resta su diferencia. A lo que responde el teorema: La suma de dos cantidades menos su diferencia, es igual al doble de la menor. Proposición VIII: Cuando la misma cantidad se reduce en cantidades desiguales, reste una de las diferencias de la otra. A qué responde el teorema: si una cantidad disminuye en cantidades desiguales, la diferencia en los residuos es la misma que la diferencia en las cantidades restadas. El proceso es idéntico para las siguientes propuestas: Proposición IX: Cuando la misma cantidad se incrementa en cantidades desiguales, reste una de las sumas de la otra. Proposición X: Cuando la misma cantidad aumenta y disminuye en cantidades desiguales, reste una de la otra. Par de Newton Luego vienen propuestas relacionadas con el desarrollo de la pareja. Proposición XI: Formar una potencia pura a partir de una raíz binomial. Viète da aquí los desarrollos del cuadrado de A + B, de su cubo, del cuadrado-cuadrado, y así sucesivamente hasta el cubo-cubo, reconociendo una regla para la formación de monomios y la identidad de lectura izquierda-derecha del desarrollo de la pareja. Proposición XII: Al cuadrado de la suma de las nervaduras, suma el cuadrado de su diferencia. Lo que responde el teorema: El cuadrado de la suma de los lados más el cuadrado de su diferencia es igual al doble de la suma de los cuadrados. Proposición XIII: Del cuadrado de la suma de las dos nervaduras reste el cuadrado de su diferencia. Lo que responde el teorema: El cuadrado de la suma de dos lados menos el cuadrado de su diferencia es igual a cuatro veces el producto plano de estos lados. Luego una observación importante, anotada en lenguaje contemporáneo.

{\ Displaystyle xy \ leq \ left ({x + y \ over 2} \ right) ^ {2}}

Identidades notables Vengan algunas identidades notables: Proposición XIV: Multiplica la diferencia de dos lados por su suma. Proposición XV: Al cubo de la suma de dos lados agregue el cubo de su diferencia. Proposición XVI: Del cubo de la suma de dos costas reste el cubo de su diferencia. Proposición XVII: Multiplicar la diferencia de dos lados por los tres planos parciales, que forman el cuadrado de la suma de los mismos lados, tomándose estos planos una sola vez. Lo que se traduce en un teorema da

(xy) (x ^ {2} + xy + y ^ {2}) = x ^ {3} -y ^ {3}

Proposición XVIII: Multiplicar la suma de dos lados por los tres planos parciales, que forman el cuadrado de la diferencia de los mismos lados, tomándose estos planos una sola vez. Lo que se traduce en un teorema da

(x + y) (x ^ {2} -xy + y ^ {2}) = x ^ {3} + y ^ {3}

Proposición XIX: Multiplicar la diferencia de dos lados por los cuatro sólidos parciales, que forman el cubo de la suma de los mismos lados, tomándose estos sólidos una sola vez. Lo que se traduce en un teorema da

(xy) (x ^ {3} + x ^ {2} y + yx ^ {2} + y ^ {3}) = x ^ {4} -y ^ {4}

Proposición XX: Multiplica la suma de dos nervaduras por los cuatro sólidos parciales, que forman el cubo de la diferencia de los mismos lados, tomándose estos sólidos una sola vez. Lo que se traduce en un teorema da

(x + y) (x ^ {3} -x ^ {2} y + yx ^ {2} -y ^ {3}) = x ^ {4} -y ^ {4}

Las siguientes propuestas, La Proposición XXI dando y la Propuesta XXII análoga así como las dos siguientes, de grado 6 completan esta primera colección de fórmulas básicas. Viète los generaliza en forma de dos teoremas. Damos el segundo:

(xy) (x ^ {4} + x ^ {3} y + x ^ {2} y ^ {2} + yx ^ {3} + y ^ {4}) = x ^ {5} -y ^ { 5}

" El producto de la suma de dos lados por los términos homogéneos, que constituyen la potencia de la diferencia de los mismos lados, tomándose estos términos una sola vez, es igual a la suma o diferencia de las potencias del orden inmediatamente arriba, es decir a la suma, si el número de términos homogéneos es impar, ya la diferencia, si el número de términos homogéneos es par. "

Preparativos para resolver ecuaciones Las siguientes proposiciones son la base de la solución de las ecuaciones expuestas por Viète en el Numerosa Potestate . Son extremadamente repetitivo, dada la imposibilidad Vieta dan significado a una longitud orientado (este trabajo se completará en el XIX ° siglo por Hermann Grassmann con la creación del álgebra exterior ). Las propuestas XXV a XXXIII aprenden a formar por ejemplo el cuadrado afectado por la suma del plano debajo del costado, producido por un coeficiente sublateral de longitud convenientemente elegido, es decir, según la escritura moderna para notar que y así sucesivamente hasta el desarrollo de . Las propuestas XXXIV a XXXVI repiten las anteriores con una resta, las propuestas XXXVII a IXL combinan la resta y la suma en el mismo espíritu. Las proposiciones XL a XLIV utilizan el mismo desarrollo para , para n entre 2 y 6.

x ^ {2} + 2xy + y ^ {2} + dx + dy = (x + y) (x + y + d) = (x + y) ^ {2} + d (x + y)

(x + y) ^ {5} (x + y + d)

d (x + y) - (x + y) ^ {n}

Complejos y triángulos rectángulos En una última parte, Viète aborda la representación mediante figuras (triángulos) de un cierto número de problemas clásicos. Proposición XLV: Con dos raíces dadas forma un triángulo rectángulo. Esto equivale a comprobar geométricamente que

(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = (x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {2} + (2xy) ^ {2}.

Proposición XLVI: Con dos triángulos rectángulos forma un tercer triángulo rectángulo. Esto equivale a mostrar que para , tenemos , identidad que adquiere su significado completo si la leemos como el producto de los cuadrados de los módulos de dos números complejos. Generalmente se atribuye a Lagrange . Viète redescubre así, geométricamente, los principios que subyacen al cálculo de los imaginarios, iniciado 50 años antes por Scipione del Ferro . Pero el vínculo entre estas formas geométricas y sus equivalentes complejos será verdaderamente establecido que el XIX ° siglo , por Gauss .

x, y, z, t

(xz + yt) ^ {2} + (xt-yz) ^ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2}) (z ^ {2} + t ^ {2})

Posteriormente, Viète resuelve los siguientes problemas:Proposición XLVII: Con dos triángulos rectángulos semejantes forma un tercer triángulo rectángulo tal que el cuadrado de la hipotenusa del tercero sea igual a la suma de los cuadrados de la hipotenusa del primero y de la hipotenusa del segundo. Proposición XLVII: Con dos triángulos rectángulos iguales y equiangulados, forma un tercer triángulo rectángulo. Proposición XLVIII: Con el triángulo rectángulo del ángulo simple y el triángulo rectángulo del ángulo doble, forma un triángulo rectángulo. Este tercer triángulo se llamará "triángulo del triple ángulo". Luego juega (hasta la proposición LI) con el ángulo triple, el ángulo cuádruple, luego continúa al orden superior, y así hasta el infinito, descubriendo geométricamente (y sin decirlo explícitamente ya que Viète no reconoce la existencia de imaginarios) que las partes real e imaginaria de se obtienen de hecho alternando los coeficientes de los pares que desarrolló en las partes anteriores.

(x + Iy) ^ {n}

Siguen otras propuestas, que forman la cumbre de este arte, que se puede interpretar en términos complejos, y cuya solución geométrica aparece aquí : Proposición LII: componga un triángulo rectángulo con la suma de dos raíces y su diferencia. Proposición LIII: Con la base de un triángulo rectángulo dado y la suma de su hipotenusa y su perpendicular, forma un triángulo rectángulo. Proposición LIV: Deducir de un triángulo rectángulo dos triángulos rectángulos de la misma altura, de manera que el triángulo de la misma altura formado por su yuxtaposición (cuyos catetos serán las hipotenusas de estos triángulos, y cuya base será la suma de sus bases) tendrá el ángulo en la parte superior derecha.

Volverse

Los manuscritos de Viète pasaron a manos de Pierre y luego a Jacques Aleaume a su muerte . Notae priores no forman parte de los manuscritos entregados a Alexander Anderson (matemático) . El texto, que iba a seguir al Isagoge en 1591 y nunca se había publicado durante la vida de Viète, fue publicado por primera vez por Jean de Beaugrand en 1631, luego por Van Schooten en 1646 con algunos comentarios de Jean de Beaugrand . Fue traducido al francés por Frédéric Ritter .

Frédéric Ritter , ingeniero de carreteras estacionado en Fontenay le Comte , publicó su traducción en el boletín del conde Baldassare Boncompagni en 1868.

Notas y referencias

P. Radelet-de Grave , Liber amicorum Jean Dhombres , vol. 8: Réminisciences , Turnhout, Centro de investigación en historia de la ciencia,2008, 582 p. ( ISBN 978-2-503-52814-4 ) , pág. 19 y 61
Da. B. Boncopagni Bullettino di bibliografia e di storia delle science matematiche Volumen 1 Roma 1868