Figura

Un dígito es un signo de escritura que se usa solo o en combinación para representar números enteros .

En un sistema de numeración posicional como el sistema decimal , una pequeña cantidad de dígitos es suficiente para expresar cualquier valor. El número de dígitos del sistema es la base.

El sistema decimal, el sistema numérico más común, tiene diez dígitos que representan números del cero al nueve.

Ejemplo de dígitos en el sistema decimal:

Las letras de dos dígitos "27" (2 y 7) representan el número "veintisiete". También designa el vigésimo séptimo de una lista de objetos, como en la fecha "27 de enero". La escritura de un solo dígito "2" (2) representa el número dos.

"Dígito" y "número"

Un número es un elemento de escritura . Para decir un número, no usamos dígitos. Decimos el nombre del número, que también podemos escribir "completo". El nombre de un número puede ser simple, como "dieciséis" o compuesto, como "diecisiete" o "mil doscientos ochenta y cinco". El nombre del número varía entre idiomas, pero siempre se refiere exactamente a la misma abstracción .

Para realizar operaciones con números, se han inventado sistemas de numeración que permiten escribirlos rápidamente, en dígitos. El uso de dígitos para escribir números está vinculado a la práctica de la aritmética .

Escribir un número representa un número, es decir, una cantidad, mientras que un número no representa una cantidad. Distinguimos un número con un dígito del número que es un signo simple.

Los números juegan un papel similar en relación con los números como las letras en relación con las palabras . En la escritura, los números se representan mediante una yuxtaposición de dígitos, al igual que las palabras se representan mediante una yuxtaposición de letras. Así, 13 ("trece") es un número que, en base diez, se escribe con los dígitos "1" y "3". Así como una palabra puede constar de una sola letra, como la palabra "a" (verbo "tener" conjugado en la tercera persona del singular de indicativo presente), un solo dígito puede representar un número. Por ejemplo, en base diez siempre, el número 4 ("cuatro") se escribe solo con el número 4. Por otro lado, la disposición de las letras no necesariamente forman una palabra, mientras que en los sistemas numéricos posicionales, cualquier secuencia de dígitos se puede interpretar válidamente como un número entero.

Escribir en números solo puede representar números enteros . En decimales , un signo de puntuación , la coma , separa el número de unidades de la izquierda del número de fracciones decimales de la derecha. Algunos números solo se pueden representar mediante una fórmula ("1/3" para un tercero, "√2" para la raíz cuadrada de dos), mediante un símbolo en particular ("π" para el número Pi ), o mediante un signo acordado que designa una variable (" $x$ ", " maVariable ").

Confusión en uso

Sin embargo, cuando no se trata de matemáticas, por sinécdoque , la palabra "número" se encuentra en muchas expresiones con el significado de "número". El Diccionario de la Academia Francesa indica como segundo significado de la palabra "dígito": "El número en el que aparecen las cifras; el monto total. El número de la población de un país , el número de sus habitantes. COMERCIO. Cifra de negocio , importe de los ingresos de un ejercicio anual ” . Se dice comúnmente que “encripta”, “encripta” para operaciones de recuento o cuantificación . En demografía, hablamos de "cifras de población" y no de "cifras de población"; y, en economía , de " volumen de negocios ", y no de "número de transacciones". Esta confusión común dificulta, en el marco escolar, la enseñanza del concepto de número.

Señales y método de uso

Un número se escribe como una secuencia de dígitos que pueden tener diferentes longitudes. El sistema unario utiliza un solo dígito, con forma de simple palo y que representa el valor 1, que puede repetirse indefinidamente para expresar todos los números naturales de forma aditiva. Pero hay muchos sistemas de numeración más elaborados, que involucran números que representan valores diferentes. Las cifras utilizadas varían entre culturas. Aquí están algunos ejemplos.

Árabe latino / occidental

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

10,000

100.000

1,000,000

Jeroglíficos egipcios

Ⅼ

Ⅽ

Ⅾ

Ⅿ

Sinogramas

〇, 零

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

百

千

万

hebreo

ת״ק o ך

ת״ר o ם

ת״ש o ן

ת״ת o ף

תת״ק o ץ

arameo

griego

{\ Displaystyle \ mathrm {A} \ alpha \,}

{\ Displaystyle \ mathrm {B} \ beta \,}

{\ Displaystyle \ Gamma \ gamma \,}

{\ Displaystyle \ Delta \ delta \,}

{\ Displaystyle \ mathrm {E} \ epsilon \,}

{\ Displaystyle \ mathrm {\ Estigma} \ mathrm {\ estigma} \,}

{\ Displaystyle \ mathrm {Z} \ zeta \,}

{\ Displaystyle \ mathrm {H} \ eta \,}

{\ Displaystyle \ Theta \ theta \,}

{\ Displaystyle \ mathrm {I} \ iota \,}

Devanagari

०

१

२

३

४

५

६

७

८

९

Brahmi

Abjad

Árabe oriental

Como muestran estos ejemplos, no todos los sistemas numéricos tienen un dígito "cero". Por lo tanto, no todos representan el número cero.

El número de dígitos de un número está estrechamente relacionado con el sistema numérico, es decir, cómo se utilizan estos números. Para los sistemas aditivos e híbridos, el límite en el número de dígitos disponibles hace que los números sean difíciles de representar más allá de un cierto límite. Solo los sistemas posicionales pueden representar fácilmente todos los números enteros utilizando un número limitado de dígitos.

Sistemas de aditivos

Con notación aditiva , el número se calcula sumando el valor de cada uno de los dígitos escritos. La numeración egipcia , decimal, tiene dígitos de valor 1, 10, 100, 1000, 10,000, 100,000, 1,000,000.

Para evitar una larga sucesión de dígitos idénticos, un sistema aditivo puede utilizar dígitos de valor inferior a la base del número. Este es el caso del número romano , que, aunque es decimal, utiliza dígitos del valor uno, cinco, diez, cincuenta, cien, quinientos, mil. Este último también conoce una variante en la que se suma el valor de una secuencia de dígitos idénticos solo si el que le sigue es de orden inferior, en caso contrario se resta .

Sistemas híbridos

Los números alfabéticos, por otro lado, usan números para los diferentes múltiplos de las potencias de β. Entonces, la numeración hebrea , por ejemplo, usa dígitos para unidades (1, 2, 3 ..., 9), decenas (10, 20, 30 ..., 90) y centenas (100, 200, 300. .., 900). La numeración alfabética griega utiliza números para los mismos valores y continúa con los miles (1000, 2000, 3000 ..., 9000) .

Los sistemas híbridos requieren, para una base β, números que van de 1 a β-1, más números para representar las sucesivas potencias β. Estos sistemas son multiplicativos y aditivos: cada dígito utilizado que representa una potencia de β está, si es necesario, precedido por un dígito que representa una unidad (de 2). El valor del número es entonces igual a la suma de los números y productos de los números presentes.

Sistemas posicionales

Los sistemas posicionales utilizan, en principio, β dígitos de 0 a β-1 para la base β. Sin embargo, el número de dígitos se puede reducir.

Se puede utilizar una base auxiliar. Este es el caso del recuento sexagesimal mesopotámico , que utiliza una base decimal auxiliar. Por tanto, esta numeración utiliza dígitos para las unidades y las decenas.

Como sugiere el nombre, en un sistema de numeración posicional, una combinación de dígitos representa un número diferente dependiendo de la posición que ocupan esos dígitos. En una secuencia de dígitos, las posiciones sucesivas tienen un valor igual a las potencias sucesivas de la base. El valor total de un número se calcula multiplicando cada uno de los dígitos por el valor de su lugar y sumando los resultados.

Por ejemplo, en la secuencia 153, el número 3 ocupa la primera posición que, cualquiera que sea la base β, tiene el valor β 0 = 1. El número 5 ocupa la segunda posición, que tiene el valor β 1 = β. Y el número 1 ocupa la tercera posición, que tiene el valor β 2 .

En el caso de una base diez, 153 es igual a:

(3 × 10 0 ) + (5 × 10 1 ) + (1 × 10 2 ) = (3 × 1) + (5 × 10) + (1 × 100) = 3 + 50 + 100 = 153.

Finalmente, por razones de legibilidad, las figuras pueden separarse en pequeños grupos más allá de un cierto umbral. El sistema de numeración hindú-árabe a menudo implica, de acuerdo con este principio, posiciones de separación. El símbolo utilizado para esto es puramente convencional; la convención, y por lo tanto el símbolo utilizado, varía de un país a otro.

Matemáticas

En matemáticas , usualmente usamos números arábigos , cuyo nombre es ambiguo ya que su diseño ha sufrido cambios en Europa después de su préstamo de los árabes, y los árabes tienen cifras que difieren de esos.

Estos diez dígitos son los del sistema decimal utilizado por defecto: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

El número de dígitos utilizados depende de la base . De hecho, son necesarios n dígitos para representar todos los números enteros en una base fija n .

Si n es menor que 10, generalmente se usan los primeros n dígitos, comenzando con 0. Por ejemplo, en el sistema binario , solo se usan dos dígitos: 0 y 1. Este sistema se usa a menudo para representar valores como "verdadero" y "falso", "encendido" y "apagado". Es particularmente adecuado para representar el funcionamiento de la electrónica digital utilizada en computadoras , de ahí su uso en informática .
Si n es estrictamente mayor que 10 y menor que 36, usamos los dígitos del 0 al 9 y, por convención, continuamos con ( n −10) letras del alfabeto latino comenzando por A. Por lo tanto, los dígitos del hexadecimal sistema son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A , B , C , D , E , F , su valor varía, en orden, de 0 a 15. Este sistema es principalmente utilizado en informática.
Si n es estrictamente mayor que 36, se utiliza una base diez auxiliar: los dígitos están representados por un número de base diez y están separados entre sí por un separador de posición.

Por lo general, el signo de los números no se indica mediante los números en sí, sino mediante la adición de un signo adicional, ya sea + o -. Sin embargo, dado que los dígitos expresan un valor positivo, el número mostrado, sin indicación adicional de un signo, también es positivo. Por lo tanto, el signo + rara vez se usa.

En informática , la necesidad ha llevado a la adopción de otras soluciones. En lenguaje de máquina y similares idiomas , los números se indican con un número invariable de dígitos binarios o hexadecimales, que depende del tipo declarado con anterioridad. Los números enteros a menudo se anotan en complemento a 2 n . Si el primer dígito binario es un 1, el número es negativo. La representación unificada de números relativos permite utilizar algoritmos de suma y multiplicación en todos los casos . Por otro lado, la representación de punto flotante utiliza para la mantisa un signo además del código numérico, que los algoritmos deben tratar por separado, mientras que el exponente es un número entero cuyo valor se desplaza de cero.

También existen sistemas balanceados, que utilizan números con signo. Por ejemplo, el sistema trinario balanceado usa los dígitos 1 , 0, 1, que equivalen, respectivamente, a -1, 0, 1. Es adecuado para representar booleanos cuyos valores son "verdadero", "falso" e "indeterminado", y es conveniente para las computadoras, porque evita agregar un dígito adicional para indicar el signo de un número. En tal sistema, los números positivos y negativos se benefician de la misma representación .

Un sistema de numeración no implica necesariamente el uso del número cero. La numeración uno a uno en base k permite, en particular, representar todos los números enteros sin utilizar este último. Sin embargo, utiliza el mismo número de dígitos que el sistema posicional habitual. Por ejemplo, en base diez, no hay 0, pero el número A representa el valor 10.

También existen sistemas en los que ciertos números se pueden representar mediante varias secuencias diferentes de dígitos. En el sistema de numeración de Avizienis , por ejemplo, no todos los números tienen una representación única.

Historia

Etimología

La palabra "numeral" ( numeral , Philippe de Commynes , 1486), que probablemente fue influenciada por Picard para la modificación de la consonante inicial, proviene del antiguo cifre francés ( cifre , Gauthier de Coincy , 1220), d 'después de cifra italiana , del latín medieval cifra , tomado del árabe sifr (الصِّفْر ʾaṣ-ṣifr ), usado para " cero " y que significa "el vacío", el "nada", término formado en el modelo del sánscrito sunya , que significa "vacío".

Desde los orígenes hasta la Edad Media

El sistema de numeración más antiguo de la humanidad es el sistema unario , que utiliza un solo dígito, con forma de palo, que se repite tantas veces como sea necesario para representar un número (ejemplo de los huesos de Ishango , descubierto en la República Democrática del Congo y cuyo las inscripciones datan de hace 20.000 años).

Este sistema todavía se usa hoy en día en operaciones de conteo. En Francia, el recuento de las papeletas se realiza añadiendo una barra en la línea del candidato cuyo nombre lee el escrutador en la papeleta. Para facilitar el conteo final, las barras se agrupan por cinco.

Este sistema dio origen a muchos sistemas aditivos en los que nuevos signos reemplazan grupos de dígitos para hacer que los números sean más legibles. La numeración romana desarrolla un sistema aditivo prehistórico. Las iniciales de los nombres de los números "cien" y "mil" los representan, según la costumbre romana de utilizar abreviaturas para las inscripciones. El sistema se extendió por gran parte de Europa con las conquistas romanas y luego a través de la influencia de la Iglesia cristiana. Era común en la Edad Media; permanece de uso común durante siglos, la numeración de los títulos de las secciones de los textos y las horas en los relojes y relojes de sol.

Números indoárabes

Los números arábigos forman parte de las escrituras de tipo logográfico , es decir, el símbolo "1" se pronuncia de manera diferente en cada idioma, pero representa el mismo elemento abstracto y por lo tanto sigue siendo comprensible en su forma escrita.

Estos números deben su nombre al hecho de que provienen de los árabes. El trabajo del sistema numérico indio del Tratado de al-Khwarizmi (hecho accesible a los eruditos no arabistas mediante traducciones al latín, incluido De numero Indorum ) sugiere que son nativos de la India . El cero (representado por un punto) fue utilizado como un marcador de posición vacío por los astrónomos babilónicos , pero no habían dado el paso de considerarlo como un número por derecho propio.

El concepto de cero, como símbolo numérico en paridad con los demás, como elemento neutro de suma y elemento absorbente de multiplicación, está por otro lado presente en los textos matemáticos indios, en particular en el análisis del problema del tablero de ajedrez. y granos de trigo .

Los números del 1 al 9 se inventaron en India . Aparecen en inscripciones Nana Ghat en el III ° siglo antes de Cristo. AD La posición de recuento con un cero (un solo punto en el origen), fue desarrollado durante la V º siglo. En un tratado sánscrito 458 sobre cosmología , vemos el número 14 236 713 escrito en su totalidad. También existe la palabra " sunya " (vacío), que representa cero. Es hasta la fecha el documento más antiguo que hace referencia a este número.

En el X º siglo, el monje occitano Gerberto de Aurillac se introdujo a la nueva cuenta y, gracias a las sillas que ocupa en diversas instituciones religiosas de Europa , empezando a dar a conocer a los estudiosos de Occidente. Elegido Papa en 999 con el nombre de Silvestre II , retira la autoridad necesaria para que el cristianismo adopte la numeración indoárabe a pesar de la reticencia de quienes usan el ábaco y ven que esta simplificación amenaza parte de su profesión.

Los diez números indios fueron adoptados en el mundo árabe-musulmán , luego en el mundo cristiano . Hoy en día escribimos estos números así

En Oriente Medio : ٠ , ١ , ٢ , ٣ , ٤ , ٥ , ٦ , ٧ , ٨ y ٩ .
En el Magreb y en Occidente : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Apéndices

Bibliografía

Georges Ifrah , Historia universal de las figuras: la inteligencia de los hombres contada por números y cálculos , París, R. Laffont , coll. "Libros",1994( 1 st ed. 1981), 1010 p. , 2 volúmenes ( ISBN 978-2-221-07838-9 , 978-2-221-05779-7 y 978-2-221-07837-2 )
Stella Baruk , Diccionario de matemáticas elementales , París, Seuil,1995( 1 st ed. 1992) ( ISBN 2-02-026028-X ) , p. 199-203 "Número".
Valère-Marie Marchand, El verbo geométrico: numerografías y escritos matemáticos , París, Éd. Alternativas, coll. "Escrituras",2004, 140 p. ( ISBN 978-2-86227-430-0 )

Enlace externo

Serge Jodra, " Historia de las matemáticas: las cifras " , sobre Imago Mundi ,2004

Notas y referencias

" Estoy revisando - cifra y número de diferencia "
" Estoy revisando - multiplicación por un número de un solo dígito " ; Stella Baruk , “Signe” , en Dictionary of Elementary Mathematics [ detalle de ediciones ].
Stella Baruk , “Número” , en Diccionario de Matemática elemental [ detalle de las ediciones ].
Stella Baruk , “Coma” , en Dictionary of Elementary Mathematics [ detalle de ediciones ].
Diccionario de la Academia Francesa, novena edición. Versión informatizada .
Diccionario de la Academia Francesa "encriptar".
ver población francesa figuras , población francesa figuras , etc. Artículo R25-1 del código electoral francés .
Tesoro informatizado de la lengua francesa .
Albert Dauzat , Jean Dubois, Henri Mitterand, Nuevo diccionario etimológico e histórico, Librairie Larousse, 1971. p. 162 .
Etimología dada por Robert des colleges .