En matemáticas , el anillo de números enteros de Q ( √ 5 ) es el conjunto de números reales de la forma a + b (1+ √ 5 ) / 2, donde a , b son dos enteros relativos , provistos de las operaciones habituales d ' suma y multiplicación. Es el conjunto de números más pequeño que contiene tanto enteros ordinarios como la proporción áurea φ = (1+ √ 5 ) / 2, y que es estable por suma y multiplicación. Lo denotamos aquí Z [φ].
En la teoría algebraica de números , simplemente se define como el anillo O Q ( √ 5 ) de los enteros del campo cuadrático real Q ( √ 5 ). Este anillo es euclidiano . Por tanto, tiene propiedades aritméticas similares a las de los enteros habituales: es posible definir allí una división euclidiana , calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números, demostrar el lema de Gauss , la identidad de Bézout y una versión del teorema fundamental de la aritmética , que garantiza la existencia de la descomposición de cualquier número en un producto de factores primos. Sin embargo, una diferencia importante es que solo hay dos elementos invertibles en Z , 1 y –1, pero hay un número infinito de ellos en Z [φ].
Este anillo se usa a menudo como uno de los ejemplos privilegiados para ilustrar concretamente la teoría más avanzada de los números enteros en los campos numéricos . Su aritmética también permite justificar varias propiedades matemáticas de la proporción áurea, y estudiar ciertas ecuaciones diofánticas clásicas, como x 5 + y 5 = z 5 , vinculadas al último teorema de Fermat en el caso de grado igual a 5 ox 2 - 5 y 2 = 1, un caso especial de la ecuación de Pell-Fermat .
En este artículo, usamos letras griegas para denotar elementos de Z [φ], y reservamos las letras latinas para denotar números enteros relativos o números racionales . La letra ε se usa para describir una unidad, es decir, un elemento invertible de Z [φ].
Un α elemento de Z [φ], por definición, por lo tanto, es un número (real) que se puede escribir α = un + b φ, por dos números enteros relativos a y b . Esta escritura es única, y ocasionalmente llamaremos a y b las coordenadas de α.
En esta sección se explican las operaciones (suma, multiplicación…) sobre los números α = a + b φ, y las estructuras que proporcionan estas operaciones. El enfoque seguido es análogo al utilizado en el caso de los enteros de Gauss , que son números de la forma a + b i , donde i es una solución de número complejo de la ecuación x 2 + 1 = 0, una ecuación cuadrática . Aquí φ es la solución de otra ecuación cuadrática, x 2 - x - 1 = 0. El polinomio X 2 - X - 1 se llama polinomio mínimo de φ .
De φ 2 = φ + 1, deducimos que:
Como subanillo de ℝ, el anillo Z [φ] es conmutativo , integral y totalmente ordenado (por lo tanto de característica cero).
Que podría haber imaginado (para imitar mejor enteros de Gauss, por ejemplo) para estudiar los números, aparentemente simple, de la forma de u + v √ 5 , con u y v son números enteros. Forman el conjunto denotado Z [ √ 5 ], que también es un subanillo del campo de números reales (el número √ 5 es la solución de la ecuación cuadrática x 2 - 5 = 0 y se aplica el mismo razonamiento). Este subanillo está incluido en Z [φ]: de hecho,
Esta inclusión de Z [ √ 5 ] en Z [φ] es estricta porque de acuerdo con la fórmula anterior, los únicos elementos a + b φ de Z [φ] que pertenecen al subanillo Z [ √ 5 ] son aquellos para los cuales el entero b es par.
De hecho, si las propiedades algebraicas de los dos conjuntos son análogas (son anillos para las mismas operaciones), Z [ √ 5 ] es demasiado pequeño, como veremos, para hacer aritmética cómodamente allí. Comprender lo que los buenos conjuntos de números a tener en cuenta es una de las dificultades encontradas por los matemáticos del XIX ° siglo .
La "secuencia" ( F n ) (indexada por ℤ) de los enteros de Fibonacci , definida por
comprobado:
El conjunto de números reales de la forma a + b φ con un y b racional o, lo que equivale a lo mismo , de la forma de u + v √ 5 con u y v racional, es - al igual que Z [φ] y Z [ √ 5 ] eran subanillos - una Q -subálgebra de ℝ. Dado que √ 5 es irracional , la escritura de un elemento de este conjunto en la forma u + v √ 5 con u y v racionales es única, o nuevamente: este número es cero solo si u = v = 0. De lo contrario, dice: (1 , √ 5 ) es una base de este Q - subespacio vectorial , y lo mismo para (1, φ). (Esto generaliza, por lo tanto justifica, la unicidad previamente admitida en el caso de coordenadas enteras).
Este conjunto es además estable por inversos porque si u y v son racionales y no ambos cero, entonces u 2 - 5 v 2 es un no-cero racional y 1 / ( u + v √ 5 ) = ( u - v √ 5 ) / ( u 2 - 5 v 2 ). Por lo tanto, no es solo un subanillo sino un subcampo de ℝ. Lo denotamos por Q ( √ 5 ).
Dado que Q ( √ 5 ) es el subcampo más pequeño de ℝ que contiene Q y √ 5 (o Q y φ), se identifica con el campo de fracciones de Z [ √ 5 ] y Z [φ]. Podemos preguntarnos cómo, a la inversa, recuperar estos anillos directamente de Q ( √ 5 ). Es la noción de entero algebraico lo que lo permite, al menos para Z [φ], que por lo tanto parecerá estar más naturalmente unido a Q ( √ 5 ).
Definición - El conjunto de Q ( √ 5 ) son los elementos del cuerpo cuyo polinomio mínimo sobre Q es con coeficientes en Z .
Como Q ( √ 5 ) es un campo cuadrática , todos sus elementos son algebraica de grado 1 o 2: si α = u + v √ 5 a continuación (α - u ) 2 - 5 v 2 = 0. El elemento α es número entero si y sólo si los racionales 2 u y u 2 - 5 v 2 son números enteros (relativos). Deducimos (ver " Entero cuadrático "):
Teorema - El anillo de números enteros de Q ( √ 5 ) es Z [φ].
Por tanto, el anillo Z [φ] está completamente cerrado , de modo que Z [ √ 5 ], que tiene el mismo cuerpo de fracciones pero es estrictamente más pequeño, no lo es. En consecuencia , Z [ √ 5 ] no es un anillo GCD (y a fortiori no es factorial ), a diferencia de Z [φ] que, ver más abajo , es incluso euclidiano. De hecho, Z [ √ 5 ] ni siquiera verifica el lema de Euclides , es decir, tiene elementos irreductibles no primos . Por ejemplo, 2 es irreductible en Z [ √ 5 ] (e incluso en Z [φ]: cf. § “Determinación de los elementos irreductibles de Z [φ]” más abajo ). Sin embargo, en Z [ √ 5 ], 2 no es primo: divide el producto (1 + √ 5 ) (1 - √ 5 ) = –2 2 pero no divide ninguno de los dos factores. Este problema desaparece en Z [φ], que contiene (1 + √ 5 ) / 2 = φ y (1 - √ 5 ) / 2 = 1 - φ. La definición de enteros, que aquí admite el denominador 2, es por tanto la que les garantiza las mejores propiedades. Varios autores se apoyaron en estos temas durante el XIX ° siglo, pero Richard Dedekind quien hizo una presentación completa del concepto de número entero algebraico, en los suplementos a su edición de Dirichlet supuesto en 1871.
El discriminante de Z [φ], igual a 5 , es el discriminante más pequeño de un campo cuadrático real.
Dos de las herramientas para estudiar el anillo Z [φ] constan de funciones. Una de estas funciones imita la conjugación compleja de los enteros gaussianos, la otra actúa como una medida del tamaño de un elemento de Z [φ].
La conjugación σ en Q ( √ 5 ) (invirtiendo √ 5 y su opuesto) es un automorfismo ( involutivo ) del campo Q ( √ 5 ) que deja estable Z [φ], al invertir φ y su elemento conjugado φ '= ( 1 - √ 5 ) / 2 = –1 / φ = 1 - φ. Por restricción , obtenemos así:
Teorema y definición - El mapa σ, de Z [φ] en sí mismo, definido pores un automorfismo de anillo , llamado "mapeo conjugado" .Una vez más, la situación es algo análoga a la de los números complejos. Para estos, la aplicación del módulo es muy útil: a un número, asocia la raíz cuadrada del producto de sí mismo y su conjugado. Como, en el caso que nos interesa, el producto correspondiente no siempre es positivo, generalmente evitamos sacar la raíz cuadrada y definimos en su lugar:
Definición - La norma de un elemento α de Q ( √ 5 ) es el producto ασ (α), es decir, para todos los racionales u, v, a, b ,
Por tanto, es un entero racional, e incluso relativo, si α pertenece a Z [φ]. Por ejemplo, la norma de √ 5 es igual a –5 y la norma de φ es igual a –1.
Nota - Para todo α en Z [φ], el entero N (α) es módulo 5 congruente con –1, 0 o 1.
De hecho, 4 N (α) es un cuadrado de módulo 5 .
El estándar tiene una propiedad clave más general ( ver artículos detallados):
Propiedad -
Traducido en la base (1, √ 5 ), encontramos el caso n = 5 de la identidad de Brahmagupta :
En Z [φ], una condición necesaria para que un número α divida un número γ es que N ( α ) divida N ( γ ). Por tanto, el número β tal que αβ = γ no pertenece a Z [φ] en el caso general.
Por lo tanto, para que un número α tenga una inversa, su norma debe ser igual a 1 o -1. Por tanto, estos números son como:
N ( α ) = a 2 + ab - b 2 = 1, o
N ( α ) = a 2 + ab - b 2 = -1
Estas ecuaciones tienen soluciones enteras cuando 5 a 2 +4 o 5 a 2 -4 son cuadrados. N ( α ) = ± 1 es una condición suficiente para que α sea invertible, siendo su inverso su conjugado (si N ( α ) = 1) o el opuesto de su conjugado (si N ( α ) = -1).
Por ejemplo :
φ tiene la inversa -1+ φ = - φ ' ; porque N ( φ ) = -1 y φ (-1+ φ ) = 1 5-3 φ tiene para el inverso 2 + 3 φ = 5-3 φ ' ; porque N (5-3 φ ) = 1 y (5-3 φ ) (2 + 3 φ ) = 1Cualquier producto de números invertibles es en sí mismo invertible; en particular, cualquier potencia de φ tiene una inversa. El conjunto de números invertibles de Z [φ] constituye un grupo conmutativo para la multiplicación, llamado grupo de unidades (ver la siguiente sección).
El estándar permite definir una división euclidiana . Este estándar no siempre es positivo. El stathma v , es decir la función que permite evaluar el resto de la división, así como el valor absoluto en el caso de los enteros relativos, debe tomar solo valores positivos. Por esta razón, se elige igual al valor absoluto del estándar. Luego mostramos que 5 es parte, como –1 , de los 21 valores de d para los cuales el anillo de números enteros de Q ( √ d ) es euclidiano para v :
Sean α y β dos elementos de Z [φ], siendo β distinto de cero, entonces existe al menos un par (θ, ρ) de elementos de Z [φ] tal que:
DemostraciónBasta ( cf. final del § “Definiciones” del artículo sobre anillos euclidianos ) verificar el siguiente criterio general: para cualquier elemento ζ de Q ( √ 5 ), existe al menos un elemento θ de Z [φ] tal que | N (ζ - θ) | <1.
Para todos los números reales x , y aumentó en valor absoluto en 1/2, | x 2 + xy - y 2 | <1 Así que si ζ =. A + b φ con racional una y b , la elección de los números enteros c y d tal que | a - c | ≤ 1/2 y | b - d | ≤ 1/2 entonces al establecer θ = c + d φ, tenemos | N (ζ - θ) | <1.
Esto muestra que hay una división euclidiana en el anillo Z [φ]. Tiene un aspecto algo confuso, en el sentido de que no existe una unicidad estricta, como en el caso habitual. De hecho, el número de posibilidades está vinculado al grupo de unidades. Esta situación, de hecho, no es muy diferente a la de los enteros relativos donde la división euclidiana se define solo con el signo cerca, es decir, con una unidad cercana.
Las unidades de un anillo conmutativo como Z [φ] son invertibles en su totalidad y forman un grupo (conmutativo) para la multiplicación, que contiene 1 y -1. El anillo Z solo tiene estas dos unidades. Por otro lado, un anillo de números enteros de un campo cuadrático real, como Z [φ], siempre tiene una infinidad de unidades, lo cual se verifica fácilmente en el caso particular considerado. Las unidades no se pueden tratar con las herramientas clásicas de la aritmética; las nociones fundamentales, la definición de un número primo o irreductible, la descomposición en factores irreductibles se dan al producto por una unidad, de ahí la utilidad de describirlos. Llamamos "asociados" a dos elementos del anillo que se deducen entre sí mediante la multiplicación por una unidad.
El estudio general del grupo de unidades de un campo cuadrático muestra que:
Se dice que un número de Z [φ] es primo o irreducible si cualquier descomposición del número en dos factores de Z [φ] incluye uno y sólo un elemento del grupo de unidades.
Nota: si α es invertible con la inversa ᾱ , cualquier número γ siempre se puede escribir:
γ = αᾱγ = αβ , estableciendo β = ᾱγUn número de Z [φ] cuyo valor absoluto de la norma es un número primo es primo o irreducible.
Ejemplos:
√5 es irreducible porque N (√5) = -5 2+ φ es irreducible porque N (2+ φ ) = 5 19 es reducible porque N (19) = 19 2 y 19 = (4 + 3 φ ) (7-3 φ )Un número distinto de cero de Z [φ] que no es una unidad se puede escribir como un producto de números primos.
Los números primos o irreductibles juegan un papel esencial en la aritmética de Z y es lo mismo en Z [φ].
Como en Z , cualquier elemento de Z [φ] se descompone en factores irreductibles, y esto de una manera casi única. El “aproximadamente” proviene de las unidades: en Z , 6 tiene varias descomposiciones factoriales primas, 2 × 3, pero también –2 × –3 por ejemplo. De manera similar, en Z [φ], los factores irreducibles no se fijan hasta que el producto se acerca a una unidad.
Un número primo de Z no siempre es irreducible en Z [φ]. Por ejemplo: 5 = ( √ 5 ) 2 , o también: 11 = 4 2 - 5 = (4 + √ 5 ) (4 - √ 5 ).
La clasificación de los ideales primos del anillo de números enteros de Q ( √ d ) para cualquier d (cf. artículo detallado), aplicada aquí ad = 5, indica que:
Los elementos irreductibles de Z [φ] son:
Además, en el segundo caso p = | πσ (π) |, el único p para el que π y σ (π) están asociados es p = 5.
Podemos probarlo nuevamente notando primero que (de acuerdo con las propiedades generales de la norma en un anillo de números enteros cuadráticos ) los irreducibles de Z [φ] se obtienen descomponiendo en este anillo los números primos usuales, y para tal primo natural número p , solo hay dos posibilidades:
Queda por verificar que estos dos casos corresponden a las congruencias anunciadas y que 5 es el único número primo “ ramificado en Q ( √ 5 ) ”.
VerificaciónSi p ≡ ± 2 (mod 5) entonces (de acuerdo con la observación sobre las normas del módulo 5 ) p no tiene la forma | N (π) |, por lo que p permanece irreductible en Z [.].
Si p ≡ ± 1 (mod 5), un caso especial de la ley de reciprocidad cuadrática muestra que 5 es un cuadrado módulo p , es decir, existe un entero x tal que p divide x 2 - 5 En Z [φ], p no puede por tanto ser irreducible, de lo contrario, dividiendo x 2 - 5 = ( x + √ 5 ) ( x - √ 5 ), que sería dividir uno de los factores, lo cual es imposible porque los números x / p - √ 5 / p y x / p + √ 5 / p no están en el ring.
El caso p = 5 ya ha sido examinado. Es el único p = | πσ (π) | para lo cual se asocian π y σ (π). De hecho, sea π = a + b φ un elemento del anillo y p ≠ 5 un número primo que divide π 2 = ( a 2 + b 2 ) + ( b + 2 a ) b φ. Entonces p divide 4 b ( a 2 + b 2 ) + ( b - 2 a ) ( b + 2 a ) b = 5 b 3 entonces divide by - ya que divide a 2 + b 2 - también divide a 2 por lo tanto a por lo tanto, finalmente, π.
El pequeño teorema de Fermat para cualquier campo numérico se aplica en particular a cualquier cuerpo cuadrático , así ( √ 5 ):
Sea π un elemento irreducible de Z [φ] y α un elemento de Z [φ] que no es múltiplo de π. Entonces
es decir, α | N (π) | –1 - 1 es divisible por π.
La caracterización de los elementos irreductibles dada anteriormente permite detallar esta afirmación: bajo los mismos supuestos pero excluyendo el caso donde π está asociado con √ 5 ,
Consideramos un elemento irreducible π de Z [φ], y un elemento α no divisible por π, que podemos escribir a + b φ, con a y b enteros, o incluso c / 2 + ( d / 2) √ 5 , con c y d números enteros.
El pequeño teorema de Fermat en Z [φ] nos permite establecer lo que se llama la "ley de aparición de los números primos dentro de la secuencia de Fibonacci ": cualquier número primo divide uno de los términos de la secuencia de Fibonacci. Mas presisamente :
De hecho, según el pequeño teorema de Fermat en Z [φ], p divide φ p –1 - 1 = F p –2 + F p –1 φ - 1 yq divide φ q +1 + 1 = F q + F q +1 φ + 1.
Podemos probar el resultado numéricamente. Por ejemplo, F 11–1 = 5 × 11 (y F 11–2 - 1 = 3 × 11), F 17 + 1 = 2,584 = 152 × 17 (y F 17 + 1 = 1,598 = 94 × 17).
Otro uso del pequeño teorema de Fermat en Z [φ] es proporcionar una condición necesaria y suficiente para que ciertos números de Mersenne sean primos. Más precisamente, si p = 4 n + 3 es un número primo, el número de Mersenne M = 2 p - 1 es primo si y solo si r p –1 ≡ 0 (mod M ), donde la secuencia ( r m ) está definida por inducción: r 1 = 3 y r m +1 = r m 2 - 2.
La prueba se basa en el hecho de que la secuencia ( r m ) se expresa en función de φ, r m = φ 2 m + σ (φ) 2 m . El criterio de primalidad proporcionado por este resultado es el utilizado por Édouard Lucas para demostrar que el número de Mersenne 2127-1 es primo.
El objetivo es, para un entero fijo d no divisible por 5, resolver en números enteros la ecuación
o de nuevo, de acuerdo con el § "Estándar" anterior :
Por lo tanto, buscamos ( cf. § “Una observación sobre Z [ √ 5 ]” arriba ) los elementos a + b φ de Z [φ] de la norma d con b par, estos elementos están conectados a las soluciones de (E d ) por el cambio de variables u = a + b / 2 , v = b / 2.
Esta restricción al subanillo Z [ √ 5 ] no es muy problemática porque
cada elemento de Z [φ] es el producto de un invertible por un elemento del subanillo Z [ √ 5 ].
De hecho, para cualquier α en Z [φ], uno de los tres números α, φ 2 α (de la misma norma) o φα (de la norma opuesta) pertenece a este subanillo.
Por lo tanto, inicialmente estamos interesados en todos los elementos de Z [φ] de la norma ± d .
Resolver las dos ecuaciones (E ± 1 ) proviene directamente de conocer las unidades de Z [φ]; tienen la forma ± φ n donde n es un número entero relativo y la norma es (–1) n . La secuencia de Fibonacci da las coordenadas de las potencias de φ , pero es necesario determinar en qué casos el coeficiente de φ en la escritura de estas unidades es par. Ahora MCD ( F n , 2) = MCD ( F n , F 3 ) = F MCD ( n , 3) por lo tanto F n es par si y solo si n es un múltiplo de 3. Los conjuntos S ± 1 de las soluciones de las ecuaciones (E ± 1 ) son por tanto:
o nuevamente, usando los números de Lucas L n = 2 F n –1 + F n :
El análisis de los elementos irreductibles de Z [φ] permite resolver la cuestión: existen en Z [φ] elementos de norma ± p si y sólo si p es congruente con 1 o con –1 módulo 5.
El caso general se puede deducir de esto:
Si en la factorización prima de d aparece un factor primo congruente con 2 o con –2 módulo 5 con un exponente impar, entonces las dos ecuaciones (E ± d ) no tienen solución.
De hecho, el valor absoluto de la norma de un elemento irreducible correspondiente a este tipo de factor es necesariamente un cuadrado.
Si en la factorización prima de d no aparece ningún factor primo congruente con 2 o con –2 módulo 5 con exponente impar, entonces las dos ecuaciones (E ± d ) admiten cada una una infinidad de soluciones.
Bajo este supuesto, los diversos factores primos de d , o sus cuadrados en el caso de factores de la forma 5 n + 2 o 5 n - 2, corresponden a las normas de los elementos de Z [φ]. Aplicando la multiplicatividad de la norma, hacemos un elemento de Z [φ] de la norma ± d y deducimos (multiplicándolo si es necesario por φ o φ 2 ) un elemento α = a + b φ de Z [ √ 5 ] de estándar d o - d .
Para deducir todas las soluciones de las dos ecuaciones (E d ) y (E - d ), procedemos como en el caso d = ± 1 anterior (para el cual α se eligió igual a 1): las soluciones corresponden, entre los ± φ m α con m entero relativo par para uno e impar para el otro, a los elementos que también pertenecen al subanillo Z [ √ 5 ]. Teniendo en cuenta que b es par, esta condición adicional sobre m da como resultado: aF m es par, es decir, si a es impar: m múltiplo de 3 (por el mismo argumento que en el caso de d = ± 1 ).
Para el exponente 5, el último teorema de Fermat establece que no hay triplete ( x , y , z ) de primos enteros distintos de cero y de dos a dos entre ellos de manera que x 5 + y 5 = z 5 . Si existe, uno de los tres enteros es, obviamente, mucho, sino también, de acuerdo con el teorema de Sophie Germain , uno de los tres es divisible por 5. Por lo tanto, hay que distinguir dos casos, dependiendo de si el mismo x , y o z es divisible por 2 y 5 o no.
En julio de 1825 , Gustav Lejeune Dirichlet , entonces en París, presentó a la Academia de Ciencias una prueba del teorema, en el caso de que una de las x , y , z sea divisible por 10. Adrien-Marie Legendre , relator de la tesis de Dirichlet en la Academia, completó la demostración unos meses después. Dirichlet finalmente dio una nueva versión, siguiendo los principios de su propia prueba, porNoviembre 1825. Es en esta demostración que Dirichlet usa las propiedades de los números de Z [φ].
La prueba ( ver artículo detallado) se basa en el siguiente lema clave:
Si dos números enteros u y v , primos entre sí y de diferentes partos, son tales que U 2 - 5 v 2 es un quinto poder y v es divisible por 5, entonces hay dos números enteros U y V tales que u + v √ 5 = ( U + V √ 5 ) 5 .
Para esto, Dirichlet demuestra de manera más general:
Si dos números enteros u y v , primos entre sí, son tales que U 2 - 5 v 2 es un quinto poder extraño y no divisible por 5 a continuación, en Z [ √ 5 ], u + v √ 5 es el producto de una quinto poder por un elemento de la norma 1.
La siguiente prueba de estos dos lemas no es exactamente suya. Utilizaremos el preámbulo del estudio de los elementos irreductibles de Z [φ] , el hecho de que Z [ √ 5 ] = Z + 2 Z [φ] , y el conocimiento de los invertibles de Z [ √ 5 ] .
DemostraciónPongámonos bajo los supuestos del lema general (en el último punto, deduciremos el “lema clave”).