Ideal fraccional

En matemáticas , y más precisamente en teoría de anillos , un ideal fraccionario es una generalización de la definición de un ideal . Este concepto debe su origen a la teoría algebraica de números . Para resolver algunas ecuaciones diofánticas , esta teoría utiliza anillos de enteros generalizando el de enteros relativos . Estos anillos (unitarios) generalmente no tienen un equivalente del teorema fundamental de la aritmética y no es posible factorizar un número entero en un solo producto de factores primos excepto para el grupo de elementos invertibles . Los ideales proporcionan un equivalente de este teorema, permitiendo resolver ciertas ecuaciones diofánticas o establecer leyes de reciprocidad equivalentes a la ley de reciprocidad cuadrática establecida por Gauss .

Los ideales tienen una multiplicación, esta operación es asociativa y hay un elemento neutro compuesto por todo el anillo. Por otro lado, la falta de retroceso impide dotar a todos los ideales de una estructura de grupo . En el caso de anillos de números enteros, la estructura tiene todas las propiedades adecuadas para proporcionar un desvío. Esta configuración está axiomatizada en la definición de un anillo Dedekind . Primero, el anillo se sumerge en su anillo total de fracciones , luego se generaliza la noción de ideal.

Esta noción también se utiliza en geometría algebraica .

Historia

Un intento de Leonhard Euler de resolver el último teorema de Fermat si n es igual a 3 lo lleva a considerar números de la forma a + b $i$ √ 3 , donde a y b son números enteros e $i$ la unidad imaginaria . Su prueba es falsa: tal anillo no es factorial , es decir que no existe una forma única de factorizar un número utilizando factores primos. Por ejemplo, 4 es tanto el cuadrado del número entero 2 como el producto (1 + $i$ √ 3 ) (1 - $i$ √ 3 ). Si la implementación es un poco torpe, la idea resulta ser buena. Gauss muestra esto al estudiar el anillo de números de la forma a + $i$ b , donde a y b son números enteros. Es euclidiana y tiene una buena factorización. Gotthold Eisenstein descubre el anillo "correcto" para hacer rigurosa la demostración de Euler. Compuesto por números de la forma a + $j$ b , donde $j$ denota una raíz cúbica de la unidad , también resulta ser euclidiana.

En el caso general, es inútil esperar encontrar una estructura euclidiana para los anillos de números enteros. Ernst Kummer comprende la razón subyacente de esto, que describe como la segunda obstrucción . Los equivalentes de números enteros en anillos de números enteros algebraicos no son lo suficientemente "numerosos". En consecuencia, agrega lo que él llama números ideales . Este descubrimiento le permite probar el gran teorema de Fermat para todos los valores de n menores que 100 excepto 37, 59 y 67.

Kummer analiza los números enteros algebraicos del campo Q [ζ n ], donde ζ n denota una raíz primitiva de la unidad , una estructura ahora llamada extensión ciclotómica . Richard Dedekind y Leopold Kronecker buscan generalizar la teoría a cualquier extensión finita de números racionales. Sus enfoques son opuestos: Kronecker sigue la tradición computacional, establecida por Gauss y seguida por Kummer, mientras que Dedekind busca una teoría basada en las características estructurales de los anillos de números enteros, aunque eso signifique no tener un algoritmo efectivo. Esta filosofía lo llevó a reescribir cuatro veces su tratado sobre teoría de números. La versión de 1876 contiene la definición moderna de ideal e ideal fraccional. Su enfoque abstracto lo impulsa a estudiar la estructura algebraica de los ideales y, en particular, su multiplicación. La suma de ideales fraccionarios asegura la existencia de un inverso. La última versión de su tratado, fechada en 1894 , muestra con toda generalidad y en su forma moderna la unicidad de la descomposición que reemplaza al teorema fundamental de la aritmética .

Definiciones

A lo largo de este artículo, A designa un anillo conmutativo (unitario) y K su anillo total de fracciones : si A es integral (que será el caso la mayor parte del tiempo), K es, por tanto, el campo de las fracciones de A , y en el En el caso general, K es el anillo localizado S −1 A de A con respecto al subconjunto S de elementos regulares ( es decir, no divisores de cero ).

Un sub A -módulo M de K se dice invertible si existe una sub A -módulo N de tal manera que MN = A , donde MN indica la producto submódulo generado por los elementos de los productos M y N .
Un ideales fraccional de A es una parte K de la forma d -1 J donde d es un miembro regular A y J un ideales de A . En otras palabras, se trata de un sub- A - Módulo M de K tal que no es una característica habitual de de A para la que dM está incluido en A .
Tan ideal fraccional se dice director si se genera (como A -módulo) por un elemento, es decir, si tiene la forma de -1 J , donde J es un ideales principales de A .

Atención a este término equivocado: un ideales fraccional de A no es siempre un ideal de A . De hecho, los ideales de A son exactamente entre sus ideales fraccionarios, los incluidos en una .

Inmediatamente notamos que

cualquier submódulo A invertible de K es un ideal fraccionario,
el conjunto de ideales fraccionarios invertibles forma un grupo abeliano (para el producto definido anteriormente), cuyo neutro es el propio anillo A,
todo ideal fraccionario invertible es de tipo finito como A -módulo, en otras palabras es de la forma d −1 J con J ideal de tipo finito. En particular, cualquier ideal invertible de A es de tipo finito,
si un ideales fraccional F es invertible entonces su inverso (nota que F -1 ) es la sub A -módulo K consta de los elementos k tal que kF se incluye en A . En otras palabras: F es invertible si y solo si su producto por este submódulo es igual a A todo.

Caracterizaciones de los anillos de Dedekind

La definición de anillo de Dedekind adoptada por muchos autores y recogida en el artículo Anillo de Dedekind es: anillo integral, noetheriano , completamente cerrado (unidad conmutativa) , del cual cualquier ideal primo distinto de cero es máximo . Lo volvemos a tomar aquí, pero veremos que es equivalente al debido a Dedekind (anillo del cual cualquier ideal distinto de cero es invertible), más adecuado al objetivo de un análogo, en términos de ideales, del teorema fundamental de l 'aritmética .

Teorema : las siguientes propiedades son equivalentes:

A es un anillo de Dedekind,
cualquier ideal primo distinto de cero de A es invertible,
cualquier ideal distinto de cero de A es invertible,
A es integral y cualquier ideal distinto de cero de A es el producto de ideales máximos,
A es honesto y todo ideal de A es producto de ideales primarios.

Además, si A es un anillo de Dedekind, la descomposición de cualquier ideal distinto de cero en un producto de ideales primos es única (hasta el orden de los factores).

Demostración

${\ Displaystyle 1 \ Rightarrow 2}$ : O P un ideal primo no nulo de A . El localizada A P es un anillo discreto valoración de modo principal, hay un elemento t de P generar el ideal PA P a A P , es decir de tal manera que P está incluido en tA P .

Además, A es noetheriano , ya sea ( p 1 , ..., p r ) un P generador finito . Cada p i pertenece a tA P , por lo que no existe en A un elemento de una que no pertenece a P tal que el ( a / t ) p i pertenecen a A , de modo que (a / t) .P está incluido en A .

Definir el ideal fraccional Q = A + ( una / t ) A y compruebe que es la inversa de P . Por construcción, QP es un ideal de A que contiene P . Dado que también contiene el elemento ( una / t ) t = a que no está en P , y P es máxima, deducimos que QP = A .

${\ Displaystyle 2 \ Rightarrow 3}$ : Razonemos por lo absurdo asumiendo 2 verdaderos y 3 falsos. La hipótesis 2 implica que todo ideal primo es de tipo finito, lo que es una condición suficiente para que A sea noetheriano. La hipótesis 3 es selecciona entonces falsas, en conjunto (no asume vacío) distinto de cero y no ideales invertibles, un elemento maximal P . Demostremos (para concluir absurdamente) que tal P es primo: sea tal que y , demostremos eso . Considere para eso el ideal : contiene estrictamente P por lo tanto es invertible, y PQ −1 es un ideal de A no invertible (como P ) y contiene P , por lo tanto igual a P (por elección de este último). Sin embargo, también contiene b (ya que P contiene bQ ). Entonces . ${\ Displaystyle a, b \ in A}$ ${\ Displaystyle a \ notin P}$ ${\ Displaystyle ab \ in P}$ ${\ Displaystyle b \ in P}$ ${\ Displaystyle Q = P + aA}$ ${\ Displaystyle b \ in P}$

${\ Displaystyle 3 \ Rightarrow 4}$ + unicidad de la descomposición en primeras : la hipótesis 3 implica que A es integral (porque los ideales principales distintos de cero son invertibles) y noetheriano (cualquier ideal invertible es de tipo finito). Sea yo un ideal de A distinto de cero , demostremos que es un producto de máximos. Si es igual a A , lo es (en forma de producto indexado por el vacío). De lo contrario, ser una máxima ideales que contiene I : no es cero, por tanto, reversible, y es un ideal de A que contiene estrictamente I . Construimos así una secuencia estrictamente creciente de ideales de la forma que (por noetherianity) es finita, es decir que existe un número natural n tal que , por tanto . Demostremos ahora que si con primos entonces m = ny (hasta permutación) . Si m = 0 es inmediato. De lo contrario, dado que es primo y contiene el producto , contiene uno de ellos, por ejemplo, por lo tanto (por maximalidad de ) . Al multiplicar la ecuación inicial por ella permanece , por lo tanto (iterando) el resultado deseado. $M_ {1}$ $M_ {1}$ ${\ Displaystyle IM_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle IM_ {1} ^ {- 1} \ ldots M_ {n} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle IM_ {1} ^ {- 1} \ ldots M_ {n} ^ {- 1} = A}$ ${\ Displaystyle I = M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ ${\ Displaystyle P_ {1} \ ldots P_ {m} = M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ $Pi$ ${\ Displaystyle (P_ {1}, \ ldots, P_ {n}) = (M_ {1}, \ ldots, M_ {n})}$ $P_ {1}$ ${\ Displaystyle M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ $M_ {1}$ $M_ {1}$ ${\ Displaystyle P_ {1} = M_ {1}}$ ${\ Displaystyle M_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle P_ {2} \ ldots P_ {m} = M_ {2} \ ldots M_ {n}}$

${\ Displaystyle 4 \ Rightarrow 5}$ : Inmediato.

${\ Displaystyle 5 \ Rightarrow 2}$ : cf.

Bourbaki AC VII § 2 ejercicio 9, o
(fr) Pierre Samuel y Oscar Zariski , Álgebra conmutativa , vol. 1 cap. V § 6 teorema 10, o nuevamente
Teorema 11.149 (atribuido a Matusita) en Szpirglas

(en estas tres fuentes, el conjunto de argumentos es el mismo).

${\ Displaystyle 2 \ Rightarrow 1}$ : Bajo la hipótesis 2 (que involucra 3, 4, 5 y la unicidad de la descomposición en primo), ya hemos visto que A es noetheriano y se integra. Además (véase el párrafo Valoración a continuación) podemos asociar con cada P ideal primo distinto de cero de A una valoración v P sobre K tal que A es la intersección de los anillos de valoración asociados. Por lo tanto, está completamente cerrado (consulte el artículo completo de Element ). Cualquier P ideal primo distinto de cero es máximo (por la existencia de una descomposición en máximos y la unicidad de la descomposición en primos). Por tanto, A satisface todas las propiedades necesarias para ser un anillo Dedekind.

De ello se deduce inmediatamente que si A es un anillo de Dedekind, entonces:

el grupo de ideales fraccionarios invertibles es el más grande que se puede esperar: consiste en el conjunto Fr ( A ) de todos los ideales fraccionarios distintos de cero (porque tal ideal es de la forma d −1 J = J. (dA) - 1 con J ideal de A distinto de cero de A por tanto invertible);
el grupo Fr ( A ) es el grupo abeliano libre en el conjunto P ( A ) de los ideales primos distintos de cero de A , es decir, cualquier ideal fraccionario se descompone de una manera única en un producto finito de potencias positivas o negativas de ideales primos ( la existencia de tal descomposición para los ideales fraccionarios se deduce de la de los ideales, y de la escritura anterior de un ideal fraccionario; la unicidad también, al reducir, por producto, a potencias positivas);
un ideal fraccional es un ideal de A si y solo si todas las potencias, en su descomposición en el producto de ideales primos, son positivas (“si” es inmediato, “solo si” se deduce del final del teorema).

Valuación

Suponemos aquí que A es un anillo que satisface la propiedad 2 del teorema anterior, y todas sus consecuencias (propiedades 3 a 5, integridad, noetherianidad, unicidad de la descomposición en primeras). Explicaremos las valoraciones de A que nos permiten completar la demostración de 2 ⇒ 1 en este teorema. Primero, fijamos el ideal primo P distinto de cero :

{\ Displaystyle P \ en P (A)}

La unicidad de la factorización prima de los ideales fraccionarios permite, al igual que para los números naturales o los números racionales, definir una valoración sobre el grupo multiplicativo Fr ( A ):

La aplicación v P que un ideales fraccional F distinto de cero cosechadoras exponente P en su descomposición en ideales primos, y que combina el ideal cero de valor infinito, se llama de valoración sobre Fr ( A ) P .

{\ Displaystyle v_ {P_ {i}} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {n} P_ {j} ^ {\ alpha _ {j}} \ right) = \ alpha _ {i} \ quad {\ text {y}} \ quad v_ {P} (\ {0 \}) = \ infty.}

De los resultados del párrafo anterior deducimos inmediatamente que para todos : ${\ Displaystyle F, G \ en Fr (A)}$

${\ Displaystyle v_ {P} (F \ cdot G) = v_ {P} (F) + v_ {P} (G)}$
${\ Displaystyle v_ {P} (F + G) = \ min {\ big (} v_ {P} (F), v_ {P} (G) {\ big)}}$
${\ Displaystyle v_ {P} (F \ cap G) = \ max {\ big (} v_ {P} (F), v_ {P} (G) {\ big)}}$

Esto hace posible definir una valoración de K al restringir v P a ideales fraccionarios principales distintos de cero:

la aplicación a un elemento k de la fracción K de A asociados v P ( kA ) se llama evaluación sobre K P . Esta aplicación todavía se denota v P .

{\ Displaystyle \ forall k \ in K ^ {*}, \; v_ {P} (k) = v_ {P} (kA) \ quad {\ text {y}} \ quad v_ {P} (0) = \ infty.}

En K , la familia de valoraciones ( v P ), cuando P ahora atraviesa el conjunto P ( A ) de ideales primos distintos de cero, satisface además:

Para cualquier elemento x de A distinto de cero , v P ( x ) es estrictamente positivo solo para un conjunto finito de ideales (y es cero para los demás). ${\ Displaystyle P \ en P (A)}$

En otras palabras, x solo pertenece a un número finito de ideales primos.

“Teorema de aproximación”: sean distintos, y . Existe entonces tal que ${\ Displaystyle P_ {1}, \ ldots, P_ {q} \ in P (A)}$ ${\ Displaystyle n_ {1}, \ ldots, n_ {q} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle k_ {1}, \ ldots, k_ {q} \ in K}$ $k \ in K$

{\ Displaystyle {\ text {para todo}} i \ in [1, q], \ quad v_ {P_ {i}} (k-k_ {i}) \ geq n_ {i} {\ text {y}} }

{\ displaystyle {\ text {pour tout}} P \ in P (A) {\ text {distinto de}} P_ {i}, \ quad v_ {P} (k) \ geq 0.}

Grupo de clases ideales

Los principales ideales fraccionarios distintos de cero son un subgrupo del grupo de ideales fraccionarios distintos de cero. El grupo del cociente se llama grupo de clase . Si A es el anillo de enteros algebraicos de un campo numérico, entonces su grupo de clases es de orden finito. Este resultado es una de las claves que permite resolver las ecuaciones diofánticas y en particular el vinculado al último teorema de Fermat .

Todas estas propiedades también se estudian, en el marco más simple de los enteros cuadráticos , en el artículo Ideal del anillo de enteros de un campo cuadrático .

Notas y referencias

Notas

John Horton Conway y Richard Guy , El libro de los números , Eyrolles, 1998 ( ISBN 9782212036381 ) .
(en) HM Edwards , " El trasfondo de la prueba de Kummer del último teorema de Fermat para las primas regulares " , Arch. Historia Exact Sci. , vol. 14, n o 3,1975, p. 219-236 ( DOI 10.1007 / BF00327448 ).
E. Kummer, "Sobre la teoría de números complejos", CRAS , 1847.
Se ofrece un análisis en la introducción del texto (en) La versión de 1871 de Dedekind de la teoría de los ideales de Jeremy Avigad , 2004.
Dedekind, 2006 .
(de) R. Dedekind, "Zur Theorie der Ideale", Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen , 1894.
Bourbaki AC , II § 1, ejercicio 6.
Jean-Pierre Serre , Cuerpo local [ detalle de ediciones ] pag. 23 , o Bourbaki AC , VII § 2, n o 4.

Referencias

Histórico

(en) HM Edwards, Teoría del divisor , Birkhäuser, Boston, 1990 ( ISBN 978-0-81763448-3 )
R. Dedekind ( trad. C. Duverney), Tratado sobre teoría de números , Ginebra, Tricorne,2006( ISBN 2829302893 ) - Libro de Dedekind que da la definición de ideal fraccionario.

Matemáticas

N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas : álgebra conmutativa
(en) GH Hardy y EM Wright , Una Introducción a la Teoría de Números ( 1 st ed. 1938) [ detalle de las ediciones ]
Pierre Samuel , Teoría algebraica de números [ detalle de la edición ]
Jean-Pierre Serre , curso de aritmética ,1970[ detalle de ediciones ]
Aviva Szpirglas, Álgebra L3: Curso completo con 400 pruebas y ejercicios corregidos [ detalle de ediciones ], en particular el capítulo Inverting Ideals - Rings of Dedekind publicado en línea por Lionel Ducos ( Universidad de Poitiers ), colaborador de este libro.

Enlace externo

Bas Edixhoven y Laurent Moret-Bailly, Teoría algebraica de números, curso de maestría en matemáticas , Universidad de Rennes 1 ,2004( leer en línea )