Polinomio ciclotómico

En matemáticas , más precisamente en álgebra conmutativa , el polinomio ciclotómico habitual asociado con un entero natural n es el polinomio unitario cuyas raíces complejas son las n - ésimas raíces primitivas de la unidad . Su grado vale φ ( n ), donde φ designa la función del indicador de Euler . Es con coeficientes enteros e irreductible en ℚ . Cuando reducimos sus coeficientes módulo un número primo p que no divide n , obtenemos un polinomio unitario (también llamado polinomio ciclotómico) con coeficientes en el campo finito F p , y cuyas raíces son las n -ésimas raíces primitivas de la unidad en el cierre algebraico de este cuerpo, pero que ya no es necesariamente irreductible. Para cualquier entero m , el polinomio X m - 1 es el producto de los polinomios ciclotómicos asociados con los divisores de m .

El análisis de estos polinomios permite la resolución de muchos problemas. Históricamente, la construcción de polígonos regulares con una regla y un compás es lo que llevó al desarrollo del concepto. Se utilizan tradicionalmente para ilustrar la teoría de Galois , la solución de ecuaciones algebraicas y la estructura de extensiones abelianas .

Historia

Nacimiento del concepto

Carl Friedrich Gauss utiliza polinomios ciclotómicos en su Disquisitiones arithmeticae , publicado en 1801 . Aporta una importante contribución a un problema abierto desde la Antigüedad: el de la construcción con la regla y el compás de polígonos regulares. Estas obras sirven de referencia a lo largo del siglo. En este texto, Gauss determina con precisión la lista de polígonos construibles y proporciona un método eficaz para su construcción hasta el polígono de 256 lados. Este problema de construcción recibió una respuesta definitiva en 1837 por Pierre-Laurent Wantzel .

Este enfoque es innovador y en muchos sentidos presagia el álgebra moderna:

Un polinomio ya no aparece como un objeto por derecho propio sino como un elemento de un todo estructurado. Si la noción de anillo de polinomios aún no está formalizada, se descubre su estructura euclidiana y representa la herramienta básica del análisis gaussiano.

La resolución efectiva de la ecuación ciclotómica lleva a Gauss a considerar una estructura finita: la de las permutaciones de las raíces. Ahora se les llama el período gaussiano . Aquí nuevamente, sus propiedades algebraicas permiten encontrar la solución. Este enfoque prefigura el uso de la teoría de grupos en álgebra y teoría de Galois .

Posteriormente se definen nuevas estructuras. La división euclidiana introduce la noción de resto y su conjunto tiene fuertes propiedades algebraicas. Esta estructura se considera ahora como un caso especial de un campo finito si el divisor es un número primo . Gauss destaca tales conjuntos y utiliza antes de tiempo el transporte de estructura por morfismo entre dos anillos para mostrar el carácter irreductible de los polinomios ciclotómicos. En el mismo libro, utiliza estas mismas estructuras para resolver otro problema que Leonhard Euler no logró formular hasta el final de su vida: el de la ley de reciprocidad cuadrática .

A partir de ese momento, se ofrecieron muchas aplicaciones. El uso de la geometría no se limita a la construcción de reglas y brújulas. El polinomio ciclotómico del índice cuatro permite la construcción de un nuevo conjunto de números algebraicos : el de los enteros de Gauss . Nace una rama matemática: la teoría algebraica de números , simplifica la solución de ecuaciones diofánticas y permite resolver otras nuevas.

Polinomio ciclotómico y ecuación algebraica

La búsqueda de soluciones a la ecuación polinomial es un problema que se remonta a los primeros desarrollos sobre polinomios por parte de matemáticos de lengua árabe. Si generalmente se cita a Al-Khwârizmî ( 783 - 850 ) como un precursor con la resolución de seis ecuaciones canónicas, entonces Girolamo Cardano ( 1501 - 1576 ) para la resolución del caso de grado tres y Ludovico Ferrari ( 1522 - 1565 ) para el cuarto. grado, el caso general ha sido durante mucho tiempo un misterio.

Joseph-Louis Lagrange ( 1736 - 1813 ) entiende que la resolución de este problema general está íntimamente ligada a las propiedades de las permutaciones de las raíces. El caso particular de polinomios ciclotómicos ilustra esto. El grupo de buenas permutaciones, hoy llamado grupo de Galois , no solo es conmutativo sino incluso cíclico . Esta propiedad, utilizada a través del concepto de períodos gaussianos , permite una resolución efectiva para este caso particular.

Un análisis más profundo de Paolo Ruffini ( 1765 - 1822 ) , Niels Henrik Abel ( 1802 - 1829 ) y especialmente de Évariste Galois ( 1811 - 1832 ) muestra que el aspecto conmutativo del grupo es de hecho una condición suficiente. Para ser precisos, la condición indica que el grupo debe ser descomponible en una serie de grupos anidados conmutativos. La cuestión natural que surge entonces es determinar las extensiones del campo de los números racionales del que es conmutativo el grupo de Galois. Estas extensiones se denominan extensiones abelianas . Un ejemplo es la estructura corporal asociada con el polinomio ciclotómico, llamado extensión ciclotómica. Que sea única significa que cualquier ecuación algebraica con solución de radicales de alguna manera se reduce a un polinomio ciclotómico. La respuesta es positiva: cualquier extensión abeliana del cuerpo racional es un subcampo de una extensión ciclotómica. Se necesitaron casi medio siglo de esfuerzo para demostrar este resultado. Los principales artesanos son Leopold Kronecker ( 1823 - 1891 ) y Heinrich Weber ( 1842 - 1913 ) .

Si el análisis de finitos extensión abeliana extremos con el XIX ° siglo, deja abierto un amplio campo de temas, tales como la aritmética. Entonces parece necesario generalizar la noción de campo ciclotómico en extensiones infinitas. El tema es abierto por David Hilbert ( 1862 - 1943 ) . Esta línea de investigación se denomina teoría de campos de clases . Esta teoría es uno de los más exitosos en el XX ° siglo. Estos incluyen, por ejemplo, el teorema de reciprocidad de Emil Artin ( 1898 - 1962 ) que resuelve los problemas del Noveno Hilbert o, más recientemente, dos ganadores de la Medalla Fields por su trabajo sobre generalizaciones de la teoría: Vladimir Drinfeld en 1990 y Laurent Lafforgue en 2002. .

Definición y ejemplos

Definición

Sea n un entero estrictamente positivo.

El n - ésimo polinomio ciclotómico habitual , Φ n , se define por

{\ Displaystyle \ Phi _ {n} (X) = \ prod _ {1 \ leq k <n, ~ k \ land n = 1} \ left (X- \ exp \ left ({\ frac {2ik \ pi} {n}} \ derecha) \ derecha),}

donde k ∧ n = 1 significa que k y n son primos entre sí .

Es el caso particular correspondiente a un campo de característica nula de la siguiente generalización.

Sea k un campo cuya característica no divide a n . El n - ésimo polinomio ciclotómico sobre k , Φ n, k , está definido por

\ Phi _ {{n, k}} (X) = \ prod _ {{\ zeta \ in \ mu _ {{n, k}} ^ {*}}} (X- \ zeta) ~,

donde μ * n, k denota el conjunto de n -ésimas raíces primitivas de unidad en un campo de descomposición de X n - 1 sobre k .

Inmediatamente notamos que:

este polinomio es unitario ,
sus raíces son simples,
su grado vale φ ( n ), donde φ indica la función indicadora de Euler ,
es igual a Φ n, k 0 si k 0 es el subcampo principal de k .

Algunas propiedades más secundarias también se derivan directamente de la definición:

para n > 1, Φ n es un polinomio recíproco , es decir, en la secuencia de sus coeficientes, el primero es igual al último, el segundo al penúltimo, etc. ;
si p es un número primo que no divide n entonces Φ pn ( X ) = Φ n ( X p ) / Φ n ( X ) - por ejemplo ; ${\ Displaystyle \ Phi _ {p} (X) = {\ frac {X ^ {p} -1} {X-1}} = X ^ {p-1} + X ^ {p-2} + \ dots + X ^ {2} + X + 1}$
si q es el radical de n - por ejemplo, si n es una potencia de un número primo q - entonces Φ n ( X ) = Φ q ( X n / q );
Φ 2 n ( X ) es igual a Φ n (- X ) si n es impar, y a Φ n ( X 2 ) si n es par.

En el resto del artículo, demostraremos las siguientes propiedades más importantes:

los polinomios ciclotómicos habituales Φ n tienen coeficientes enteros e irreductibles en ℚ .
Φ n, k ( X ) es la imagen de Φ n ( X ) por el morfismo canónico ℤ [ X ] → k [ X ];

La segunda propiedad es que el polinomio ciclotómico sobre k , Φ n, k , a menudo se denota simplemente Φ n .

Llamamos campo ciclotómico , o extensión ciclotómica de ℚ, a cualquier campo de ruptura (que también será el campo de descomposición ) de un polinomio ciclotómico habitual Φ n .

Primeros polinomios ciclotómicos

Los primeros seis polinomios ciclotómicos son:

\ Phi _ {1} (X) = X-1 \,

\ Phi _ {2} (X) = X + 1 \,

\ Phi _ {3} (X) = X ^ {2} + X + 1 \,

{\ Displaystyle \ Phi _ {4} (X) = \ Phi _ {2} (X ^ {2}) = X ^ {2} +1 \,}

\ Phi _ {5} (X) = X ^ {4} + X ^ {3} + X ^ {2} + X + 1 \,

{\ Displaystyle \ Phi _ {6} (X) = \ Phi _ {3} (- X) = X ^ {2} -X + 1.}

Migotti demostró que si n tiene solo uno o dos factores primos impares, entonces todos los coeficientes de Φ n son iguales a 0, –1 o 1. El n más pequeño que tiene tres factores primos impares es n = 3 × 5 × 7 = 105 y Φ 105 tiene dos coeficientes iguales a –2:

{\ begin {alineado} \ Phi _ {{105}} (X) = & \ quad X ^ {{48}} + X ^ {{47}} + X ^ {{46}} - X ^ {{43 }} - X ^ {{42}} - 2X ^ {{41}} - X ^ {{40}} - X ^ {{39}} + X ^ {{36}} + X ^ {{35}} + X ^ {{34}} \\ & + X ^ {{33}} + X ^ {{32}} + X ^ {{31}} - X ^ {{28}} - X ^ {{26} } -X ^ {{24}} - X ^ {{22}} - X ^ {{20}} + X ^ {{17}} + X ^ {{16}} + X ^ {{15}} \ \ & + X ^ {{14}} + X ^ {{13}} + X ^ {{12}} - X ^ {9} -X ^ {8} -2X ^ {7} -X ^ {6} -X ^ {5} + X ^ {2} + X + 1 ~. \ End {alineado}}

Pero lo contrario es falso: por ejemplo, Φ 651 = Φ 3 × 7 × 31 solo tiene coeficientes iguales a 0, –1 o 1.

Para cada número natural m , existe un número entero n tal que m o - m es uno de los coeficientes de Φ n , y el menor de tales n se da, en función de m , posteriormente A013594 de la OEIS .

Propiedades notables

Fórmula multiplicativa y consecuencias.

Suponiendo siempre que la característica de k no divide n , y agrupando las n raíces n -ésima de la unidad (en el cierre algebraico de k ) siguiendo sus órdenes, obtenemos la siguiente ecuación, donde el producto está en el conjunto de enteros positivos que dividen n :

(1) \ qquad X ^ {n} -1 = \ prod _ {{d | n}} \ Phi _ {{d, k}} (X) ~.

La figura de la derecha ilustra esta descomposición. El grupo de seis sextas raíces de unidad consta de una raíz de orden 1, una de orden 2, dos de orden 3 y dos de orden 6, que son respectivamente raíces de Φ 1 , Φ 2 (de grado 1) y Φ 3 , Φ 6 (de grado 2).

Observación 1: la identidad en los grados en (1) proporciona inmediatamente:

n = \ sum _ {{d | n}} \ varphi (d).

Esta identidad también se puede obtener mediante una enumeración directa de los elementos de un grupo cíclico de orden n .

Nota 2: la igualdad (1) también proporciona, mediante la fórmula de inversión de Möbius , una expresión de los polinomios ciclotómicos habituales, utilizando la función de Möbius μ:

(2) \ qquad \ Phi _ {n} (X) = \ prod _ {{d | n}} (X ^ {d} -1) ^ {{\ mu (n / d)}}.

Observación 3: deducimos de (2) que Φ n ( x )> 0 para cualquier x real > 1, y que si n es primo, entonces:

\ Phi _ {n} (X) = {\ frac {X ^ {n} -1} {X-1}} = \ sum _ {{\ ell = 0}} ^ {{n-1}} X ^ {\ Ell}.

Pero la igualdad (1) sobre todo nos permite demostrar, por inducción bien fundada en n , que Φ n, k tienen coeficientes en el subanillo A de k generado por 1 ( es decir, con coeficientes enteros si k es de característica cero , y con coeficientes en F p si k es de característica p ). De hecho, si Φ d, k ( X ) pertenecen a A [ X ] para todos los divisores estrictos d de n entonces

{\ Displaystyle \ Phi _ {n, k} (X) = {\ frac {X ^ {n} -1} {\ Displaystyle {\ prod _ {d | n, ~ d \ neq n} \ Phi _ {d , k} (X)}}} \ en A [X],}

ya que el denominador es un polinomio unitario . Por tanto, el resultado principal es:

Los polinomios ciclotómicos habituales tienen coeficientes enteros.

Alternativamente, se puede deducir de la igualdad (2). El resultado para polinomios ciclotómicos "generalizados" se demostró al mismo tiempo, pero también se dedujo de él por la siguiente propiedad, que se demuestra de acuerdo con el mismo esquema de recurrencia:

Los polinomios ciclotómicos sobre k son las imágenes de los polinomios ciclotómicos habituales por el morfismo canónico ℤ [ X ] → k [ X ].

Esto hace posible extender la igualdad (2) a polinomios ciclotómicos sobre k .

Caso del campo de los números racionales

Cualquier polinomio ciclotómico habitual es irreducible sobre ℚ .

En otras palabras: si ζ es una enésima raíz primitiva de 1 en ℂ , el grado [ℚ (ζ): ℚ] de la extensión ℚ (ζ) / ℚ es exactamente φ ( n ).

Siendo estos polinomios unitarios y con coeficientes enteros, también son irreducibles en ℤ. El anillo de números enteros de ℚ (ζ) es igual a ℤ [ζ]. Es este anillo, generalmente no principal, el que está asociado con muchos problemas en la teoría de números, como las versiones históricas del teorema de Fermat (ver § Extensión ciclotómica y su artículo detallado).

Demostración

Sea ζ una raíz primitiva n - ésima de 1 en ℂ, se trata de demostrar que para cualquier raíz primitiva n - ésima ζ 'de 1, el polinomio mínimo de ζ' sobre ℚ coincide con el de ζ. Como ζ 'es de la forma ζ m con m producto de números primos que no dividen n , podemos, paso a paso, volver al caso donde ζ' = ζ p con p primo sin dividir n .

Denotemos entonces f ( X ) yg ( X ) los respectivos polinomios mínimos sobre ℚ de ζ y de ζ '= ζ p , y demostremos por el absurdo que son iguales. De lo contrario, serían dos factores irreducibles distintos de Φ n , por lo que existiría un polinomio h tal que

\ Phi _ {n} (X) = f (X) g (X) h (X) ~,

siendo los polinomios unitarios f, g, h con coeficientes enteros (por el lema de Gauss ).

Además, 0 = g (ζ ') = g (ζ p ). Deducimos la existencia de un polinomio unitario k (también con coeficientes enteros) tal que:

g (X ^ {p}) = f (X) k (X) ~.

Al tomar las imágenes canónicas de todos estos polinomios en F p [ X ] tendríamos por tanto:

\ overline f (X) \ overline g (X) ~ {\ text {divide}} ~ \ Phi _ {{n, F_ {p}}} \ qquad {\ text {y}} \ qquad \ overline f (X ) ~ {\ text {dividir}} ~ \ overline g (X ^ {p}) = (\ overline g (X)) ^ {p} ~,

la última igualdad resultante de la fórmula binomial y el pequeño teorema de Fermat .

Cualquier factor irreducible de también se dividiría , de modo que su cuadrado dividiría Φ n , F p , lo cual es absurdo ya que este polinomio tiene raíces simples (en un campo de descomposición ). Esta contradicción pone fin a la prueba. $\ overline f (X)$ $(\ overline g (X)) ^ {p}$ $\ overline g (X)$

Caso de la característica distinta de cero

En la característica p (un número primo), los polinomios ciclotómicos no son necesariamente irreducibles en el subcampo primo F p . Por ejemplo :

\ Phi _ {{7, F_ {2}}} (X) = (X ^ {3} + X ^ {2} +1) (X ^ {3} + X + 1) ~.

Otros ejemplos se dan en el párrafo polinomio irreducible del artículo sobre campos finitos .

Vamos a especificar el número y el grado de los factores irreductibles de Φ n , F p .

Sea P un factor irreductible de Φ n , F p y d su grado. La extensión F p [ X ] / ( P ( X )) es un campo de cardinalidad q = p d , por lo tanto es isomorfo al campo finito F q . Ahora, cualquier campo finito de característica p es de una potencia cardinal q ' de p , y es el campo de descomposición del polinomio X q' - 1 - 1. En consecuencia, F q es la extensión más pequeña del campo de F p que contiene una enésima primitiva raíz de la unidad, d es el número entero más pequeño tal que n divide p d - 1. Así encontramos - cf. Teorema de Euler - que este entero d divide φ ( n ), pero sobre todo, acabamos de demostrar que:

Denotando en el orden multiplicativo de p módulo n , Φ n , F p es el producto de φ ( n ) / d factores irreducibles de grado d .

En particular, Φ n , F p es irreducible si y solo si p genera el grupo de unidades del anillo ℤ / n ℤ . Una condición necesaria (pero no suficiente) para esto es, por tanto, que este grupo sea cíclico , es decir que n = 4, o una potencia de un primer impar, o el doble de tal potencia. Por ejemplo, para n = 8, este grupo no es cíclico, por lo que Φ 8 es reducible en todos los F p . Por el contrario, cuando este grupo es cíclico, existe (según el teorema de la progresión aritmética ) una infinidad de números primos p para los cuales Φ n , F p es irreducible (lo que, para estos n , proporciona tantas pruebas alternativas de la irreductibilidad en ℤ del polinomio ciclotómico habitual Φ n ).

Extensión ciclotómica

Una extensión ciclotómica (en ℚ) es por definición un campo de fractura de un polinomio ciclotómico habitual Φ n , es decir, el campo más pequeño que contiene una raíz primitiva n - ésima de la unidad. Es una extensión de Abelian Galois . De acuerdo con el teorema de Gauss-Wantzel , se descompone en una torre de extensiones cuadráticas si y solo si n es el producto de una potencia de 2 por un número finito de primos de Fermat distintos. Sin embargo, de acuerdo con el teorema de Wantzel , esta propiedad de reducibilidad a una sucesión de extensiones cuadráticas es equivalente a la constructibilidad de una raíz primitiva n - ésima de la unidad, es decir, a la posibilidad de una construcción de regla y compás del polígono regular con n vértices.

Teorema de Wedderburn

El teorema de Wedderburn establece que cualquier campo finito K es necesariamente conmutativo. La demostración de Ernst Witt es relativamente curiosa. En primer lugar, el polinomio ciclotómico utilizado es el de la característica cero y no el del cuerpo. Entonces, su papel es el de un conde . Los cardinales de las clases por la acción por conjugación se suman para obtener el cardinal del grupo multiplicativo del campo. Esta igualdad se expresa mediante una ecuación de la forma q - 1 = Φ d ( q ) Q ( q ), donde q es el cardinal (al menos igual a 2) del centro del campo K , siendo q el cardinal de K d ; Q ( X ) es un polinomio con coeficientes enteros, lo que implica que Q ( q ) es un valor entero, por lo que

| \ Phi _ {d} (q) | \ leq q-1.

El final de la demostración deja que la cuenta se vuelva geométrica. Para todo n > 1, cualquier raíz primitiva n- ésima de la unidad u satisface la reducción | q - u | > q - 1 (ilustrado por la figura de la derecha), lo que permite demostrar que

\ forall n> 1, \ quad | \ Phi _ {n} (q) |> q-1.

Deducimos d = 1, por lo que K coincide con su centro.

Notas y referencias

( fr ) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Polinomio ciclotómico " ( ver la lista de autores ) .

Del griego κύκλος: círculo y τομή: corte.
Ver el artículo " Teorema de Wantzel ".
Al-Khwârizmî, Resumen del cálculo por restauración y comparación
Girolamo Cardano, Ars Magna , 1545 .
Joseph-Louis Lagrange, Reflexiones sobre la resolución algebraica de ecuaciones , 1770
Paolo Ruffini, La teoría general de ecuaciones en la que se muestra que es imposible dar soluciones generales de ecuaciones de grado estrictamente mayor que 4 , 1799 .
Niels Henrik Abel, Memoria sobre ecuaciones algebraicas, donde demostramos la imposibilidad de resolver la ecuación general de quinto grado , 1824.
Évariste Galois, “Manuscrito de Galois” en Journal of Pure and Applied Mathematics , 1846 .
(De) Heinrich Weber, Lehrbuch der Algebra , 1895.
David Hilbert, La teoría de los campos numéricos algebraicos , 1897 .
(De) Emil Artin, Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes , 1927 .
Extracto de Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detalle de ediciones ], p. 80 .
(en) Martin Isaacs (en) , Álgebra: Un curso de posgrado , Providence, Librería AMS2009, 516 p. ( ISBN 978-0-8218-4799-2 , leer en línea ) , pág. 310.
Serge Lang , Álgebra [ detalle de ediciones ]y Perrin dan estas dos formulaciones equivalentes y proporcionan esencialmente la misma prueba que la presentada aquí.
Una forma más académica de demostrar este resultado es estudiar la acción sobre la extensión de Galois F q (por automorfismos ) del grupo de Galois , generado por el automorfismo de Frobenius .
Perrin , pág. 84.

Ver también

enlaces externos

Sobre la irreductibilidad de los polinomios ciclotómicos por Daniel Ferrand, Universidad de Rennes 1 ,enero 2007, curso de preparación para la agregación de matemáticas
La increíble historia de los polinomios ciclotómicos (nivel 3 ° año de licencia ) en el sitio tanopah.jo.free.fr

Bibliografía

Jean-Pierre Escofier, Teoría de Galois. Curso con ejercicios corregidos , Masson, 1997
Pierre Samuel , Teoría algebraica de números [ detalle de la edición ]