En matemáticas , más particularmente en la teoría de anillos , un ideal principal es un ideal generado por un solo elemento.
Sea A un anillo .
Si A es conmutativa , estas tres nociones coinciden y se anota el ideal generado por a ( a ).
Por dominio de integridad A que contiene un elemento tiene distinto de cero y no invertible, el ideal generado por una y Y en el anillo de los polinomios A [ Y ] no es principal.
Un ejemplo de tal situación es A = ℤ el anillo de enteros y un = un diferente número entero de 0, 1 y -1, o, A = B [ X ] que es una integral B y a = X .
Un anillo de integridad en el que todos los ideales son principales se llama anillo principal .
Por ejemplo, ℤ y K [ X ] para un campo conmutativo K son anillos principales.
Sea A un anillo conmutativo que se integra y tiene un elemento de A distinto de cero .
Si A es un anillo GCD , las dos primeras propiedades son equivalentes. Si es Bézout (especialmente si es director), los tres lo son.