Teorema del punto fijo de Brouwer

En matemáticas , y más precisamente en topología algebraica , el teorema del punto fijo de Brouwer es parte de la gran familia de teoremas del punto fijo , que establecen que si una función continua f satisface ciertas propiedades, entonces existe un punto x 0 tal que f ( x 0 ) = x 0 . La forma más simple de la Brouwer teorema asume que la función f se establece en un intervalo cerrado delimitado no vacío I con valores en I . En una forma más general, la función se define en una convexo compacto K de un espacio euclidiano con valores en K .

Si, entre los cientos de teoremas del punto fijo, el de Brouwer es particularmente famoso, es en parte porque se usa en muchas ramas de las matemáticas. En su rama original, este resultado es uno de los teoremas clave que caracterizan la topología de un espacio euclidiano , como el teorema de Jordan , el de la bola peluda o el de Borsuk-Ulam . Como tal, es uno de los teoremas fundamentales de la topología. Este teorema también se utiliza para establecer resultados precisos en ecuaciones diferenciales ; está presente en los cursos elementales de geometría diferencial . Aparece en ramas más inesperadas, como la teoría de juegos , donde John Nash la usa para mostrar la existencia de un equilibrio para un juego de n personas con estrategias mixtas . Históricamente, el teorema se ha estudiado tras el trabajo sobre ecuaciones diferenciales de matemáticos franceses como Poincaré y Picard . La demostración de resultados como el teorema de Poincaré-Bendixson requiere el uso de herramientas de topología. Estos estudios de finales del XIX ° siglo plomo a las sucesivas versiones del teorema; En 1912, Luitzen Egbertus Jan Brouwer ofreció una demostración general de esto, estableciendo nuevamente un resultado ya probado por Hadamard en 1910.

Declaraciones

Hay varias formas del teorema, según el contexto de uso. El más simple a veces se da en la siguiente forma:

En el plano : cualquier mapa continuo f de un disco cerrado admite en sí mismo al menos un punto fijo .

Es posible generalizar a cualquier dimensión finita.

En un espacio euclidiano : cualquier mapa continuo de una bola cerrada de un espacio euclidiano admite en sí mismo un punto fijo .

Equivalentemente:

Convexo compacto : cualquier mapa continuo f de un convexo compacto no vacío K de un espacio euclidiano con valores en K admite un punto fijo .

Existe una forma aún más general, pero normalmente tiene otro nombre:

Teorema de Schauder : cualquier mapa continuo de un K convexo compacto no vacíode un espacio de Banach con valores en K admite un punto fijo .

Enfoque intuitivo

Comentarios atribuidos a Brouwer

El origen de este teorema vendría de la observación de una taza de café por Brouwer. Cuando mezclas tu azúcar, siempre parece haber un punto de calma. De esto deduce que: "En cualquier momento, hay un punto en la superficie que no habrá cambiado de lugar" . El punto fijo no es necesariamente el que parece estacionario porque el centro del vórtice se mueve un poco. El resultado no es intuitivo, porque el punto inicialmente fijo puede haberse movido, pero aparecerá otro punto fijo.

Brouwer habría añadido: “Puedo formular este magnífico resultado de otra manera, tomo una hoja horizontal, otra hoja idéntica que arrugo y que reemplazo aplanándola sobre la otra. Un punto en la hoja arrugada está en el mismo lugar que en la otra hoja ” . Cuando Brouwer aplana su sábana arrugada, no la despliega, la aplasta, como con una plancha.

Dimensión uno

En la dimensión uno, el resultado es intuitivo y fácil de demostrar. Denotamos por [ a , b ] el dominio de definición de f . La función f es continua y tiene valores en el mismo segmento. Decir que esta función f admite un punto fijo, equivale a decir que su gráfica (en azul grisáceo en la figura de la derecha y elegida en este caso igual a la de la función coseno en el intervalo [0, 1]) cruza que la función definida en [ a , b ], que en x combina x (en verde en la figura de la derecha).

Intuitivamente, una línea (en negro) que parte de un lado de un cuadrado (en azul) para unir el lado opuesto (en rojo) cruza necesariamente las diagonales y en particular la verde de la figura.

No es difícil establecer una demostración. Considere la función continua x ↦ f ( x ) - x . Es positivo en a , negativo en b . El teorema del valor intermedio asegura que tiene un cero en [ a , b ]. Este cero es un punto fijo de f .

Brouwer habría expresado este resultado de la siguiente manera: “En lugar de examinar una superficie, mostraremos el teorema en un trozo de cuerda. Comencemos desde un estado de la cuerda bien desplegada, luego dóblela hacia atrás. Aplasta el cordel doblado. Aquí nuevamente, un punto de la cuerda no ha cambiado su posición desde su posición inicial en la cuerda desplegada. " .

Dimensión dos

En la dimensión dos, si K , el dominio de definición de f es interior vacío, es un segmento. De lo contrario, K es "como" una bola unitaria cerrada de R 2 , para una norma arbitraria. El término significa "similar" que hay un homeomorfismo φ de la bola unidad a K . Al observar h el mapa continuo φ −1 ∘ f ∘φ de la bola unitaria en sí misma, los puntos fijos de f son exactamente las imágenes por φ de los puntos fijos de h . En otras palabras, podemos, sin pérdida de generalidad, suponer que K es la bola unitaria cerrada, para la norma que asocia con cualquier vector del plano el mayor valor absoluto de sus dos coordenadas, es decir, que K es el conjunto [–1 , 1] × [–1, 1].

Si definimos la función g como que en x combina h ( x ) - x , un punto fijo de h es un punto de [-1, 1] x [-1, 1] en el que la función g alcanza el vector cero , es decir, en el que los dos componentes g 1 y g 2 de g se anulan simultáneamente.

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A "razonamiento" intuitiva sugiere que la existencia de un punto tal es plausible: La función g 1 es una función de [-1, 1] x [-1, 1] en R . Se puede interpretar como un mapa de una región, que en cada punto da la altitud (ilustrada en la primera figura de la derecha). En el área {–1} × [–1, 1], esta altitud es positiva (en rojo en la figura), por otro lado en {1} × [–1, 1], es negativa (en azul en la figura). Esto “sugiere que” la “curva” del nivel 0 es una línea (en verde en la figura) que comienza en un punto [–1, 1] × {1} y termina en un punto de [–1, 1] × {–1}, pero esta intuición es incorrecta: el área verde no es necesariamente una línea o incluso una parte conectada . El mismo "razonamiento" aplicado a g 2 "sugiere que" la curva de nivel 0 esta vez sería una línea que comienza en un punto de {–1} × [–1, 1] y termina en un punto de {1} × [ –1, 1] (mostrado en la segunda figura, la línea es amarilla).

La “evidencia” intuitiva de que estas dos “líneas” hipotéticas de niveles (en verde y en amarillo) deben necesariamente cruzarse (siendo este punto de cruce un punto fijo de h ) es, por tanto, una pista falsa.

Dimensión terminada

El párrafo anterior se generaliza a cualquier dimensión finita, tanto en su riguroso razonamiento del principio como en sus falsas intuiciones de la continuación.

Ilustremos esto último en la dimensión 3. El objetivo es siempre intentar persuadirse a poco costo de la veracidad del teorema de Poincaré-Miranda , es decir de la existencia de un cero de la función g , que ahora tiene tres coordenadas.

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La primera coordenada es positiva en la cara izquierda del cubo y negativa en la cara derecha. "Hay muchas razones para pensar que" la zona de ceros contiene una "mancha", ilustrada en azul en la figura de la derecha. Esta "hoja" cortaría el cubo en al menos dos componentes conectados, uno que contiene una parte de la cara derecha y el otro la de la izquierda. Si el eje y describe la dirección "adelante-atrás", el mismo "razonamiento" "sugiere" la existencia de una "hoja", en verde en la figura, que todavía cortaría en al menos dos componentes conectados el cubo. La intersección de las dos “capas” contendría “probablemente” una “línea”, en amarillo en la figura, comenzando desde la cara superior para unir la inferior. El tercer componente de g describiría, esta vez, una “hoja” en rojo en la figura. Esta "hoja" "parece" cruzar "necesariamente" la línea amarilla. Este punto de intersección sería un punto fijo buscado.

Fragmentos de historia

Prehistoria

Comprender la prehistoria del teorema del punto fijo de Brouwer requiere un pasaje a través de una ecuación diferencial . Al final del XIX ° siglo , una vieja cuestión se centró de nuevo la atención de la comunidad matemática, la de la estabilidad del sistema solar . Resolverlo presupone el desarrollo de nuevos métodos. Como apunta Henri Poincaré , que estudia el problema de los tres cuerpos, la búsqueda de una solución exacta es inútil: “Nada es más adecuado para darnos una idea de la complicación del problema de los tres cuerpos y en general Problemas de dinámica donde no hay integral uniforme y donde las series de Bohlin son divergentes ” . Este matemático advierte también que la búsqueda de una solución aproximada no es más eficiente: "cuanto más buscamos obtener aproximaciones precisas, más diverge el resultado hacia una imprecisión creciente" .

Está estudiando una pregunta análoga al movimiento de la superficie de una taza de café. ¿Qué se puede decir, en general, de las trayectorias de una superficie animada por una corriente constante? Poincaré descubre que la respuesta está en lo que ahora se llama las propiedades topológicas de la zona que contiene la trayectoria. Si esta zona es compacta , es decir cerrada y acotada, o la trayectoria se inmoviliza o se acerca cada vez más a un bucle que atraviesa indefinidamente. Poincaré va más allá, si la zona es de la misma naturaleza que la de un disco, como es el caso de la taza de café, necesariamente hay un punto fijo. Este punto fijo es invariante por todas las funciones que, en cada punto de la superficie inicial, asocian su posición al final de un período t . Si esta zona corresponde a una banda circular o si no está cerrada, este no es necesariamente el caso.

Para comprender mejor la ecuación diferencial, está surgiendo una nueva rama de las matemáticas. Poincaré lo llama análisis situs , la Encyclopædia Universalis lo define como aquello que “se refiere a las propiedades invariantes de una figura cuando se deforma de manera continua, sin desgarro (por ejemplo, en el caso de la deformación de la esfera, las propiedades correlativas de la objetos trazó en su superficie . ” ya en 1886 , Poincaré estableció un resultado que conocemos hoy en día es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer. un poco más tarde, se desarrolló una de las herramientas básicas para comprender mejor el análisis situs, que ahora se llama la fundamental grupo o el grupo de Poincaré Este método se utiliza en una de las demostraciones del teorema presentado en el artículo.

En cierto modo, el enfoque de Poincaré es análogo al de Émile Picard , un matemático contemporáneo que generaliza el teorema de Cauchy-Lipschitz . El enfoque de Picard se basa en un resultado que será formalizado más tarde por otro teorema de punto fijo, llamado Banach . Este teorema no se basa en las propiedades topológicas del dominio de definición, sino en el hecho de que la función estudiada se contrae .

Primeras demostraciones

En los albores del XX ° siglo , el interés del análisis situs no ha pasado desapercibido. Por otro lado, la necesidad de un teorema equivalente al del artículo aún no es obvia. Piers Bohl , un matemático en vivo , aplica métodos topológicos para estudiar ecuaciones diferenciales. Demuestra en 1904 el resultado del artículo para la dimensión tres; su texto pasa desapercibido.

Finalmente es Brouwer, quien da a este teorema sus primeras letras de nobleza. Sus objetivos son distintos a los de Poincaré. Este matemático es un apasionado de los fundamentos de las matemáticas, principalmente la lógica y la topología . Su interés inicial radica en un intento de resolver el quinto problema de Hilbert . En 1909, durante un viaje a París, conoció a Poincaré , Hadamard y Borel . Las discusiones subsiguientes convencen a Brouwer de la importancia de comprender mejor la topología de los espacios euclidianos y es el origen de una fructífera relación epistolar con Hadamard. Durante los siguientes cuatro años, se concentró en establecer algunos grandes teoremas sobre esta cuestión. Ese año, Brouwer demuestra el teorema de la bola peluda para la esfera bidimensional, así como el hecho de que cualquier mapa continuo de la bola bidimensional en sí misma tiene un punto fijo. Estos dos resultados en sí mismos no son realmente nuevos. Como le señala Hadamard, Poincaré ya ha demostrado un equivalente del teorema de la bola de pelo. El aspecto revolucionario del enfoque de Brouwer consiste en el uso sistemático de herramientas desarrolladas recientemente como la homotopía , el concepto básico del grupo de Poincaré. Al año siguiente, Hadamard generalizó el teorema del artículo a cualquier dimensión finita, pero usando diferentes métodos. Hans Freudenthal comenta los roles respectivos de la siguiente manera: “Comparados con los métodos revolucionarios de Brouwer, los de Hadamard son muy tradicionales, pero la participación de Hadamard en el nacimiento de las ideas de Brouwer se parece más a la de una partera que a la de un simple espectador” .

El enfoque de Brouwer está dando frutos; en 1912, también encontró una prueba válida para cualquier dimensión finita, así como otros teoremas clave como la invariancia de dimensión . En el contexto de este trabajo, Brouwer también generaliza el teorema de Jordan a cualquier dimensión y establece las propiedades asociadas con el grado de una aplicación . Esta rama de las matemáticas, inicialmente imaginada por Poincaré y desarrollada por Brouwer, cambia de nombre. En la década de 1930, el análisis de situación se convirtió en topología algebraica .

La fama de Brouwer no es solo consecuencia de su trabajo en topología. También es autor y ferviente defensor de una forma de formalizar las matemáticas, llamada intuicionismo , que en su momento quiso oponerse al formalismo de la teoría de conjuntos . Si Brouwer prefiere pruebas basadas en una demostración constructiva , paradójicamente, las que están en el origen de sus grandes teoremas de topología no lo son (el algoritmo publicado por Herbert Scarf en 1967, basado en el lema de Sperner , no proporciona más que un “punto fijo aproximado ”).

Posteridad del teorema

Se encuentra que el teorema del punto fijo de Brouwer es fundamental, al menos de dos maneras. El XX XX siglo desarrolla muchos teoremas de punto fijo, e incluso una teoría sobre esto. El de Brouwer es probablemente el más importante. También es uno de los teoremas fundamentales de la topología de las variedades topológicas y se utiliza a menudo para demostrar otros resultados importantes, como el teorema de Jordan .

Más allá de los teoremas del punto fijo que explotan el carácter contratante de una función, son numerosos los que resultan directa o indirectamente del de Brouwer. No hay una aplicación continua de una bola cerrada de un espacio euclidiano en su borde, dejando su borde invariante. En el mismo orden de ideas, el teorema de Borsuk-Ulam indica que un mapa continuo de la esfera de dimensión n en R n tiene al menos dos puntos antípodas de la misma imagen. En el caso de la dimensión finita, el teorema del punto fijo de Lefschetz estableció en 1926 un método para contar puntos fijos. El teorema del punto fijo de Brouwer se generalizó en 1930 a los espacios de Banach . Esta generalización lleva el nombre del teorema del punto fijo de Schauder , un resultado que Shizuo Kakutani generalizó más a las funciones multivocales . No solo encontramos el teorema o sus avatares en topología. El teorema de Hartman-Grobman , que establece la naturaleza cualitativa del comportamiento de ciertas ecuaciones diferenciales en la vecindad de ciertos puntos de equilibrio, se demuestra con el teorema del punto fijo de Brouwer. Sobre el mismo tema, el teorema de la variedad central (en) también usa este teorema de Brouwer para su demostración. También encontramos el teorema para demostrar la existencia de soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales parciales .

Otras áreas se ven afectadas. En teoría de juegos , el teorema de John Nash sobre el juego de Hex (cuya demostración es inteligente pero elemental) es de hecho equivalente al de Brouwer. En economía, P. Bich especifica que ciertas generalizaciones del teorema muestran que su uso es útil para "algunos problemas clásicos en teoría de juegos o en equilibrio general ( modelo de Hotelling , equilibrios financieros en mercados incompletos, ...)" .

Demostraciones

Preámbulo

Existen muchos métodos de demostración. Uno particularmente simple es el trabajo de David Gale . Viene de un análisis diferente de los resultados de Nash en el juego Hex . La evidencia presentada aquí se aplica a la dimensión 2, pero el artículo original no contiene esta limitación.

La topología combinatoria es otro método para demostrar el teorema. Durante la década de 1920, los matemáticos comenzaron a generar principios combinatorios relacionados con el teorema de Brouwer ( lema Sperner , lema Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz ). Este trabajo ofreció tanto nuevas pruebas elegantes de este teorema como el comienzo de una teoría combinatoria para el futuro.

Otros usan geometría diferencial. Milnor establece un lema que simplifica la demostración de funciones infinitamente diferenciables . Resulta fácil concluir para funciones continuas usando el teorema de Stone-Weierstrass . El uso de teoremas poderosos facilita la demostración. En geometría diferencial, el teorema de Stokes implica directamente el del punto fijo de Brouwer, para funciones de clase C 2 . Otro método consiste en apelar a teoremas más fuertes, como el de la bola peluda o el de Borsuk-Ulam .

Sin embargo, para Daniel Leborgne, teoremas como el del punto fijo de Brouwer "generalmente se prueban mediante métodos universales de topología algebraica, por lo tanto, obviamente son preferibles" . En la dimensión 2, una prueba presentada aquí utiliza el grupo de Poincaré , que se basa en la noción de homotopía . Para cualquier dimensión, la prueba se generaliza; la noción clave ya no es la homotopía, sino la homología .

Por el juego de Hex

En 1949, Nash reinventó el juego de Hex y demostró que un empate era imposible. Su demostración es equivalente al teorema del artículo. Treinta años después, D. Gale se da cuenta de esto y demuestra que el juego puede servir como una demostración elemental del resultado de Brouwer.

El juego se desarrolla en un tablero formado por hexágonos. Al final del juego, algunos hexágonos se cubren con fichas (rojas o azules en la figura de la izquierda). El campo azul está formado por los dos lados del tablero indicados por una línea azul, los otros dos lados (indicados por una línea roja) constituyen el campo opuesto. Si es posible trazar una línea blanca que nunca salga del área de los hexágonos azules y conecte los dos lados azules, el azul ha ganado, como se muestra en la figura de la izquierda. Asimismo, si es posible trazar una línea blanca que nunca salga del área de los hexágonos rojos y conecte los dos lados rojos, los rojos han ganado. El artículo Hex muestra que si el tablero está lleno de fichas, es imposible empatar, es decir, que los hexágonos rojo o azul están apoyados por una línea blanca que conecta los dos lados del juego. 'El mismo campo. Esta propiedad permite demostrar el teorema de Brouwer.

Encontrar un punto fijo de una función f de K a K equivale a encontrar un cero de la función g , de K a R n , que ax asocia f ( x ) - x . La existencia de dicho cero se demuestra mediante el siguiente lema:

Lema : sea ε un real estrictamente positivo. Existe un punto x de K tal que la norma de g en el punto x es menor que ε.

Prueba del lema en el caso n = 2

Deje f continúa K en K . El asociado función g es entonces continuo desde el compacto K en R 2 , por lo tanto uniformemente continua . Por tanto, existe un δ real estrictamente positivo tal que:

(1) \ quad \ forall x, y \ in K \ quad \ | xy \ | <\ delta \ Rightarrow \ | g (x) -g (y) \ | <{\ frac {\ varepsilon} 2}.

Como se explicó en el § “Dimensión dos” anterior , podemos suponer que la norma ║ ∙ ║ elegida en R 2 es el mayor valor absoluto de las coordenadas y que el K convexo compacto es la unidad de bola [–1, 1] × [- 1, 1] para este estándar.

Esta K compacta , cuyo borde se muestra en verde en la figura de la derecha, se rellena con un tablero hexagonal enderezado (ver la imagen de la derecha). El tablero contiene suficientes hexágonos para que cada uno pueda caber en un disco de diámetro δ. Denotamos por g 1 y f 1 (resp. G 2 y f 2 ) el primer (resp. El segundo) de coordenadas de las funciones g y f . Al jugar el hexadecimal, las funciones g 1 y g 2 , probamos el lema.

Sea B f el conjunto de hexágonos tales que g 1 es estrictamente mayor que ε / 2 en todo el hexágono. Estos hexágonos están dibujados en azul oscuro en la figura. Consideramos los hexágonos que cubren el área {1} × [–1, 1] yx un elemento de esta área. La función g 1 en el punto x es igual af 1 ( x ) - 1, es decir, un número necesariamente negativo. Esto muestra que ningún hexágono que contenga un punto de {1} × [–1, 1] puede ser azul oscuro. Sea B c el conjunto de hexágonos tales que g 1 es estrictamente menor que –ε / 2 en todo el hexágono. Estos hexágonos están dibujados en azul claro en la figura. El razonamiento anterior muestra que el área {–1} × [–1, 1] no puede contener ningún hexágono azul claro.

Este argumento muestra que si los hexágonos azules, claros u oscuros, representan los peones de un jugador, ese jugador no puede haber ganado. El argumento anterior muestra que no hay posibilidad de que una secuencia conectada de solo hexágonos azul claro o solo azul oscuro conecte los dos bordes. Sin embargo, dos hexágonos azules, uno claro y otro oscuro, no se pueden conectar. Compartirían una ventaja en la que la función g 1 sería tanto estrictamente positiva como estrictamente negativa.

Definimos de la misma manera R f (resp. R c ) el conjunto de hexágonos que no son azules y tal g 2 es estrictamente mayor que ε / 2 (resp. Menor que –ε / 2) en todo el hexágono. El mismo razonamiento anterior muestra que los hexágonos rojos (unión de R f rojo oscuro y R c rojo claro) tampoco representan una configuración ganadora.

El resultado, que se muestra en el artículo hexadecimal , nos permite deducir que hay un hexágono que no es ni rojo ni azul. Por definición, tal hexágono contiene un punto x cuya imagen por g 1 es, en valor absoluto, menor que ε / 2, y un punto y cuya imagen por g 2 es, en valor absoluto, también menor que ε / 2. Desde x y y están situados a una distancia menor que δ entre sí, las normas de g ( x ) y g ( y ) son más pequeños que ε, de acuerdo con el margen de (1).

Este lema prueba que el límite inferior de K de la función ║ g ║ es cero. Dado que esta función es continua y K es compacta, se alcanza este límite , es decir, existe un punto m de K tal que ║ g ( m ) ║ = 0, en otras palabras, tal que g ( m ) = 0, lo que demuestra el teorema .

Como se anunció en el preámbulo de esta sección , la prueba que se presenta aquí es específica de la dimensión 2.

Aquí es más sencillo identificar el círculo con los puntos del plano complejo de módulo 1 y el disco con los puntos de módulo menor o igual a 1. Existe una diferencia topológica entre el disco y el círculo. Deje un punto A del disco y un cordón extremos A , es decir, una trayectoria continua que las hojas Un sin tener que abandonar el disco para volver al punto A . Si guiñada se materializa por un hilo elástico puede ser dibujado en cada extremo de la ruta que termina con un camino compuesto por un único punto A . En otras palabras, el cordón se puede deformar continuamente hasta que solo se obtenga un punto. Esta propiedad se ilustra en la figura de la izquierda, cordón azul está continuamente deformada para obtener de forma más estrecha al bucle constante igual a A . Decimos que todo encaje es homotópico en algún momento. En el círculo, esta propiedad no es verdadera. Uno puede imaginar un camino desde el punto B , dio la vuelta al círculo y regresa B . Obtenemos un cordón de puntas B y que atraviesa el círculo. Esta vez, no importa cuánto tire del camino o del hilo elástico, que por definición no puede salir del círculo, no habrá forma de llevarlo de regreso al punto B sin romperlo. En términos matemáticos, decimos que el grupo fundamental del disco es trivial, mientras que el del círculo no lo es.

Si existiera una excepción al teorema de Brouwer, sería posible crear un cordón que diera la vuelta al círculo siempre en la misma dirección y que, sin embargo, sería homotópico en un punto. Esta imposibilidad es la clave de la demostración que aquí se propone. Primero, probamos la siguiente propiedad:

No hay una función continua del disco en el círculo, lo que deja cada punto del círculo invariante.

Lo que todavía se dice: no hay retracción fuerte por deformación del disco en su borde. De hecho, si hubiera uno que denotamos por F , definiríamos la función H por:

\ forall t, x \ in [0,1], \ quad H (t, x) = F {\ big (} xe ^ {{2 {{\ rm {i}}} \ pi t}} {\ big )}.

Si x es igual a 1, obtenemos un cordón de extremos en el punto 1 y que da la vuelta al disco, si t varía. Si x es igual a 0, obtenemos una guiñada constante de valor F (0). El encaje inicial sería homotópico en un punto, ya que esta propiedad es falsa en el círculo, la proposición está probada. El artículo detallado propone un enfoque más rápido, sin embargo supone la adquisición de conceptos más pesados de implementar.

Queda para construir la función F .

Si hay una función continua del disco en sí mismo sin un punto fijo, hay una fuerte contracción por deformación del disco en su borde.

Consideramos el paso a través de segmento x y f ( x ) y los extremos f ( x ) y un punto de la circunferencia. Esta construcción se ilustra en la figura de la derecha. Como x y f ( x ) no se confunden, la función F está perfectamente definido. Si x está en el borde, los puntos x y F ( x ) son iguales. Es relativamente sencillo demostrar que F es continuo.

Detalles de la demostración

El lazo α es el que con $t$ , elemento de [0, 1], asocia $exp (2πi t )$ . No es homotópico con una guiñada constante c siempre igual a 1. Esta verdad generalmente se demuestra en un resultado mayor, estableciendo la estructura del grupo fundamental del círculo. Sin embargo, podemos proceder de forma más directa. Intuitivamente, si el cordón se imagina a sí mismo como un hilo que gira alrededor del círculo, tirando lo suficientemente fuerte de los dos hilos que se encuentran en el punto 1 para llevar todo el hilo de nuevo a 1, se romperá el hilo. Encontrar el punto de ruptura es un método para mostrar una discontinuidad. Esta propiedad permite establecer el siguiente resultado.

No hay retracción fuerte por deformación del disco en el círculo:

Argumentamos por la contradicción y suponemos que no es tal retracción F . Consideramos la función H ( t , x ) de [0, 1] 2 en el círculo, definida por:

\ forall t, x \ in [0,1] \ quad H (t, x) = F {\ big (} x \ exp (2 \ pi {{\ rm {i}}} t) {\ big)} .

Si x es igual a 1, ya que la retracción es la función de identidad en el círculo, la guiñada at combina H ( t , 1) es igual a α. Si x es igual a 0, la función para t combina H ( t , 0) es constante. Como la función H es continua, habríamos demostrado que el bucle α es homotópico en un punto. Por tanto, la retractación no puede existir, según la primera proposición.

Si una función f del disco en sí mismo no tiene punto fijo y es continua, hay una fuerte contracción por deformación, F , del disco en el círculo:

La función F se define como se indicó anteriormente. Todavía tenemos que demostrar que es continuo. Buscamos el punto perteneciente al círculo unitario y a la media línea original x y dirigido por el vector x - f ( x ). Este punto es la imagen de un valor positivo (o cero) de t por la función que, a t , asocia x + t ( x - f ( x )). Más exactamente, t es la única raíz positiva del polinomio P ( t ), definido por (║ ∙ ║ denota la norma euclidiana):

P (t) = \ | x + t {\ big (} xf (x) {\ big)} \ | ^ {2} -1.

Este polinomio es de segundo grado y se escribe nuevamente a ( x ) t 2 + b ( x ) t + c ( x ), aquí a ( x ), b ( x ) yc ( x ) denotan tres funciones continuas definidas en el disco y con valores en R . Tenga en cuenta que el coeficiente del monomio dominante a ( x ) es siempre estrictamente positivo (porque x es diferente de f ( x ) según los supuestos utilizados) y las imágenes del polinomio en 0 y en –1 son negativas. Tal polinomio siempre admite una raíz positiva única y se escribe como una función continua, anotada λ, de los tres coeficientes a ( x ), b ( x ) yc ( x ). Deducimos que λ es una función continua de x y la retracción F ( x ), que se escribe:

\ displaystyle F (x) = x + \ lambda (x) {\ big (} xf (x) {\ big)},

también es continuo.

Por la fórmula de Stokes

Para mostrar que una aplicación tiene al menos un punto fijo, podemos asumir que es fluida. De hecho, si una aplicación que no tiene un punto fijo se combina con una función suave que tiene un soporte suficientemente pequeño, entonces la función suave obtenida tampoco tiene un punto fijo.

Denotamos por B y S la bola unitaria cerrada y la esfera unitaria de un espacio euclidiano. Es decir una aplicación fluida sin punto fijo. O, como antes , definido por: y . Dado que $f$ no tiene un punto fijo, $F$ está bien definido y es suave, y es una retracción de B sobre S :, donde está la inclusión. $f: B \ a B$ ${\ Displaystyle F: B \ a S}$ ${\ Displaystyle F (x) \ en S}$ ${\ Displaystyle x \ in [f (x), F (x)]}$ ${\ Displaystyle F \ circ i = \ mathrm {Id} _ {S}}$ ${\ Displaystyle i: S \ to B}$

Es la forma de volumen ( cerrado ) de la esfera S . Entonces : $\omega$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} 0 <\ int _ {S} \ omega & = \ int _ {S} i ^ {*} (F ^ {*} (\ omega)) & {\ text {(} } F \ circ i = \ mathrm {Id} _ {S} {\ text {)}} \\ & = \ int _ {B} dF ^ {*} (\ omega) & {\ text {(fórmula de Stokes) }} \\ & = \ int _ {B} F ^ {*} (d \ omega) & {\ text {(propiedad de retroceso)}} \\ & = \ int _ {B} F ^ {*} (0 ) = 0 & {\ text {(}} \ omega {\ text {está cerrado),}} \ end {alineado}}}$

lo cual es absurdo. Deducimos que $f$ admite al menos un punto fijo.

La misma demostración también demuestra que no hay una retracción suave de una variedad lisa orientable compacta en su borde.

Según el teorema de la bola de pelo

El teorema de la bola peluda establece que en una esfera unitaria de dimensión par (es decir, la esfera de radio 1 y de centro el vector cero, en un espacio euclidiano de dimensión impar), no existe un campo vectorial α que sea continuo, tangente a la esfera en cualquier punto x de esta esfera (es decir verificando ( x | α ( x )) = 0), y que nunca desaparece. A veces se expresa diciendo que siempre hay un punto en la Tierra donde no hay viento .

Si existe una función f de la bola unitaria cerrada B n sin un punto fijo, construimos dos campos vectoriales, en la esfera unitaria de dimensión n y la de dimensión n +1, uno de los cuales contradice el teorema de la bola peluda. La ventaja de este método es que solo utiliza técnicas elementales, su debilidad radica en un enfoque menos universal que el de la topología algebraica, lo que permite demostrar resultados más contundentes, como el teorema de Borsuk-Ulam .

Detalles de la demostración

Sea S n –1 la esfera unitaria de R n (es el borde de B n ). La demostración es por el absurdo y en tres etapas:

si existe un mapa continuo f sin un punto fijo de B n en sí mismo, también existe un g de B n +1 en sí mismo;
si existe un mapa continuo sin un punto fijo de B m en sí mismo, existe en la esfera S m un campo α de vectores distintos de cero tal que ( x | α ( x )) = 0 para todo x de esta esfera;
aplicando el segundo paso af , y a la g deducida de f por el primer paso, obtenemos dos campos vectoriales (uno en S n , el otro en S n +1 ), que según el teorema de la bola peluda demuestran que n no es ni par ni impar, de ahí la contradicción deseada.

Queda por detallar los dos primeros pasos.

Etapa 1.

Al usar que B m es homeomorfo a [–1, 1] m (para m = n y para m = n + 1), volvemos a demostrar que si existe un mapa continuo F sin un punto fijo de [–1 , 1] n en sí mismo, también hay un G de [–1, 1] n +1 en sí mismo.

La afirmación se vuelve así inmediata: basta con poner G ( x , t ) = ( F ( x ), t ), para todo x de [–1, 1] ny todo t de [–1, 1].

2do paso.

Sea h un mapa continuo sin un punto fijo de B m en sí mismo. Vamos a posar

\ forall x \ in B ^ {m} \ quad H (x) = (1- (x | h (x))) x- (1- \ | x \ | ^ {2}) h (x).

Del hecho de que h no tiene un punto fijo, deducimos que para x dentro de la bola, H ( x ) no es cero, y que para x en la esfera incluso tenemos ( x | H ( x )) = 1 - ( x | h ( x ))> 0.

A continuación, denote por x las primeras m coordenadas de un vector X de R m +1 y por t su última coordenada:

\ forall X = (x, t) \ in S ^ {m} \ quad \ alpha (X) = (- tH (x), (x | H (x))).

Obviamente, la función α es continua y satisface ( X | α ( X )) = 0. Finalmente, α ( X ) nunca es cero (porque si x es de norma 1, ( x | H ( x )) no es nula, y si x tiene una norma estrictamente inferior a 1, t y H ( x ) son no-cero).

Por el lema de Sperner

En lugar de mostrar el teorema de la bola de dimensión , lo mostramos para el simplex que es homeomórfico para ella. $B$ $D$ ${\ Displaystyle T_ {d} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {d + 1}) \ in \ mathbb {[} 0,1] ^ {d + 1} | \ sum _ {k = 1} ^ {d + 1} x_ {k} = 1 \}}$

Sea una función continua. ${\ Displaystyle f: T_ {d} \ to T_ {d}}$

Si no es un punto fijo, definimos su color , para que ( no esté vacío, de lo contrario tendríamos y por tanto ). ${\ Displaystyle v \ en T_ {d}}$ ${\ Displaystyle C (v) = \ min \ {i | (f (v_ {i})) _ {i} <v_ {i} \}}$ ${\ Displaystyle (f (v)) _ {C (v)} <v_ {C (v)}}$ ${\ Displaystyle \ {i | (f (v_ {i})) _ {i} <v_ {i} \}}$ ${\ Displaystyle (f (v)) _ {i} -v_ {i} \ geq 0, \ sum _ {i = 1} ^ {d + 1} (f (v)) _ {i} -v_ {i } = 0}$ ${\ Displaystyle vf (v) = 0}$

Sea un entero estrictamente positivo. Subdividimos en simplex de la forma de tal manera que . $r$ $T_ {d}$ $r ^ d$ ${\ Displaystyle T_ {d} \ cap \ prod _ {k = 1} ^ {d + 1} [{\ frac {\ alpha _ {k}} {r}}, {\ frac {\ alpha _ {k} +1} {r}}]}$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {k} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {d + 1} \ alpha _ {k} = r-1}$

Si uno de los puntos de esta subdivisión es un punto fijo, se prueba la existencia del punto fijo, de lo contrario, coloreamos por . ${\ Displaystyle v = (v_ {1}, \ ldots, v_ {d + 1}) \ in T_ {d} \ cap ({\ frac {1} {r}} \ mathbb {N}) ^ {d + 1}}$ $v$ ${\ Displaystyle C (v)}$

Esta coloración verifica los supuestos del lema de Sperner: cada vértice de es de un color diferente ( ), si uno de los vértices de la subdivisión está en la envolvente convexa de vértices de entonces . $T_ {d}$ ${\ Displaystyle C ((\ delta _ {ik}) _ {1 \ leq k \ leq d + 1}) = i}$ $v$ ${\ Displaystyle A ^ {1}, \ ldots, A ^ {s}}$ $T$ ${\ Displaystyle C (v) \ in \ {C (A ^ {1}), \ ldots, C (A ^ {s}) \}}$

Por tanto, existe un simplex de la subdivisión de modo que cada uno de sus vértices sea de un color diferente. Sean los vértices de este simplex, ordenados de tal manera que . Tenemos más . ${\ Displaystyle D ^ {r, k}}$ ${\ Displaystyle C (D ^ {r, k}) = k}$ ${\ Displaystyle \ | D ^ {r, 1} -D ^ {r, k} \ | \ leq {\ frac {1} {r}}}$

Como es compacto, admite una subsecuencia convergente , hacia un límite . También es el límite de para . $T_ {d}$ ${\ Displaystyle (D ^ {n, 1}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle (D ^ {\ phi (n), 1}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $X$ ${\ Displaystyle (D ^ {\ phi (n), k}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle k \ in \ {1, \ ldots, d + 1 \}}$

Como , deducimos al cruzar el límite . Como , deducimos , lo que prueba la inexistencia del punto fijo. ${\ Displaystyle (D ^ {\ phi (n), k}) _ {k}> (f (D ^ {\ phi (n), k})) _ {k}}$ ${\ Displaystyle x_ {k} \ geq (f (x)) _ {k}}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {d + 1} x_ {k} - (f (x)) _ {k} = 0}$ ${\ Displaystyle f (x) -x = 0}$

enlaces externos

A. Monier, “ Le theorème de Brouwer ”, École normale supérieure de Lyon , Le journal de maths des pupils , vol. 1, n o 4, 1998, p. 202-206
Jean Mawhin , Alrededor del teorema del punto fijo , 2004

Notas y referencias

(es) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Teorema del punto fijo de Brouwer " ( consulte la lista de autores ) .

Notas

Basta con aviso de que cualquier convexo compacto es homeomorfo a una bola cerrada. Para obtener más detalles, consulte el artículo Montaje convexo .
El interés de la anécdota radica en su carácter intuitivo y didáctico, pero su veracidad es dudosa. Como muestra la historia , el origen del teorema no es obra de Brouwer. Poincaré había demostrado, más de 20 años antes, un resultado equivalente y Bohl ya, cinco años antes que Brouwer, había encontrado una demostración para la dimensión tres.
Este es el resultado del teorema de Poincaré-Bendixson .
La escala de una razón 1/2 en el cuadrado abierto] 0, 1 [ 2 no admite un punto fijo.
Permite una prueba muy condensada, presentada en el artículo Grupo Fundamental .
Posteriormente se demostró que el formalismo que combatió Brouwer también permite formalizar el intuicionismo. Para obtener más detalles, consulte el artículo Lógica intuicionista .
Una prueba de esta propiedad se encuentra en el artículo Grupo fundamental .
Encontramos una prueba de esta propiedad basada en esta propiedad en el artículo homotopía .

Referencias

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(en) Vasile I.Istratescu , Teoría del punto fijo: una introducción , Kluwer Academic Publishers,2001, 488 p. ( ISBN 978-1-4020-0301-1 , OCLC 171109810 , leer en línea )Este libro pasa por muchos teoremas del punto fijo. El capítulo III está dedicado a los derivados de una solicitud de contratación. El capítulo IV trata del teorema de Brouwer. El enfoque propuesto para la demostración utiliza geometría diferencial elemental.
D. Leborgne , Cálculo diferencial y geometría , París, Puf ,mil novecientos ochenta y dos( ISBN 978-2-13-037495-4 )Este libro presenta una prueba del teorema del artículo a partir de geometría diferencial. Utiliza el lema de Milnor.
D. Violette , “ Aplicaciones del lema de Sperner para triángulos ”, Boletín AMQ , vol. XLVI, n o 4,2006( leer en línea )

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Más precisamente, la Encyclopædia Universalis afirma: “Demostró uno de los mejores teoremas, el teorema del punto fijo, cuyas aplicaciones y generalizaciones, desde la teoría de juegos hasta las ecuaciones diferenciales, han demostrado ser fundamentales. » ( Luizen Brouwer de G. Sabbagh).
Tesis doctoral de John F. Nash, Juegos no cooperativos , Princeton, 1950, p. 5 .
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Esta cita proviene de un programa de televisión: Arquímedes , Arte 21 de septiembre de 1999.
Ver sobre este tema: F. Brechenmacher, La identidad algebraica de una práctica llevada a cabo por la discusión sobre la ecuación con la que se determinan las desigualdades seculares de los planetas , CNRS, Fédération de Recherche Mathematique du Nord-Pas-de-Calais.
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Esta demostración proviene del curso de Greenwood y Cao ya citado. El artículo de Gale 1979 muestra que el razonamiento se generaliza a cualquier n .
Encontramos esta demostración en: J. Lannes, Fundamental Group , École polytechnique , p. 11 .