Coseno

La función coseno es un par de ángulos de función matemática . En un triángulo rectángulo , el coseno de un ángulo es la razón entre la longitud del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa .

El coseno generalmente se cita en segundo lugar entre las funciones trigonométricas .

Las funciones trigonométricas generalmente se definen como la proporción de dos lados de un triángulo rectángulo y se pueden definir de manera equivalente como la longitud de diferentes segmentos en el círculo unitario . Las definiciones más modernas los caracterizan como series completas o como soluciones de ecuaciones diferenciales particulares, permitiendo su extensión a valores arbitrarios y números complejos .

La función coseno se usa comúnmente para modelar los fenómenos periódicos como las ondas sonoras o la luz o los cambios de temperatura durante el año.

Definiciones

En un triángulo rectángulo

Para definir el coseno de un ángulo ,, denotado cos, considere un triángulo rectángulo arbitrario que contiene el ángulo.

Los lados del triángulo rectángulo se llaman:

• la hipotenusa  : es el lado opuesto al ángulo recto, un cateto del ángulo  y el lado más largo del triángulo;
• el lado opuesto  : es el lado opuesto al ángulo  que nos interesa;
• el lado adyacente  : es el lado que es un cateto del ángulo, que no es la hipotenusa.

Notaremos:

h  : la longitud de la hipotenusa; a  : la longitud del lado adyacente.

Entonces :

porque⁡(A^)=vso^tmi´aDjavsminothypagotmi´notusmi=ah{\ Displaystyle \ cos ({\ widehat {A}}) = {\ frac {c {\ hat {o}} t {\ aguda {e}} \; adyacente} {hipot {\ aguda {e}} nuse} } = {\ frac {a} {h}}}.

Esta razón no depende del triángulo rectángulo elegido, siempre que contenga el ángulo, ya que todos estos triángulos rectángulos son similares.

Desde el círculo unitario

En trigonometría, el círculo unitario es el círculo de radio 1 centrado en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas.

Considere la intersección entre una línea que pasa por el origen, formando un ángulo con la mitad positiva del eje x , y el círculo unitario. Entonces el componente horizontal de esta intersección es igual a . ω{\ Displaystyle \ omega}porque⁡(ω){\ Displaystyle \ cos (\ omega)}

De toda la serie

La función coseno se puede definir a partir de toda la serie , que converge para todo x real  :

porque⁡X=∑no=0+∞(-1)no(2no)!X2no{\ Displaystyle \ cos x = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n}}.

En otras palabras, el coseno de x se define como la parte real de la serie exponencial de i x  :

porque⁡X=miIX+mi-IX2{\ Displaystyle \ cos x = {\ frac {\ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} x} + \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} x}} {2}}}.

Esta definición, unida a la análoga al seno (como parte imaginaria ), equivale a la fórmula de Euler .

Como solución de una ecuación diferencial

Toda la serie anterior es la única solución al problema de Cauchy  :

y″=-y,y(0)=1,y′(0)=0{\ Displaystyle y '' = - y, \, y (0) = 1, y '(0) = 0},

que por lo tanto constituye una definición equivalente de la función coseno.

Propiedades

Periodicidad

La función coseno es periódica , con un período de 2π .

∀X∈Rporque⁡(X+2π)=porque⁡X{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ cos (x + 2 \ pi) = \ cos x}.

Esta propiedad se deriva naturalmente de la definición del círculo unitario ( ver arriba ).

Más precisamente, dos números reales tienen el mismo coseno si y solo si su suma o su diferencia pertenece a . 2πZ{\ Displaystyle 2 \ pi \ mathbb {Z}}

Paridad

La función coseno es par  :

∀X∈Rporque⁡(-X)=porque⁡X{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ cos (-x) = \ cos x}.

Esta propiedad aparece claramente en todo el desarrollo de la serie.

Recíproco

La función coseno es periódica, por lo tanto, no inyectiva . Además, consideramos su restricción a [0, π], que a su vez es biyectiva de [0, π] en la imagen [-1, 1], y luego definimos la función recíproca coseno:

arvsvsos:[-1,1]→[0,π]X↦arccos⁡X{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathrm {arccos}: & [- 1,1] & \ to & [0, \ pi] \\ & x & \ mapsto & \ arccos x \ end {matrix}}}

quien por lo tanto comprueba

∀X∈[0,π]arccos⁡(porque⁡X)=X{\ Displaystyle \ forall x \ in [0, \ pi] \ quad \ arccos (\ cos x) = x} ; ∀X∈[-1,1]porque⁡(arccos⁡X)=X{\ Displaystyle \ forall x \ in [-1,1] \ quad \ cos (\ arccos x) = x}.

Derivado

La derivada de la función coseno es lo opuesto a la función seno:

∀X∈Rporque′⁡X=-pecado⁡X{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ cos 'x = - \ sin x}.

Primitivo

Un primitivo de cos es sin, que se escribe:

∀X∈Rpecado′⁡X=porque⁡X{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ sin 'x = \ cos x}.

Limites

Para cualquier x real , la función coseno es continua en el punto x , por lo que su límite en este punto es cos ( x ).

Debido a su periodicidad, no tiene límite en ± ∞.

Valores notables

Los valores que aparecen en la tabla siguiente corresponden a ángulos para los que es posible una expresión con raíces cuadradas y, más precisamente, para los que se aplica el teorema de Wantzel ; para más detalles, consulte el artículo Polinomio mínimo de valores trigonométricos especiales .

x (ángulo)			cos x
Grados	Radianes	Rangos	Exacto	Decimal
0 °	0	0 g	1	1
180 °	π{\ Displaystyle \ pi}	200 g	-1	-1
15 °	π12{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}	16 2 ⁄ 3 g	6+24{\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}}	0,965925826289068
165 °	11π12{\ Displaystyle {\ frac {11 \ pi} {12}}}	183 1/3 g	-6+24{\ Displaystyle - {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}}	-0,965925826289068
30 °	π6{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {6}}}	33 1 ⁄ 3 g	32{\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	0,866025403784439
150 °	5π6{\ Displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}}}	166 2 ⁄ 3 g	-32{\ Displaystyle - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	-0,866025403784439
45 °	π4{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}	50 g	22{\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	0,707106781186548
135 °	3π4{\ Displaystyle {\ frac {3 \ pi} {4}}}	150 g	-22{\ Displaystyle - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	-0,707106781186548
60 °	π3{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}}	66 2 ⁄ 3 g	12{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}}}	0,5
120 °	2π3{\ Displaystyle {\ frac {2 \ pi} {3}}}	133 1 ⁄ 3 g	-12{\ Displaystyle - {\ frac {1} {2}}}	-0,5
75 °	5π12{\ Displaystyle {\ frac {5 \ pi} {12}}}	83 1 ⁄ 3 g	6-24{\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}}	0,258819045102521
105 °	7π12{\ Displaystyle {\ frac {7 \ pi} {12}}}	116 2 ⁄ 3 g	-6-24{\ Displaystyle - {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}}	-0,258819045102521
90 °	π2{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}	100 g	0	0
36 °	π5{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {5}}}	40 g	1+54{\ Displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {4}}}	0,8090169944
54 °	3π10{\ Displaystyle {\ frac {3 \ pi} {10}}}	60 g	10-254{\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} {4}}}	0.5877852523
126 °	7π10{\ Displaystyle {\ frac {7 \ pi} {10}}}	140 g

La raíz de la ecuación cos ( x ) = x es ipso facto un número notable , llamado número de Dottie .

Relación con números complejos

El coseno se utiliza para determinar la parte real de un número complejo z dado en coordenadas polares, por su módulo r y su argumento φ:

ℜ(z)=ℜ(rmiIφ)=rporque⁡φ{\ Displaystyle \ Re (z) = \ Re (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ varphi}) = r \ cos \ varphi}.

Coseno con un argumento complejo

La función coseno puede abarcar el dominio complejo, donde es una función entera  :

∀z∈VSporque⁡z=∑no=0+∞(-1)noz2no(2no)!=miIz+mi-Iz2=porque⁡(ℜ(z))aporrear⁡(ℑ(z))-Ipecado⁡(ℜ(z))pecado⁡(ℑ(z)){\ Displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ quad \ cos z = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} z ^ {2n} } {(2n)!}} = {\ Frac {\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} z} + \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} z}} {2}} = \ cos (\ Re (z)) \ cosh (\ Im (z)) - \ mathrm {i} \ sin (\ Re (z)) \ sinh (\ Im (z))}.

Cálculo numérico

Enlace externo

(en) Eric W. Weisstein , "  Cosine  " , en MathWorld

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