Teorema del valor intermedio

En matemáticas , el teorema del valor intermedio (abreviado como TVI), a veces llamado teorema de Bolzano , es un resultado importante en el análisis y se refiere a funciones continuas en un intervalo . Se indica que si una función continua sobre un intervalo toma dos valores m y n , entonces se toma todos los valores intermedios entre m y n .

Este teorema da en ciertos casos la existencia de soluciones de ecuaciones y es la base de técnicas de resolución aproximada como la búsqueda dicotómica o la bisección .

Enfoque intuitivo

La 10 ª etapa del Tour de Francia 2008 fue A 156 km de largo Raza de ciclo a partir de Pau (altitud: 200 m ) y llegando en Hautacam (1520 m ).

El perfil de paso es una función definida en el intervalo [0, 156] y con valores reales. A cualquier número $x$ de [0, 156], asocia la altitud del punto ubicado $x$ kilómetros desde el inicio. Dado que las altitudes oscilan entre los 200 y los 1520 m , parece claro que los corredores tuvieron que pasar al menos una vez por todas las altitudes intermedias, es decir, altitudes entre 200 y 1520 m. Por ejemplo, el corredor pasará al menos una vez por la altitud de 1000 m . Sin embargo, este hallazgo se basa en dos supuestos:

el camino es un intervalo, lo que supone que el espacio es un "continuo" - los matemáticos hablan de espacio conectado - es decir que no hay ningún "hueco" entre 0 y 156.
la función de altitud es continua, lo que significa que una variación infinitesimal en el kilometraje da como resultado una variación infinitesimal en la altitud. En otras palabras, un corredor no puede teletransportarse instantáneamente de una altitud a otra.

Tenga en cuenta que el razonamiento ya no es válido si el perfil ya no está definido en un intervalo, por ejemplo, si solo nos interesan los puntos de control marcados en el gráfico de enfrente: puede ser que ninguno de estos puntos, por numerosos que sean, está a una altitud de 1000 m .

El teorema del valor intermedio formaliza este razonamiento empírico.

Estados

Para cualquier función $f$ definida y continua en un intervalo $I$ y con valores reales, la imagen $f ( I )$ es un intervalo.

Declaración equivalente :

Para cualquier aplicación continua $f : [ a , b ]$ → ℝ y cualquier verdadero $u$ entre $f ( a )$ y $f ( b )$ , existe al menos un verdadero $c$ entre $una$ y $b$ tal que $f ( c ) = u$ .

Caso especial ( teorema de Bolzano ):

Si $f ( a ) f ( b ) \leq 0$ , existe al menos un $c \in [ a , b ]$ real tal que $f ( c ) = 0$ (porque " $f ( a ) f ( b ) \leq 0$ " significa que $0$ está entre $f ( a )$ y $f ( b )$ ).

Observaciones

Tenga en cuenta que el teorema no establece que la imagen del intervalo [ a , b ] por f es el intervalo [ f ( a ); f ( b )]. Esto es falso, como lo muestra el contraejemplo de la función f ( x ) = sin ( x ) con a = 0 y b = π; en este caso, f ([ a , b ]) = [0, 1] pero [ f (0), f (π)] = {0}.
El teorema plantea la pregunta: ¿no existe equivalencia entre la propiedad del valor intermedio y la continuidad ? La respuesta es no (consulte la sección Nota histórica ). Un contraejemplo viene dado por la función real de la variable real $f$ definida por: $f (x) = \ sin \! \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) {\ text {si}} x \ neq 0 {\ text {et}} f (0) = 0.$ Esta función no es continua en 0 pero satisface la propiedad del valor intermedio para cada par de reales. Un contraejemplo más elaborado es la función de Conway en base 13 , que es discontinua en todos los puntos.
Existe equivalencia entre:

f es continua en [ a , b ] y Para cualquier subintervalo [ c , d ] incluido en [ a , b ] y cualquier elemento y de [ f ( c ), f ( d )], el conjunto es una parte cerrada y no vacía de [ a , b ].

{\ Displaystyle \ {x \ in [c, d], f (x) = y \}}

Este teorema es esencial para el desarrollo de la teoría del análisis elemental, permite la demostración del teorema de biyección y la construcción de muchas funciones elementales como la función raíz cuadrada .
Este teorema es falso en el campo de los números racionales . Debemos utilizar necesariamente las propiedades del campo de los números reales . Por ejemplo, la función $f ( x ) = x 2 - 2$ de ℚ en ℚ es continua sobre [0, 2] y satisface $f (0)$ = –2, $f (2)$ = 2. Sin embargo, no existe un número racional $x$ tal que $f ( x )$ = 0.
Este teorema enfatiza una propiedad topológica de los números reales . Se demuestra simplemente usando topología o más laboriosamente si procedemos "manualmente".
Cuando además $f$ es estrictamente monótona , es inyectiva, por lo que la solución $c$ es única.

Aplicaciones

Este teorema se usa a menudo para mostrar que dos funciones continuas sobre el mismo intervalo y cuya diferencia cambia de signo en este intervalo toman el mismo valor en al menos un punto de este intervalo.
Ejemplo : Let f y g sea dos funciones continuas en un intervalo de no vacío [ un , b ] de ℝ, de modo que g ( un ) - f ( a ) y g ( b ) - f ( b ) tienen signos opuestos. Existe al menos un número real c entre una y b y tal que f ( c ) = g ( c ).
De hecho, sea φ = f - g . La función φ es continua y 0 se encuentra entre φ ( a ) y φ ( b ). Hay, por tanto, al menos un número real c entre una y b y tal que φ ( c ) = 0, o de nuevo f ( c ) = g ( c ).
En el caso particular donde g es la identidad en el intervalo [ a , b ], y donde f ( a )> una y f ( b ) < b , se obtiene un teorema de punto fijo ( Brouwer en dimensión 1).
Para cualquier polinomio P con coeficientes reales y de grado impar, existe al menos una raíz real, es decir una c real tal que P ( c ) = 0.
En efecto, los límites de P en $+ \infty$ y $-\infty$ son infinitos y (dado que el grado de P es impar) opuestos entre sí. Como la función polinomial P es continua, deducimos de la siguiente generalización que toma todos los valores reales , en particular el valor 0.

Nota histórica

En su Cours d'Analyse de l'École royale polytechnique publicado en 1821, Cauchy hizo un enunciado del teorema de valores intermedios como el Teorema IV del Capítulo II , luego hizo una demostración.

Teorema de darboux

Una función puede verificar la conclusión del teorema de valores intermedios sin ser continua (ejemplo: la función x ↦ sin (1 / x ) , completada por 0 ↦ a donde a es un real elegido entre –1 y 1).

En 1875, Gaston Darboux demostró que esta conclusión era verificada por todas las funciones derivadas , de las que forman parte las funciones continuas, según el primer teorema fundamental del análisis . Por tanto, el teorema de los valores intermedios puede considerarse como un corolario de este último y del teorema de Darboux.

Resolución y demostración

El teorema de los valores intermedios forma parte de los denominados teoremas de existencia . Sin embargo, no hay una demostración constructiva general de esta existencia.

La prueba original de Bolzano basada en la noción de cota superior de un conjunto de real.

Damos a continuación otras dos demostraciones. El primero es breve pero se basa en una teoría más elaborada, la topología. El segundo se basa en el método de dicotomía y, hasta cierto punto, puede implementarse digitalmente.

La topología proporciona una demostración en unas pocas líneas de esta propiedad:

Los relacionados de ℝ son los intervalos. Por lo tanto, el conjunto inicial está conectado. La imagen de un conectado por una función continua es un conectado. Entonces, la imagen por f de [ a , b ] es un intervalo, lo que prueba el teorema.

Pero detrás de esta aparente simplicidad se esconden resultados que deben haber sido demostrados de antemano, como el hecho de que todo intervalo de ℝ está conectado , una demostración del mismo orden de dificultad que la del teorema de valores intermedios.

Prueba por dicotomía

El principio es cortar el intervalo inicial en dos y mantener el intervalo en el que sabemos que hay una solución. Luego comenzamos de nuevo cortando el intervalo restante a la mitad, etc. Esto da como resultado intervalos anidados cada vez más pequeños en los que estamos seguros de encontrar una solución. Luego, terminamos encontrando un marco "bastante bueno" para la solución.

Algoritmos

La prueba por dicotomía se traduce fácilmente en forma algorítmica, con la excepción de la prueba f ( m n ) = u (donde m n es el punto medio del n- ésimo intervalo), que no se puede verificar exactamente cuando realizamos cálculos numéricos aproximados. . Preferimos sustituir la condición | f ( m n ) - u | <ε, donde ε es un error dado de antemano. El algoritmo proporcionará entonces una x real tal que | f ( x ) - u | <ε, pero este valor puede resultar relativamente alejado del valor exacto c de la raíz si no se hace otra suposición sobre f que no sea la continuidad.

En el caso donde f es C 1 (es decir, donde f y su primera derivada son continuas) y donde podemos encontrar un número m > 0 tal que | f '| > m en el intervalo donde se aplica el método de dicotomía, entonces el algoritmo de dicotomía converge a un número c tal que f ( c ) = u . También tenemos el aumento en la diferencia entre el valor x calculado por la dicotomía yc en la forma | x - c | ≤ ε / m .

Además, el método de dicotomía permite encontrar solo un valor de x . Eliminar una brecha completa en cada paso puede descartar otras soluciones.

Finalmente, la dicotomía es un algoritmo simple, pero no es el más eficiente: la precisión solo aumenta en un factor de 2 en cada iteración. Por lo tanto, buscamos otros métodos que permitan una convergencia más rápida. El método de Newton o el método de las tangentes es una buena eficacia.

Generalizaciones

Reemplazo de ℝ por la línea real completa

Deje $-\infty$ ≤ a <b ≤ $+ \infty$ y f :] un , b [→ ℝ continua y que tiene en un y b límites L una y L b (posiblemente infinito). Entonces, para cualquier u real estrictamente entre L a y L b , existe un c real en] a , b [tal que f ( c ) = u .

Teorema de Poincaré-Miranda

El reemplazo de ℝ por ℝ n es el siguiente:

Sea f = ( f 1 ,…, f n ): [–1, 1] n → ℝ n un mapa continuo tal que en cada cara x i = 1, f i ≥ 0 y en cada cara x i = –1 , f i ≤ 0. Entonces existe un punto donde f desaparece.

Henri Poincaré lo anunció en 1883 y luego lo demostró en 1886, pero no fue hasta 1940 que Carlo Miranda (la) notó que es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer .

Notas y referencias

Daniel Perrin , " Intermediate Values " , en el blog de Alexandre Moatti ,18 de julio de 2006.
[PDF] Laurent Moonens, aspirante a FRS , " Bolzano y el teorema de los valores intermedios " , en AlmaSoror ,20 de febrero de 2007.
I. Gaber, A. Lev, R, Zigdon, " Perspectivas y observaciones sobre la enseñanza del teorema del valor intermedio ", Amer. Matemáticas. Mensual , vol. 126, n o 9,noviembre de 2019, p. 845-849 ( DOI 10.1080 / 00029890.2019.1647061 )
(en) Michael Spivak , Cálculo ,1967( leer en línea ) , pág. 103, ofrece una demostración más clásica.
Sin embargo, si una función satisface esta conclusión y toma cada valor solo un número finito de veces, entonces es continua: Spivak 1967 , p. 109 (ejemplo 13) .
Spivak 1967 , p. 253 o (ex 12). Spivak de 2006 - 3 ª edición, UPC ( ISBN 978-0-52186744-3 ) - p. 296 (ejemplo 20).
Para una demostración moderna con el mismo espíritu, ver por ejemplo (en) Peter D. Lax y Maria Shea Terrell, Calculus With Applications , Springer ,2013, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1976) ( leer on-line ) , p. 66-67o "Teorema del valor intermedio, o Bolzano" en Wikiversity .
Para conocer la equivalencia entre la propiedad del límite superior (utilizado por Bolzano) y el teorema de secuencias adyacentes (utilizado en la prueba de dicotomía), consulte Construcción de números reales # Equivalencia de las dos construcciones .
[PDF] Daniel Perrin , “ Dos manifestaciones por dicotomía ” , en Université Paris-Sud .
Ver la prueba de dicotomía del teorema del valor intermedio en Wikiversity .
Ejercicio 1 o 4 sobre continuidad (y sus soluciones) en Wikiversity .
[PDF] Vea la demostración (en) Władysław Kulpa , " Teorema de invariancia de dominio y Poincaré " , Acta Univ. Carolin. Matemáticas. Phys. , vol. 39, n o 1,1998, p. 127-136 ( leer en línea ), p. 130-131 (tomado de (en) Władysław Kulpa , “ The Poincaré-Miranda Theorem ” , Amer. Math. Month. , Vol. 104, n o 6,1997, p. 545-550 ( DOI 10.2307 / 2975081 )), o su reescritura en (en) Michael Müger, “ Un comentario sobre la invariancia de dimensión ” , en Radboud Universiteit Nijmegen , que detecta allí un “ lema de Sperner cúbico”.
[PDF] H. Poincaré , “ Sobre las curvas definidas por una ecuación diferencial, IV ”, Revista de matemáticas puras y aplicadas , vol. 85,1886, p. 151-217 ( leer en línea ).
(It) C. Miranda , " Un'osservazione su una teorema di Brouwer " , Bollettino dell ' Unione Matematica Italiana , vol. 3,1940, p. 527.

Ver también

Artículo relacionado

Primo lema

enlaces externos

Bolzano , Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwei Werthen, die ein entgegengesetztes Result gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege [Prueba puramente analítica del teorema: entre dos valores cualesquiera que den dos resultados de signos opuestos se encuentra al menos una raíz real de la ecuación], Praga, 1817.En este texto, Bolzano refuta demostraciones anteriores que se basan en principios de evidencia o consideraciones geométricas. Enuncia el teorema ( pág. 9 ) y luego lo demuestra utilizando la propiedad del límite superior ( pág. 21-22 ). Se pueden encontrar traducciones parciales al francés en Mathematics over the age , Bordas, 1987, p. 206-207 o en La demostración matemática en la historia , IREM de Besançon y Lyon, 1989, p. 99-114 . Este texto de Bolzano permanecerá en gran parte desconocido hasta la publicación de su obra en 1848.
(en) SB Russ , “ Una traducción del artículo de Bolzano sobre el teorema del valor intermedio ” , Historia Mathematica , vol. 7, n o 21980, p. 156-185 ( DOI 10.1016 / 0315-0860 (80) 90036-1 )
Cauchy , Análisis algebraico , 1821, pág. 43-44.En esta demostración, Cauchy está satisfecho con la evidencia geométrica. Giuseppe Peano no considera satisfactoria esta demostración ( Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale , 1884, p. Xi). Este último da la prueba por dicotomía, después de haber definido los números reales como cortes de Dedekind .
Cauchy , Análisis algebraico , 1821, N. III, pág. 460.Cauchy da aquí un proceso de resolución de ecuaciones numéricas, comparable a la prueba de dicotomía del teorema del valor intermedio.