Forma diferencial cerrada

En topología diferencial , se dice que una forma diferencial está cerrada cuando su derivada externa es cero.

Según el teorema de Schwarz , cualquier forma exacta de clase C 1 es cerrada. El lema de Poincaré proporciona un parcial recíproco .

Caso de 1 formas

En dimensión n , una forma 1

ω(tu)=a1(tu)DX1+...+ano(tu)DXno{\ Displaystyle \ omega (u) = a_ {1} (u) \ mathrm {d} x_ {1} + ... + a_ {n} (u) \ mathrm {d} x_ {n}}

está cerrado si

∀I<j≤no∂aI∂Xj-∂aj∂XI=0.{\ Displaystyle \ forall i <j \ leq n \ quad {\ frac {\ parcial a_ {i}} {\ parcial x_ {j}}} - {\ frac {\ parcial a_ {j}} {\ parcial x_ { i}}} = 0.}

Por tanto, hay que satisfacer n ( n - 1) / 2 condiciones.

• En la dimensión 1, una forma 1 derivableω=A(X)DX{\ Displaystyle \ omega = A (x) \ mathrm {d} x}todavía está cerrado.
• En la dimensión 2, una forma de 1ω=A(X,y)DX+B(X,y)Dy{\ Displaystyle \ omega = A (x, y) \ mathrm {d} x + B (x, y) \ mathrm {d} y}está cerrado si(∂A∂y)X=(∂B∂X)y.{\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ parcial A} {\ parcial y}} \ derecha) _ {x} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial B} {\ parcial x}} \ derecha) _ { y}.}
• En la dimensión 3, una forma de 1ω=A(X,y,z)DX+B(X,y,z)Dy+VS(X,y,z)Dz{\ Displaystyle \ omega = A (x, y, z) \ mathrm {d} x + B (x, y, z) \ mathrm {d} y + C (x, y, z) \ mathrm {d} z }está cerrado si(∂A∂y)X,z=(∂B∂X)y,z{\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {\ A parcial} {\ parcial y}} \ derecha) _ {x, z} \! \! \! = \ izquierda ({\ frac {\ parcial B} {\ parcial x}} \ derecha) _ {y, z}}   ;    ;(∂A∂z)X,y=(∂VS∂X)y,z{\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {\ A parcial} {\ parcial z}} \ derecha) _ {x, y} \! \! \! = \ izquierda ({\ frac {\ parcial C} {\ parcial x}} \ derecha) _ {y, z}}      (∂B∂z)X,y=(∂VS∂y)X,z,{\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {\ parcial B} {\ parcial z}} \ derecha) _ {x, y} \! \! \! = \ izquierda ({\ frac {\ parcial C} {\ parcial y}} \ derecha) _ {x, z},}que corresponde aeructar→Ω=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, \ Omega = \ mathbf {0}}conΩ=(ABVS).{\ Displaystyle \ Omega = {\ begin {pmatrix} A \\ B \\ C \ end {pmatrix}}.}

Referencias

• Jacques Lafontaine, Introducción a las variedades diferenciales [ detalle de las ediciones ]
• Samuel Ferdinand Lubbe, Tratado de cálculo diferencial y cálculo integral, Bachelier, 1832 [ leer en línea ]