Teorema del punto fijo de Schauder
El teorema del punto fijo de Schauder es una generalización del teorema del punto fijo de Brouwer a espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita. Fue demostrado por primera vez en el caso de los espacios de Banach por Juliusz Schauder . Interviene en la demostración de la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales .
Estados
Sea E un espacio vectorial topológico ℝ separado y C un E convexo cerrado no vacío .
Teorema : si T es un mapa continuo de C a C tal que T ( C ) es relativamente compacto , entonces T tiene un punto fijo .
Prueba si
E es
localmente convexo
La envolvente convexa cerrada de T ( C ) está incluida en C y es precompacta . Al reemplazar C por esta parte, ahora podemos suponer que el C convexo es compacto .
- Para tal C , demostremos que para cualquier V abierto convexo que contenga 0, existe un subespacio vectorial de dimensión finita G V y un mapa continuo tal que: IV:VS→VS∩GRAMOV{\ Displaystyle I_ {V}: C \ a C \ cap G_ {V}}
∀X∈VS,IV(X)∈X+V.{\ Displaystyle \ forall x \ in C, I_ {V} (x) \ in x + V.}
Por compacidad, existe una parte finita F V de C tal que VS⊂⋃F∈FV(F-V){\ Displaystyle C \ subconjunto \ bigcup _ {f \ in F_ {V}} (fV)}
y una partición de unidad ( ϕ f ) f ∈ F V subordinada a esta cobertura finita. Al señalar G V el subespacio vectorial generado por F V , definimos la aplicación deseada I V mediante:∀X∈VSIV(X)=∑F∈FVϕF(X)F.{\ Displaystyle \ forall x \ in C \ quad I_ {V} (x) = \ sum _ {f \ in F_ {V}} \ phi _ {f} (x) f.}
- Dado que la dimensión de G V es finita y que es un compacto convexo no vacío estable por , el teorema del punto fijo de Brouwer asegura que contiene un vector v V tal queVS∩GRAMOV{\ Displaystyle C \ cap G_ {V}}
IV∘T{\ Displaystyle I_ {V} \ circ T}
IV(T(vV))=vV,{\ Displaystyle I_ {V} (T (v_ {V})) = v_ {V},}
de tal manera quevV∈T(vV)+V.{\ Displaystyle v_ {V} \ en T (v_ {V}) + V.}
-
Como C es compacto , el resultado general ( v V ) tiene un valor de adhesión , que es entonces un punto C fija T .
Historia
Este teorema fue demostrado por primera vez en 1930 por Schauder en casos particulares, como el de espacios vectoriales topológicos metrizables completos . Conjeturó el caso general en el Scottish Book . En 1934, Tychonoff demostró el teorema en el caso en que C es compacto y E es localmente convexo. Esta versión se conoce como teorema del punto fijo de Tychonoff . BV Singbal generalizó este resultado al caso en el que C no es compacto. El caso general (sin la hipótesis de la convexidad local) fue finalmente demostrado por Robert Cauty en 2001.
En 1951, James Dugundji notó, como corolario de su teorema de extensión , que la generalización "ingenua" en dimensión infinita del teorema del punto fijo de Brouwer es falsa: en cualquier espacio vectorial normalizado de dimensión infinita, existen mapeos continuos sin un punto fijo. de la bola unitaria cerrada ( no compacta ) en sí misma.
Teorema del punto fijo de Schaefer
Una consecuencia, llamada teorema del punto fijo de Schaefer , es particularmente útil para probar la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales no lineales . Este teorema de Schaefer es de hecho un caso especial de un teorema mayor descubierto previamente por Schauder y Leray . Dice lo siguiente:
Teorema
- Sea
T un mapa continuo y compacto de un
espacio E separado
localmente convexo en sí mismo, de modo que el conjunto
{X∈mi∣∃λ∈]0,1[, X=λT(X)}{\ Displaystyle \ {x \ in E \ mid \ existe \ lambda \ in \ left] 0,1 \ right [, ~ x = \ lambda T (x) \}}![{\ Displaystyle \ {x \ in E \ mid \ existe \ lambda \ in \ left] 0,1 \ right [, ~ x = \ lambda T (x) \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081a86a5bb3ad9d247aa106445af1e8c8819d7db)
está
acotado . Entonces, para todo , hay tal que .
λ∈[0,1]{\ Displaystyle \ lambda \ in \ left [0,1 \ right]}
X∈mi{\ Displaystyle x \ in E}
X=λT(X){\ Displaystyle x = \ lambda T (x)}
Notas y referencias
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en
inglés titulado
" Teorema del punto fijo de Schauder " ( consulte la lista de autores ) .
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(de) J. Schauder, “ Der Fixpunktsatz en Funktionalräumen ” , Studia Math. , vol. 2,1930, p. 171–180 ( leer en línea ).
-
Para una variante en el caso particular donde E es de Banach y C es acotado y simétrico, cf. Escuelas superiores normales , asignatura común París-Lyon , 1998, declaración y solución, de M. Tibouchi .
-
(de) A. Tychonoff, " Ein Fixpunktsatz " , Matemáticas. Ana. , vol. 111,1935, p. 767–776 ( leer en línea ).
-
(in) FF Bonsall, Conferencias sobre algunos teoremas de análisis funcional de puntos fijos , Mumbai,1962, Apéndice.
-
Robert Cauty, " Solución del problema de punto fijo de Schauder ", Fund. Matemáticas. , vol. 170,2001, p. 231-246.
-
(en) J. Dugundji, " Una extensión del teorema de Tietze " , Pacific J. Math. , vol. 1,1951, p. 353-367 ( leer en línea ), Teorema 6.3.
-
(in) Jane Cronin , Puntos fijos y grado topológico en análisis no lineal , AMS ,1964, 198 p. ( ISBN 978-0-8218-1511-3 , leer en línea ) , pág. 133.
-
Se dice que una aplicación es compacta si la imagen de cualquier parte delimitada es relativamente compacta.
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