Espacio vectorial normalizado

Un espacio vectorial normalizado ( EVN ) es un espacio vectorial provisto de una norma .

Esta estructura matemática desarrolla propiedades geométricas de distancia compatibles con las operaciones del álgebra lineal . Desarrollado en particular por David Hilbert y Stefan Banach , esta noción es fundamental en el análisis y más particularmente en el análisis funcional , con el uso de los espacios de Banach tales como L p espacios .

Estructura general

Definición

Sea K un campo conmutativo dotado de un valor absoluto , y no discreto (por ejemplo, el campo de reales o complejos ).

Definición  -  Se dice que un espacio vectorial K- E está normalizado cuando se le proporciona una norma, es decir, una aplicación.

NO:mi→R+{\ Displaystyle {\ mathcal {N}}: E \ a \ mathbb {R} ^ {+}}

satisfaciendo las siguientes hipótesis:

• separación  : ;∀X∈mi, NO(X)=0⇒X=0mi{\ Displaystyle \ forall x \ in E, \ {\ mathcal {N}} (x) = 0 \ Rightarrow x = 0_ {E}}
• homogeneidad  : ;∀(λ,X)∈K×mi, NO(λX)=|λ|NO(X){\ Displaystyle \ forall (\ lambda, x) \ in {\ rm {K}} \ times E, \ {\ mathcal {N}} (\ lambda x) = | \ lambda | {\ mathcal {N}} ( X)}
• subaditividad ( desigualdad triangular ) .∀(X,y)∈mi2, NO(X+y)≤NO(X)+NO(y){\ Displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2}, \ {\ mathcal {N}} (x + y) \ leq {\ mathcal {N}} (x) + {\ mathcal {N} } (y)}

Si no hay riesgo de ambigüedad, la norma de un elemento x se anota ║ x ║.

La bola unitaria (cerrada) de E es el conjunto de vectores con norma menor o igual a 1.

Ejemplos básicos

• El campo K (igual aquí a ℝ o ℂ), provisto de su valor absoluto, es un espacio vectorial K normalizado.
• Para cualquier conjunto X no vacío y cualquier espacio vectorial normado E , el espacio ß ( X , E ) de mapas acotados de X a E , dotados de la norma de convergencia uniforme‖F‖∞=sorberX∈X‖F(X)‖,{\ Displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ in X} \ | f (x) \ |,}es un espacio vectorial normalizado.
• Para cualquier espacio medido ( X , Σ, μ ) y para 1 ≤ p ≤ ∞ , el espacio L p (μ) de las funciones medibles de X a K (tomadas casi iguales en casi todas partes) y p -integrable (o acotado si p = ∞ ), provisto de la norma asociada p , es un espacio vectorial normalizado. Cuando μ es la medida de conteo , la denotamos en su lugar ℓ p ( X ) .
  • Si X es un segmento de ℝ o más generalmente un ℝ compacto n , provisto de la medida de Lebesgue , estos espacios L p inducir estándares habituales funcionan espacios continuos sobre X .
  • En ℓ p ({1,…, n }), encontramos las normas habituales en K n .
  • Si 1 ≤ p < ∞ , el espacio ℓ p ( ℕ ), denotado simplemente ℓ p , es el espacio de p - secuencias sumables x = ( x n ) n ≥0 de elementos de K , dotados de la norma‖X‖pag=(∑no=0∞|Xno|pag)1pag.{\ Displaystyle \ Green x \ Green _ {p} = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ green x_ {n} \ green ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1 } {pag}}.}
  • ℓ ∞ ( X ) es el espacio B ( X , K ) de funciones acotadas de X a K (por lo tanto, secuencias acotadas si X = ℕ).

Nota . En estos ejemplos, no es demasiado difícil verificar que la norma 1 o ∞ es de hecho una norma. Para la norma 2 , es una consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz . Para cualquier p , la desigualdad triangular, que lleva el nombre de desigualdad de Minkowski , está más oculta.

Subespacio y espacio de productos

Cualquier subespacio vectorial de un espacio vectorial normalizado se normaliza mediante la restricción de la norma.

Sean ( E , ║ ∙ ║ E ) y ( F , ║ ∙ ║ F ) dos espacios vectoriales normalizados, entonces el mapa ║ ∙ ║ E × F definido por la siguiente igualdad es una norma en el espacio vectorial producto E × F  :

∀(X,y)∈mi×F‖(X,y)‖mi×F=max(‖X‖mi,‖y‖F).{\ Displaystyle \ forall (x, y) \ in E \ times F \ qquad \ | (x, y) \ | _ {E \ times F} = \ max (\ | x \ | _ {E}, \ | y \ | _ {F}).}

Espacio cociente

Deje que F sea un subespacio vectorial de un espacio vectorial normado E . Definimos el mapa ║ ∙ ║ E / F en el espacio vectorial cociente E / F por:

∀X∈mi‖X¯‖mi/F=D(X¯,F)=D(X,F)=inftu∈X¯‖tu‖mi{\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad \ | {\ bar {x}} \ | _ {E / F} = d ({\ bar {x}}, F) = d (x, F) = \ inf _ {u \ in {\ bar {x}}} \ | u \ | _ {E}},

donde d es la distancia sobre E (y sus partes) inducida por la norma.

Propiedad  -  El mapa ║ ∙ ║ E / F es una semi-norma en el cociente E / F espacio vectorial . Es una norma si y solo si F está cerrado .

Demostración

• Esta aplicación es claramente homogénea. También es subaditivo, de hecho:‖X¯+y¯‖mi/F=infw∈X+y¯‖w‖mi=inftu∈X¯,v∈y¯‖tu+v‖mi{\ Displaystyle \ | {\ bar {x}} + {\ bar {y}} \ | _ {E / F} = \ inf _ {w \ in {\ overline {x + y}}} \ | w \ | _ {E} = \ inf _ {u \ in {\ bar {x}}, \, v \ in {\ bar {y}}} \ | u + v \ | _ {E}}se incrementa en inftu∈X¯,v∈y¯(‖tu‖mi+‖v‖mi)=inftu∈X¯‖tu‖mi+infv∈y¯‖v‖mi=‖X¯‖mi/F+‖y¯‖mi/F.{\ Displaystyle \ inf _ {u \ in {\ bar {x}}, \, v \ in {\ bar {y}}} (\ | u \ | _ {E} + \ | v \ | _ {E }) = \ inf _ {u \ in {\ bar {x}}} \ | u \ | _ {E} + \ inf _ {v \ in {\ bar {y}}} \ | v \ | _ { E} = \ | {\ bar {x}} \ | _ {E / F} + \ | {\ bar {y}} \ | _ {E / F}.}
• Es una norma si y solo si d ( x , F ) = 0 implica que la clase de x es cero, por lo tanto, si F contiene su adhesión , es decir, si F es cerrado.

De acuerdo con las propiedades topológicas del cociente , un mapa lineal f de E en un espacio vectorial normalizado G es continuo si y solo si la inyección lineal canónica f de E / ker ( f ) en G por la cual f se factoriza es continua. ( luego tienen el mismo estándar ).

Topología

Topología de un subespacio, producto, cociente

Como muestra el artículo normativo , la norma sobre un espacio vectorial induce una distancia, por lo tanto, una topología , para la cual la suma y la multiplicación externa son continuas , lo que conlleva muchas propiedades , por ejemplo: la adhesión de cualquier sub-espacio vectorial es un subespacio vectorial. y (para un espacio vectorial real) la adherencia y el interior de una parte convexa son convexos .

Para cualquier subespacio vectorial F , la topología inducida por la del espacio coincide con la resultante de su distancia y por tanto de su norma (restricciones de las del espacio entero): es una propiedad general de los espacios métricos y de sus subespacios.

La configuración es la misma para el producto de dos espacios E y F . Para la norma ║ ∙ ║ E × F definida previamente, las bolas de centro ( x , y ) y de radio r > 0 (que constituyen una base de vecindades de ( x , y ) para la topología asociada a esta norma) no son distintos de B ( x , r ) × B ( y , r ), por lo tanto, también constituyen una base de vecindades para la topología del producto . Nótese la adecuación de la definición de ║ ∙ ║ E × F de ║ ∙ ║ E y ║ ∙ ║ F , que a priori podría parecer arbitraria. Pero observemos que la misma topología en E × F se obtiene estableciendo ║ ( x , y ) ║ E × F = N (║ x ║ E , ║ y ║ F ) donde N es cualquier norma en ℝ 2 , por ejemplo l uno de los estándares habituales mencionados anteriormente. Esto se debe a que N siempre es equivalente a la norma máxima utilizada aquí.

La situación sigue siendo similar para un E / F cociente . De hecho, si φ es la proyección canónica de E en E / F , una base de vecindades de φ ( x ) para la topología del cociente consiste en φ (B (x, r)) (para r > 0), que coinciden exactamente con las bolas (en E / F , para la semi-norma inducida) del centro φ ( x ) y de radio r .

Así, la topología inducida sobre un subespacio, producto de espacios o cociente coincide con la resultante de la norma inducida (o de la semi-norma inducida, en el caso de un cociente por un subespacio no cerrado).

Operador vinculado

Un operador acotado entre dos espacios vectoriales normalizados es simplemente un mapa lineal continuo . Esta doble designación se justifica por la siguiente proposición:

Proposición  -  Sean E y F dos espacios vectoriales normalizados K- . Para un mapa lineal f de E a F , las siguientes propiedades son equivalentes:

1. f es continuo;
2. f es continua en 0;
3. la imagen por f de cualquier bola con centro 0 (por lo tanto, de cualquier parte acotada ) está acotada;
4. la imagen por f de la bola unitaria cerrada está acotada;
5. ∃K≥0∀X∈mi‖F(X)‖≤K‖X‖{\ Displaystyle \ existe K \ geq 0 \ quad \ forall x \ in E \ quad \ | f (x) \ | \ leq K \ | x \ |} ;
6. f es Lipschitziano  ;
7. f es uniformemente continua .

La norma del operador de tal f es la constante más pequeña C tal que f es C -lipschitziana.

Si un mapa lineal f de E a F es continuo, entonces su núcleo está cerrado (porque es la imagen inversa del {0} cerrado por el mapa continuo f ). Lo contrario es falso (incluso construimos fácilmente inyecciones lineales no continuas). Sin embargo, si f es de rango finito y de núcleo cerrado N, entonces f es continua (de hecho, entonces se factoriza mediante una aplicación f de E / N a F que es continua, porque es lineal en un espacio vectorial normalizado de dimensión finita ).

En el espacio vectorial L ( E , F ) de los mapas lineales de E a F , el subespacio vectorial de los que son continuos se denota ℒ ( E , F ). La norma del operador lo convierte en un espacio vectorial normalizado.

Lo completo

Un espacio K- vector normalizado completo, es decir, en el que convergen todas las secuencias de Cauchy , lleva el nombre de “espacio de Banach”. Un espacio vectorial normalizado no es necesariamente completo:

Proposición 1  -  Ningún espacio vectorial normal normalizado de dimensión infinita numerable está completo.

La finalización de un espacio vectorial normalizado tiene propiedades adicionales en comparación con la finalización de un espacio métrico simple  :

Proposición 2  -  Para cualquier espacio vectorial normado E , existe un espacio de Banach E c y una isometría lineal J , de E a E c , cuya imagen es densa en E c .

En general, E se identifica con su imagen J ( E ) en E c . Por tanto, E aparece como un subespacio vectorial de E c , y la norma de E inducida por la norma de E c coincide con la norma original de E porque J es una isometría.

La sustitución de un espacio E por su complemento E c no modifica el espacio de mapas lineales continuos de E a F si F es completo (esta propiedad permite mostrar que la proposición anterior caracteriza el espacio vectorial normalizado E c con isomorfismo cercano ). Más generalmente :

Proposición 3  -  Sea G un espacio vectorial normalizado, E un subespacio vectorial denso y F un espacio de Banach. Entonces, para la norma de operadores, el mapa de “restricción”, de ℒ ( G , F ) a ℒ ( E , F ), es un isomorfismo isométrico.

La integridad de F se "transmite" al espacio de mapas lineales continuos con valores en F  :

Proposición 4  -  Sean E y F dos espacios vectoriales normalizados. Si F es completo, entonces el espacio ℒ ( E , F ) dotado de la norma de los operadores está completo.

Demostraciones

• Proposición 1. Sea ( E n ) n ∈ℕ ser una familia libre en un Banach E espacio . Para cualquier número entero n , denote por E n el subespacio vectorial generado por ( e 0 ,…, e n ). Es cerrado (por dimensión finita, cf. último párrafo) y de interior vacío. De acuerdo con el teorema de Baire , la reunión de E n es consecuencia de vacío por lo tanto diferente dentro de E .
• Proposición 2. La finalización de E es, como la finalización de cualquier espacio métrico , un espacio métrico completo F dotado de un mapa isométrico J de E en F , con una imagen densa. Además, aquí, las dos operaciones del espacio vectorial en E se extienden continuamente a F por continuidad de Cauchy y la norma se extiende de la misma manera, o simplemente estableciendo ║ ∙ ║ = d (∙, 0). Por densidad, las ecuaciones que hacen del espacio métrico E un espacio vectorial normalizado todavía se verifican en F para estas extensiones.
  Otra técnica para construir el espacio vectorial normado complementado por E consiste en tomar la adhesión de E en su bidual (topológico) .
• Proposición 3. Los únicos dos puntos delicados son la sobrejetividad de este mapa - denotémoslo R - y el hecho de que ║ R ( f ) ║ ≥ ║ f ║. Por tanto, se trata de demostrar que cualquier mapa lineal continuo g de E a F se extiende a un mapa lineal f de G a F , con una norma aumentada por la de g . Ya sabemos (dado que g es uniformemente continuo y por lo tanto Cauchy-continuo ) que g admite una continuación continua f . La linealidad de f se deduce entonces de la de g por la densidad de E . El aumento de su norma también se obtiene por densidad.
• Propuesta 4. Let S la esfera unidad E y G espacio (completa) asignaciones limitadas de S en F . ℒ ( E , F ) siendo naturalmente isométrico al subespacio H de G formado por los mapas que se extienden linealmente a E , basta con comprobar que H está completo: está cerrado en G , como una intersección de los (kernels de aplicación lineal continuo) { v ∈ G | v ( z ) = λ v ( x ) + μ v ( y )} para todos ( x , y , z , λ, μ) ∈ S 3 × K 2 tales que z = λ x + μ y .

Teorema de Riesz

Este teorema establece que la bola unitaria (cerrada) de un espacio vectorial normal normalizado E es compacta si y solo si E es de dimensión finita.

Por lo tanto, la bola unitaria cerrada de un espacio vectorial normal normalizado de dimensión infinita es siempre no compacta.

Sin embargo, la bola unitaria cerrada de su dual topológico (también de dimensión infinita) es * -debilmente compacta, es decir compacta para la topología débil- *  : ver teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki .

Casos particulares

Espacio prehilbertiano

Se dice que un espacio es prehilbertiano si tiene una norma derivada de un producto escalar, sin ser necesariamente completo (un espacio prehilbertiano completo es un espacio de Hilbert ). El teorema de Fréchet-von Neumann-Jordan caracteriza estas normas: son las que verifican la identidad del paralelogramo . Esta identidad aún se verifica en el completo, que por lo tanto es naturalmente un espacio de Hilbert (podemos verlo más directamente extendiendo continuamente el producto escalar al completo, por continuidad de Cauchy o por identidad de polarización ).

Dimensión terminada

Deje E un espacio vectorial de dimensión finita n en R .

• Todos los estándares de E son equivalentes .
• Esta topología en E es la única que lo convierte en un espacio vectorial topológico separado .
• Para cualquier estándar en E  :
  • cualquier mapa lineal de E en un espacio vectorial normalizado real es (uniformemente) continuo  ;
  • en particular, E es (uniformemente) homeomorfo a R n  ;
  • E está completo  ; en particular, está cerrado en cualquier espacio vectorial normalizado (de cualquier dimensión) del cual es un subespacio;
  • las partes compactas de E son las acotadas cerradas .

Notas y referencias

1. N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas, libro III: Topología general [ detalle de ediciones ], p.  IX.31-32 en Google Libros .
2. Para una demostración, vea por ejemplo el § “Continuidad de aplicaciones lineales” de la lección “Espacios vectoriales normalizados” en Wikiversity .
3. o, más generalmente, el espacio de vector normalizado sobre un no discreta completo campo valioso .
4. (en) Saminathan Ponnusamy , Fundamentos del análisis funcional , CRC Press ,2003, 457  p. ( ISBN  978-0-8493-1717-0 , leer en línea ) , pág.  294, Teorema 5.103.
5. Para una demostración más elemental, cf. Gustave Choquet , Curso de Análisis, Volumen II: Topología , p.  288, ejercicio 65.
6. O más generalmente, en un campo “valorado” (en el sentido: provisto de un valor absoluto ) no discreto localmente compacto (por lo tanto completo ).

Ver también

Artículos relacionados

• Aplicación lineal no continua  (pulg)
• Espacio localmente convexo

Bibliografía

Georges Skandalis , Topología y análisis 3 er  año , Dunod, coll. "Sciences Sup", 2001

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