Homeomorfismo

En topología , un homeomorfismo es aplicar un biyectivo continuo , un espacio topológico a otro, la biyección inversa es continua. En este caso, se dice que los dos espacios topológicos son homeomorfos .

La noción de homeomorfismo es la noción correcta para decir que dos espacios topológicos son "iguales" vistos de manera diferente. Esta es la razón por la que los homeomorfismos son los isomorfismos de la categoría de espacios topológicos .

Propiedades

Una biyección continua es un homeomorfismo si y solo si está abierta o cerrada (entonces son ambas).
Deje que K sea un compacto espacio topológico , E una separada espacio topológico , y f: K → E una biyección continua. Entonces f es un homeomorfismo. En particular, E es un compacto.De hecho, cualquier F cerrado de K es compacto; como E se separa, la imagen F por f es compacto, a fortiori cerrado en E . Por tanto, f es una biyección continua cerrada, es decir, un homeomorfismo a través del punto anterior.
Una biyección continua no siempre es un homeomorfismo (ver el artículo Comparación de topologías ). Por ejemplo, la aplicación ${\ Displaystyle f: \ left [0,2 \ pi \ right [\ to S ^ {1}, ~ t \ mapsto (\ cos t, \ sin t)}$ es una biyección continua pero su recíproca no es continua en $(1, 0)$ . De hecho, no hay homeomorfismo entre el círculo $S 1$ y una parte de ℝ (por argumentos de conexión o conectividad simple ).

Definiciones asociadas

Un mapa f : X → Y es un homeomorfismo local (en) si cualquier punto de X pertenece a un V abierto tal que f ( V ) está abierto en Y y que f da, por restricción , un homeomorfismo de V en f ( V ). Esta aplicación es continua y abierta.

Ejemplos de

Cualquier cobertura es un homeomorfismo local.
Para cualquier X abierto de Y , la inclusión X → Y es un homeomorfismo local.
Cualquier compuesto X → Z de homeomorfismos locales X → Y e Y → Z es un homeomorfismo local.
Cualquier unión disjunta ∐ i ∈ I X i → Y de homeomorfismos locales X i → Y es un homeomorfismo local.
Cualquier cociente X / ~ → Y de un homeomorfismo local X → Y por una relación de equivalencia abierta y compatible ~ es un homeomorfismo local. (Cf. la “ línea real con doble punto ”.)
Cualquier difeomorfismo local de una variedad a otra es un homeomorfismo local.

Una propiedad topológica es una propiedad invariable por homeomorfismos.

Ejemplos de

Todo difeomorfismo es homeomorfismo.
La esfera de Riemann privada de su polo norte es homeomorfa al plano: un homeomorfismo es aquí la proyección estereográfica .
El toro de dimensión 1 y el círculo unitario (o cualquier otro círculo de radio distinto de cero) son homeomórficos.

Referencia

Jacques Dixmier , Topología General , París, PUF ,1981, 164 p. ( ISBN 2-13-036647-3 , OCLC 417477300 ) , párrafos 2.5 p. 31 y 4.2.16 p. 55.

Ver también

Enlace externo

Homeomorfismo del avión en un cuadrado : animación en GeoGebra acompañada de un ejercicio

Homeomorfismo

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