Dodecaedro ablandado

Descripción de la imagen snubdodecahedronccw.gif.

Descripción de la imagen snubdodecahedroncw.gif.

Elementos

Caras	Bordes	Vértices
92 triángulos y pentágonos	150	60 de grado 5

Llave de datos

Tipo	Sólido de Arquímedes
Característica	2
Propiedades	Semi-regular y convexo, quiral
Grupo de simetría	Yo h
Doble	Hexacontaedro pentagonal

El dodecaedro ablandado o icosidodecaedro ablandado es un sólido de Arquímedes .

El dodecaedro tiene 92 caras de las cuales 12 son pentágonos y las otras 80 son triángulos equiláteros . También tiene 150 aristas y 60 vértices. Tiene dos formas distintas, que son imágenes especulares (o enantiomorfos ) entre sí.

Relaciones geométricas

El dodecaedro se puede generar tomando las doce caras pentagonales del dodecaedro , tirando de ellas para que ninguna se toque entre sí, luego dándoles a todas una pequeña rotación de sus centros (todas en el sentido de las agujas del reloj (Sh) o todas en el sentido de las agujas del reloj (Sh). (Sah)) hasta que el espacio entre ellos se pueda llenar con triángulos equiláteros.

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un dodecaedro se suavizan en todas las permutaciones pares de

{\ Displaystyle (\ pm 2 \ alpha, \ pm 2, \ pm 2 \ beta) \,}

{\ Displaystyle \ left (\ pm \ left (\ alpha + {\ frac {\ beta} {\ varphi}} + \ varphi \ right), \ pm \ left (- \ alpha \ varphi + \ beta + {\ frac {1} {\ varphi}} \ right), \ pm \ left ({\ frac {\ alpha} {\ varphi}} + \ beta \ varphi -1 \ right) \ right)}

{\ Displaystyle \ left (\ pm \ left (- {\ frac {\ alpha} {\ varphi}} + \ beta \ varphi +1 \ right), \ pm \ left (- \ alpha + {\ frac {\ beta } {\ varphi}} - \ varphi \ right), \ pm \ left (\ alpha \ varphi + \ beta - {\ frac {1} {\ varphi}} \ right) \ right)}

{\ Displaystyle \ left (\ pm \ left (- {\ frac {\ alpha} {\ varphi}} + \ beta \ varphi -1 \ right), \ pm \ left (\ alpha - {\ frac {\ beta} {\ varphi}} - \ varphi \ right), \ pm \ left (\ alpha \ varphi + \ beta + {\ frac {1} {\ varphi}} \ right) \ right)}

{\ Displaystyle \ left (\ pm \ left (\ alpha + {\ frac {\ beta} {\ varphi}} - \ varphi \ right), \ pm \ left (\ alpha \ varphi - \ beta + {\ frac { 1} {\ varphi}} \ right), \ pm \ left ({\ frac {\ alpha} {\ varphi}} + \ beta \ varphi +1 \ right) \ right)}

con un número par de signos más, donde

{\ Displaystyle \ alpha = \ xi - {\ frac {1} {\ xi}}}

{\ Displaystyle \ beta = \ xi \ varphi + \ varphi ^ {2} + {\ frac {\ varphi} {\ xi}}}

¿Dónde está la proporción áurea y es la solución real de , cuál es el número magnífico ${\ Displaystyle \ varphi = {\ frac {(1 + {\ sqrt {5}})} {2}}}$ ${\ Displaystyle \ xi \,}$ ${\ Displaystyle \ xi ^ {3} -2 \ xi = \ varphi \,}$

{\ Displaystyle \ xi = {\ sqrt [{3}] {{\ frac {\ varphi} {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ varphi - {\ frac {5} {27}}}}}} + {\ sqrt [{3}] {{\ frac {\ varphi} {2}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ varphi - {\ frac {5} {27}}}}}}}

o aproximadamente 1.7155615.

Tenga en cuenta que, entre las 6 permutaciones de 3 coordenadas, las permutaciones pares son las 3 permutaciones circulares .

Si se toman las permutaciones impares de las coordenadas anteriores con un número impar de signos más, se obtiene otra forma, el enantiomorfo de la misma.

Referencias

Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979, ( ISBN 0-486-23729-X )

Ver también

enlaces externos