Diagrama de Coxeter-Dynkin

En geometría , un diagrama de Coxeter-Dynkin es un gráfico que muestra un conjunto relacional de espejos (o hiperplanos de reflexión ) en el espacio para una construcción caleidoscópica .

Como un gráfico en sí, el diagrama representa los grupos de Coxeter , cada nodo del gráfico representa un espejo ( faceta del dominio) y cada rama del gráfico representa el orden del ángulo diedro entre dos espejos (en un borde del campo).

Además, los gráficos tienen anillos (círculos) alrededor de los nodos del espejo activo que muestran un uniforme politopo (en) específico.

El diagrama está tomado del diagrama de Dynkin .

Descripción

El diagrama también puede representar politopos agregando anillos (círculos) alrededor de los nodos. Cada diagrama debe tener al menos un nodo activo para representar un politopo.

Los anillos expresan información: si un punto generador está dentro o fuera del espejo. Más precisamente, un espejo está activo (crea reflejos) solo cuando los puntos están fuera del espejo, por lo que agregar un anillo significa que un punto está fuera del espejo y crea un reflejo.

Los bordes están etiquetados con un número natural n que representa un ángulo diedro de 180 / n . Si un borde no está etiquetado, se supone que es 3 . Si n = 2, el ángulo es de 90 grados y los espejos no tienen interacción, y se puede omitir el borde. Se pueden marcar dos espejos paralelos con "∞".

En principio, n espejos se pueden representar mediante un gráfico completo en el que se dibujan todos los n * (n-1) / 2 . En la práctica, las configuraciones de espejos interesantes incluirán varios ángulos rectos, y los bordes correspondientes pueden omitirse.

Se pueden generar politopos y teselaciones utilizando estos espejos y un solo punto generador. Las imágenes de espejo crean nuevos puntos como reflejos. Se pueden crear bordes entre los puntos y una imagen reflejada. Los lados se pueden construir mediante ciclos de bordes creados, etc.

Ejemplos de

Un solo nodo representa un solo espejo. A esto se le llama grupo A 1 . Si está anillado, crea un digone o un borde perpendicular al espejo, representado por {} o {2}.
Dos nodos separados representan dos espejos perpendiculares . Si los dos nodos están anillados, se puede crear un rectángulo o un cuadrado si el punto es equidistante de los dos espejos.
Dos nodos unidos por un borde de orden n pueden crear un n-desaparecido si el punto está en un espejo, y un 2n-desaparecido si el punto está fuera de los dos espejos. Esto forma el grupo D 2 n .
Dos espejos paralelos pueden representar un grupo poligonal infinito D 2 ∞ , también llamado W 2 .
Tres espejos en un triángulo forman imágenes que se ven en un caleidoscopio tradicional y están representados por 3 nodos unidos en un triángulo. La repetición de los ejemplos tendrá bordes etiquetados como (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), aunque los dos últimos se pueden dibujar en una línea con el borde 2 ignorado. Estos generarán mosaicos uniformes .
Tres espejos pueden generar los poliedros uniformes , incluidos los números racionales es el conjunto de triángulos de Schwarz (en) .
Tres espejos con uno perpendicular a los otros dos pueden formar prismas uniformes .

En general, todos los n-politopos regulares, representados por el símbolo de Schläfli {p, q, r, ...} pueden tener sus dominios fundamentales representados por un conjunto de n espejos y están relacionados en un diagrama de Coxeter-Dynkin en una línea de nodos y bordes etiquetados por p, q, r ...

Grupos finitos de Coxeter

Las familias de politopos convexos uniformes están definidas por grupos de Coxeter .

Notas:

Se dan tres símbolos diferentes para los mismos grupos: una letra / número, un conjunto de números con llaves y el diagrama de Coxeter.
Los grupos bifurcados B n también están dados por la notación h [] que representa el hecho de que es una versión mitad o alternativa de los grupos regulares C n .
Los grupos bifurcados B n y E n también están etiquetados por un exponente [3 a, b, c ] donde a, b, c son el número de segmentos en cada una de las 3 ramas.

no	A 1+	B 4+	C 2+	D 2 p	E 6-8	F 4	G 2-4
1	A 1 = []
2	A 2 = [3]		C 2 = [4]	D 2 p = [p]			G 2 = [5]
3	A 3 = [3²]	B 3 = A 3 = [3 0,1,1 ]	C 3 = [4.3]				G 3 = [5.3]
4	A 4 = [3³]	B 4 = h [4,3,3] = [3 1,1,1 ]	C 4 = [4.3²]		E 4 = A 4 = [3 0,2,1 ]	F 4 = [3,4,3]	G 4 = [5.3.3]
5	A 5 = [3 4 ]	B 5 = h [4,3³] = [3 2.1.1 ]	C 5 = [4,3³]		E 5 = B 5 = [3 1,2,1 ]
6	A 6 = [3 5 ]	B 6 = h [4.3 4 ] = [3 3.1.1 ]	C 6 = [4,3 4 ]		E 6 = [3 2,2,1 ]
7	A 7 = [3 6 ]	B 7 = h [4.3 5 ] = [3 4.1.1 ]	C 7 = [4,3 5 ]		E 7 = [3 3,2,1 ]
8	A 8 = [3 7 ]	B 8 = h [4.3 6 ] = [3 5.1.1 ]	C 8 = [4,3 6 ]		E 8 = [3 4,2,1 ]
9	A 9 = [3 8 ]	B 9 = h [4.3 7 ] = [3 6.1.1 ]	C 9 = [4,3 7 ]
10+	..	..	..	..	..	..	..

(Nota: se dan nombres alternativos como grupos de Lie simples (en) ).

A n forma la familia de politopos simpliciales (mismo nombre: A n ).
B n es la familia de semi-hipercubos , comenzando en n = 4 con las 24 células yn = 5 con el penteracto (también llamado D n ).
C n forma la familia de los hipercubos (mismo nombre: C n ).
D 2 n forma los polígonos regulares (también llamados I 1 n ).
E 6 , E 7 , E 8 son los generadores de los politopos semi-regulares de Gosset (mismos nombres: E 6 , E 7 , E 8 ).
F 4 es la familia de policoros de 24 células (mismo nombre: F 4 ).
G 3 es la familia del poliedro dodecaedro / icosaedro (también llamado H 3 ).
G 4 es la familia de policoros de 120 células / 600 células (también llamada H 4 ).

Grupos de Infinite Coxeter

Las familias de teselaciones uniformes convexas están definidas por los grupos de Coxeter.

Notas:

Los grupos regulares (lineales) se pueden dar con notación equivalente con llaves.
El grupo S n también se puede etiquetar con una notación h [] como la mitad de un regular.
El grupo Q n también se puede etiquetar con una notación q [] como un cuarto de regular.
Los grupos bifurcados T n también están etiquetados por una forma exponente [3 a, b, c ] donde a, b, c son el número de segmentos en cada una de las 3 ramas.

no	P 3+	Q 5+	R 3+	S 4+	T 7-9	U 5	V 3	W 2
2								W 2 = [∞]
3	P 3 = h [6,3]		R 3 = [4,4]				V 3 = [6.3]
4	P 4 = q [4,3,4]		R 4 = [4.3.4]	S 4 = h [4,3,4]
5	P 5	Q 5 = q [4.3², 4]	R 5 = [4,3², 4]	S 5 = h [4,3², 4]		U 5 = [3,4,3,3]
6	P 6	Q 6 = q [4,3³, 4]	R 6 = [4,3³, 4]	S 6 = h [4,3³, 4]
7	P 7	Q 7 = q [4,3 4 , 4]	R 7 = [4,3 4 , 4]	S 7 = h [4,3 4 , 4]	T 7 = [3 2,2,2 ]
8	P 8	Q 8 = q [4,3 5 , 4]	R 8 = [4,3 5 , 4]	S 8 = h [4,3 5 , 4]	T 8 = [3 3,3,1 ]
9	P 9	Q 9 = q [4,3 6 , 4]	R 9 = [4,3 6 , 4]	S 9 = h [4,3 6 , 4]	T 9 = [3 5,2,1 ]
10	P 10	Q 10 = q [4,3 7 , 4]	R 10 = [4,3 7 , 4]	S 10 = h [4,3 7 , 4]
11	...	...	...	...

(Nota: también se dan nombres alternativos, como grupos de Lie simples).

P n es un grupo cíclico (también llamado ~ A n-1 ).
Q n (también llamado ~ D n-1 )
R n forma la familia de teselación regular del hipercubo {4,3, ....} (también llamado ~ B n-1 ).
S n forma la familia de mosaicos alternos hipercúbicos (también llamada ~ C n-1 ).
T 7 , T 8 , T 9 son los detalles de Gosset (también llamados ~ E 6 , ~ E 7 , ~ E 7 ).
U 5 es el mosaico regular de 24 celdas {3,4,3,3} (también llamado ~ F 4 ).
V 3 es el mosaico hexagonal (también llamado ~ H 2 ).
W 2 está formado por dos espejos paralelos (también llamados ~ I 1 ).

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Diagrama de Coxeter - Dynkin ” ( ver lista de autores ) .
(en) Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience, 1995 ( ISBN 978-0-471-01003-6 ) , artículo 17 : La evolución de los diagramas de Coxeter-Dynkin , [Nieuwbrooke voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
(en) HSM Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover, 1999 ( ISBN 978-0-486-40919-1 ) (Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes)
(in) HSM Coxeter, Regular polytopes (Macmillan, 1963), 3 e ed, Dover.1973 ( ISBN 0-486-61480-8 ) (Capítulo 5: El caleidoscopio y Sección 11.3 Representación mediante gráficos)

Ver también

Enlace externo

(en) [PDF] Politopos regulares, celosías de raíces y cuasicristales , R. Bruce King