Símbolo de Schläfli

En matemáticas , el símbolo de Schläfli es una notación de la forma {p, q, r,…} que permite definir poliedros y teselaciones regulares . Esta notación ofrece un resumen de algunas propiedades importantes de un politopo regular particular.

El símbolo de Schläfli fue nombrado en honor del matemático del XIX °  siglo Ludwig Schläfli que hizo contribuciones importantes en la geometría y en otras áreas.

Polígonos regulares (plano)

El símbolo de Schläfli para un polígono regular convexo con n lados es { n }. Por ejemplo, un pentágono regular está representado por {5}.

Para representar polígonos en estrella , se utilizan fracciones. Así, el pentagrama , que es el pentágono estrella, está representado por {5/2}, lo que significa que este polígono tiene 5 aristas y que cada una de estas aristas conecta los vértices de los números s y s + 2. Así, la primera arista conecta el primero y el tercer vértice, el segundo el tercero y el quinto ...

Poliedros regulares (3 espacios)

El símbolo de Schläfli de un poliedro regular es { p , q } si sus caras son p -gones, y cada vértice está rodeado por q caras (la figura del vértice es un q -gone).

Por ejemplo, {5.3} es el dodecaedro regular. Tiene caras pentagonales y tres pentágonos alrededor de cada vértice.

Vea los 5 sólidos de Platón , los 4 sólidos de Kepler-Poinsot .

Los símbolos de Schläfli también se pueden definir para mosaicos regulares de espacios euclidianos o hiperbólicos de manera similar.

Por ejemplo, la teselación hexagonal está representada por {6.3}. De hecho, está formado por hexágonos y cada uno de los vértices está rodeado por otros tres.

Policores regulares (4 espacios)

El símbolo de Schläfli para un policoro regular tiene la forma { p , q , r }. Tiene caras poligonales regulares { p }, celdas { p , q }, figuras de vértices poliédricos regulares { q , r } y figuras de aristas poligonales regulares { r }.

Vea los seis policori convexos regulares y los diez no convexos .

Por ejemplo, las 120 celdas están representadas por {5,3,3}. Está construido por {5.3} celdas dodecaédricas y tiene 3 celdas alrededor de cada borde.

También hay una teselación regular de 3 espacios euclidianos: el panal cúbico  (en) , con un símbolo de Schläfli de {4,3,4}, hecho de celdas cúbicas, y 4 cubos alrededor de cada borde.

También hay cuatro mosaicos regulares que incluyen el hiperbólico {5,3,4}, el dodecaédrico en forma de panal de orden 4  (en) , que llena el espacio con células dodecaédricas .

Mayores dimensiones

Para politopos de dimensiones superiores, el símbolo de Schläfli se define de forma recursiva como: si las facetas tienen un símbolo Schläfli y la parte superior de las figuras  : . {pag1,pag2,...,pagno-1}{\ Displaystyle \ {p_ {1}, p_ {2}, ..., p_ {n-1} \}}{pag1,pag2,...,pagno-2}{\ Displaystyle \ {p_ {1}, p_ {2}, ..., p_ {n-2} \}}{pag2,pag3,...,pagno-1}{\ Displaystyle \ {p_ {2}, p_ {3}, ..., p_ {n-1} \}}

Solo hay 3 politopos regulares en 5 dimensiones y superiores: el simplex , {3, 3, 3,…, 3}; el hiperoctaedro , {3, 3,…, 3, 4}; y el hipercubo , {4, 3, 3,…, 3}. No hay politopos regulares no convexos por encima de 4 dimensiones.

Para la dimensión 2 o superior, cada politopo tiene un doble .

Si un politopo tiene un símbolo de Schläfli, entonces su dual tiene un símbolo de Schläfli . {pag1,pag2,pag3,...,pagno-1}{\ Displaystyle \ {p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, ..., p_ {n-1} \}}{pagno-1,...,pag3,pag2,pag1}{\ Displaystyle \ {p_ {n-1}, ..., p_ {3}, p_ {2}, p_ {1} \}}

Si la secuencia es la misma a la izquierda y a la derecha, el politopo es auto-dual . Cada politopo (polígono) bidimensional regular es autodual, cada simplex es autodual, cada pirámide tridimensional es autodual y las 24 celdas son autodual.

Formas prismáticas

Los politopos prismáticos se pueden definir y nombrar como un producto cartesiano de politopos de dimensiones más pequeñas:

• Un prisma p -gonal, con una figura de vértice p.4.4 como .{ }×{pag}{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ \ end {Bmatrix}} \ times {\ begin {Bmatrix} p \ end {Bmatrix}}}
• Un uniforme hiperprisme {p, q} -èdrique like .{ }×{pag,q}{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ \ end {Bmatrix}} \ times {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}
• Un duoprisma uniforme pq como .{pag}×{q}{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ end {Bmatrix}} \ times {\ begin {Bmatrix} q \ end {Bmatrix}}}

Un prisma también se puede representar como el truncamiento de una hosoedron  (in) como . t{2,pag}{\ Displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 2, p \ end {Bmatrix}}}

Los politopos uniformes  (en) , construidos a partir de una construcción Wythoff, se representan mediante una clasificación de extensión de truncamiento de una forma regular {p, q, ...}. Hay una serie de formas simbólicas paralelas que hacen referencia a los elementos del símbolo Schläfli , que se analizan por dimensiones a continuación.

Los poliedros uniformes y los mosaicos

Para los poliedros, se utiliza un símbolo de Schläfli extendido en el artículo enumerativo de 1954 de Coxeter titulado Poliedros uniformes .

Cada poliedro regular o teselación {p, q} tiene 7 formas, incluida la forma regular y su dual, correspondientes a las posiciones en el triángulo rectángulo fundamental. Una octava forma especial, las suavizadas , corresponden a una alternancia  (in) de la forma omnitronizada.

Por ejemplo, t {3.3} simplemente significa un tetraedro truncado .

Una segunda notación más general, también utilizada por Coxeter, se aplica a todas las dimensiones y se especifica mediante una t seguida de una lista de índices correspondientes a los espejos de construcción Wythoff (también corresponden a los nudos anillados en un diagrama de Coxeter-Dynkin ).

Por ejemplo, el cubo truncado puede representarse por t 0.1 {4.3} y puede verse como a medio camino entre el cubo , t 0 {4.3} y el cuboctaedro , t 1 {4.3}.

En cada uno, se da primero un nombre que designa la operación de la construcción Wythoff. En segundo lugar, algunos tienen terminología alternativa (entre paréntesis) que solo se aplica a una dimensión determinada. Precisamente, omnitroncature  (en) y desarrollo  (en) , las relaciones duales se aplican de manera diferente en cada dimensión.

Cirugía	Símbolos de Schläfli extendidos		Diagrama de Coxeter- Dynkin	Símbolo de Wythoff
Padre	{pag,q}{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}	t 0 {p, q}		q | 2 p
Rectificado  ( cuasi-regular)	{pagq}{\ Displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}	t 1 {p, q}		2 | pq
Birectificado (o dual )	{q,pag}{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}	t 2 {p, q}		p | 2 q
Truncado  (en)	t{pag,q}{\ Displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}	t 0,1 {p, q}		2 q | pag
Bitronqué  ( o doble truncado)	t{q,pag}{\ Displaystyle t {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}	t 1,2 {p, q}		2 p | q
Biselado  (en) (o desarrollado  (en) )	r{pagq}{\ Displaystyle r {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}	t 0.2 {p, q}		pq | 2
Truncado-ahusado (u omnitronqué  ( pulg ) )	t{pagq}{\ Displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}	t 0,1,2 {p, q}		2 pk |
Suavizado  (en)	s{pagq}{\ Displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}	s {p, q}		| Paquete de 2

Policoros y panales uniformes

Hay como máximo 15 formas truncadas para policorores y panales basados ​​en cada forma regular {p, q, r}.

Ver los artículos alveolar uniformes policoricos y convexos  (en) .

La notación con la t en el índice es paralela al diagrama gráfico de Coxeter-Dynkin , cada nodo gráfico del cual representa los 4 hiperplanos de reflejos de espejo en el dominio fundamental .

Cirugía	Símbolos de Schläfli extendidos	Diagrama de Coxeter- Dynkin
Padre	t 0 {p, q, r}
Corregido  (en)	t 1 {p, q, r}
Birectificado (o doble rectificado)	t 2 {p, q, r}
Trirectificado (o dual )	t 3 {p, q, r}
Truncado  (en)	t 0,1 {p, q, r}
Bitronqué  (en)	t 1,2 {p, q, r}
Tritronqué (o doble truncado)	t 2,3 {p, q, r}
Biselado  (en)	t 0.2 {p, q, r}
Biselado (o biselado doble)	t 1,3 {p, q, r}
Desarrollado  (en)	t 0.3 {p, q, r}
Biselado-truncado	t 0,1,2 {p, q, r}
Bi-biselado-truncado (o doble biselado-truncado)	t 1,2,3 {p, q, r}
Desarrollado	t 0,1,3 {p, q, r}
Desarrollado-biselado (o desarrollado dual-truncado)	t 0,2,3 {p, q, r}
Desarrollado-biselado-truncado (u omnitronqué  (en) )	t 0,1,2,3 {p, q, r}

Referencias

• (fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Símbolo de Schläfli  " ( consulte la lista de autores ) .
• (es) Harold Scott MacDonald Coxeter , La belleza de la geometría: Doce ensayos , Dover ,1999, 288  p. ( ISBN  978-0-486-40919-1 , leer en línea ) , cap.  3 ("  Construcción de Wythoff para politopos uniformes  ") , pág.  41-53
• (en) Harold Scott MacDonald Coxeter , Regular Polytopes , Methuen and Co.,1948, p.  14, 69, 149
• (en) Harold Scott MacDonald Coxeter , Hugh Longuet-Higgins y Jeffrey Charles Percy Miller , “  Poliedros uniformes  ” , Transacciones filosóficas de la Royal Society A: Ciencias físicas, matemáticas y de ingeniería , Londres, vol.  246,1954, p.  401-450 Notación de Schläfli extendida definida: Tabla 1 , p 403
• (en) NW Johnson , Politopos uniformes , manuscrito, 1991
• (en) NW Johnson, The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966