Pavimentación de esferas
Una teselación de la esfera es un conjunto de porciones de la superficie de una esfera cuya unión es la esfera completa, sin superposición. En la práctica, nos interesan especialmente las teselaciones realizadas con polígonos esféricos (porciones de superficie delimitadas por arcos de un gran círculo ), denominados poliedros esféricos .
Los más conocidos son el pavimento del fútbol , que puede equivaler a un icosaedro truncado y la pelota de playa , similar a un hosoèdre (en) . Otro mosaico muy conocido es el delimitado por meridianos y paralelos , pero no solo utiliza grandes arcos circulares.
Colorante
Una pregunta aparentemente inocua se refiere al número de colores necesarios para colorear las diferentes partes de la superficie (o regiones ), de modo que dos regiones limítrofes (es decir, que tienen un borde común) no reciben el mismo color. Se sabe desde hace mucho tiempo que en la práctica cuatro colores son suficientes, pero es una conjetura enunciada en 1852 que no se demostró hasta 1976 ( teorema de los cuatro colores ).
Pavimentos generados por poliedros regulares o semi-regulares
Podemos preparar la esfera mediante la proyección de su centro cualquier regulares o semi-regular poliedro (o su doble ) con el mismo centro. Cada uno de estos poliedros esféricos se puede caracterizar por su símbolo Schläfli o por su figura de vértice .
| Símbolo de Schläfli | {p, q} | t {p, q} | r {p, q} | t {q, p} | {q, p} | rr {p, q} | tr {p, q} | sr {p, q} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Figura de la cumbre | p q | q.2p.2p | pqpq | pag. 2q.2q | q p | q.4.p. 4 | 4.2q.2p | 3.3.q.3.p |
| Tetraédrico (3 3 2) |
 3 3 |
 3.6.6 |
 3.3.3.3 |
 3.6.6 |
 3 3 |
 3.4.3.4 |
 4.6.6 |
 3.3.3.3.3 |
 V3.6.6 |
 V3.3.3.3 |
V3.6.6 |
 V3.4.3.4 |
 V4.6.6 |
 V3.3.3.3.3 |
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| Octaédrico (4 3 2) |
 4 3 |
 3.8.8 |
 3.4.3.4 |
 4.6.6 |
 3 4 |
 3.4.4.4 |
 4.6.8 |
 3.3.3.3.4 |
 V3.8.8 |
V3.4.3.4 |
V4.6.6 |
 V3.4.4.4 |
 V4.6.8 |
 V3.3.3.3.4 |
|||
| Icosaédrico (5 3 2) |
5 3 |
 3.10.10 |
 3.5.3.5 |
 5.6.6 |
 3 5 |
 3.4.5.4 |
 4.6.10 |
 3.3.3.3.5 |
 V3.10.10 |
 V3.5.3.5 |
 V5.6.6 |
 V3.4.5.4 |
 V4.6.10 |
 V3.3.3.3.5 |
|||
Ejemplo diedro p = 6 (2 2 6) |
 6 2 (en) |
 2.12.12 ( pulgadas ) |
2.6.2.6 ( pulgadas ) |
 6.4.4 |
 2 6 (en) |
 4.6.4 |
 4.4.12 |
 3.3.3.6 |
| Clase | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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Prisma (2 2 p) |
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Bipirámide (2 2 p) |
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| Antiprisma |
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| Trapezoedro |
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Casos degenerados
También puede allanar la esfera por poliedros degenerada esférica tal como hosoèdres (en) ( símbolo de Schläfli : ) y diedro esférica (en) regular ( ).
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| Schläfli | {2.1} | {2.2} | {2.3} | {2.4} | {2.5} | {2.6} | {2.7} | {2.8} ... |
| Coxeter |
  
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| Caras y aristas |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Vértices | 2 | |||||||
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| Schläfli | h {2,2} = {1,2} | {2.2} | {3.2} | {4.2} | {5.2} | {6.2} ... |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Coxeter |
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| Caras | 2 {1} | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} |
| Aristas y vértices |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Correspondencia con el mosaico del plano proyectivo.
Los poliedros esféricos que tienen al menos una simetría de inversión están relacionados con los poliedros proyectivos (en) , que permiten el mosaico del plano proyectivo .
Los poliedros proyectivos más conocidos son los poliedros proyectivos regulares (cocientes de sólidos platónicos a simétricos centralmente ) y dos clases interminables diédricas esféricas (en) pares y hosohèdres (en) :
- el hemicubo (en) , {4.3} / 2;
- el hemioctaedro (en) , {3,4} / 2;
- hemidodecaedro (en) , {5.3} / 2;
- el hemi-icosaedro (en) , {3.5} / 2;
- el hemidedro, {2p, 2} / 2, p ≥ 1 ;
- el hemihosaedro, {2,2p} / 2, p ≥ 1 .
Pavimentación por cuadriláteros curvilíneos
La esfera puede estar pavimentada con cuadriláteros curvilíneos cortados por dos familias de curvas, en particular dos familias ortogonales (cada curva de la primera familia se cruza con las de la segunda en ángulo recto ) o más generalmente isogonal (el ángulo de intersección de las curvas de la dos familias es constante).
El más utilizado de estos mosaicos es el formado por meridianos y paralelos , que también se puede aplicar a cualquier superficie de revolución ( elipsoide , toro , etc. ). En planetología, los cuadriláteros del pavimento se denominan cuadriláteros .
Cuando se ha definido un potencial (donde θ y φ son la colatitud y la longitud ) en la esfera, los equipotenciales y las líneas de campo constituyen dos familias ortogonales que pueden utilizarse para pavimentar la esfera.
Notas y referencias
- (fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Poliedro esférico " ( ver la lista de autores ) .
Notas
- La cuestión de la coloración es la misma para la esfera que para el plano . Esto se puede ver quitando de la esfera un punto dentro de una de las regiones y realizando una proyección estereográfica desde este punto .
- La pavimentación de la Tierra por los meridianos y paralelos es un caso particular, tomando como potencial (las líneas de campo son los meridianos, orientados desde el Polo Norte hasta el Polo Sur ). Si tomamos como potencial el potencial escalar del campo magnético terrestre , las líneas del campo están en todas partes paralelas a la componente horizontal del campo magnético . Siendo el campo terrestre solo muy aproximadamente dipolar , las curvas de las dos familias no son circulares.
Referencias
- Peter McMullen (en) y Egon Schulte, "6C. Politopos regulares proyectivos ” , en Politopos regulares abstractos , Cambridge University Press ,diciembre de 2002, 1 st ed. , 162-165 pág. ( ISBN 0-521-81496-0 , leer en línea ).
- Coxeter , "21.3 Mapas regulares" , en Introducción a la geometría ,1969, 2 nd ed. , 386-388 pág..