Proyección estereográfica

En geometría y cartografía , la proyección estereográfica es una proyección cartográfica azimutal que permite representar la esfera privada de un punto en un plano .

A menudo se acepta que el punto del que se priva a la esfera será uno de sus polos; el plano de proyección puede ser el que separa los dos hemisferios, norte y sur, de la esfera, que se denomina plano ecuatorial. También podemos realizar una proyección estereográfica en cualquier plano paralelo al plano ecuatorial siempre que no contenga el punto del que hemos privado la esfera.

Sea S el punto ubicado en el polo sur de la esfera a proyectar. La imagen Z ' de un punto Z de esta esfera estará definida por la intersección entre el plano ecuatorial y la recta (SZ) . (Esta proyección equivale a observar la esfera desde el polo sur).

Dos propiedades importantes:

• cualquier círculo de la esfera, excepto los que pasan por el polo sur, se transformará en otro círculo en el plano ecuatorial;
• los ángulos se conservan durante el procesamiento ( conforme ).

Notas:

• el ecuador permanece en sí mismo durante esta transformación;
• un punto del hemisferio norte se proyectará dentro del ecuador (por ejemplo, en nuestra figura, H2 se convierte en H2 ' ), un punto del hemisferio sur en el exterior ( H1 se convierte en H1' );
• para dibujar un círculo proyectado, es suficiente encontrar dos puntos que definan un diámetro;
• se puede definir de manera similar una proyección a partir del polo norte, como se muestra en la segunda figura.

La proyección estereográfica se utilizó en el diseño de astrolabios árabes en la época medieval. Se utiliza mucho en cristalografía para estudiar la simetría morfológica de los cristales y, en particular, para representar formas cristalinas , como en la tercera figura se da un ejemplo.

Las matemáticas de la proyección estereográfica

Aspecto geométrico

Una esfera de dimensión n es el conjunto de puntos del espacio de dimensión n + 1 ubicados a una distancia r del centro de la esfera. Si no especificamos el tipo de distancia, usamos la distancia euclidiana de dos puntos, de vectores de coordenadas u y v , distancia dada por la norma euclidiana del vector v - u  :

|v-tu|=(∑j=1no+1|tuj-vj|2)1/2{\ Displaystyle | vu | = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n + 1} | u_ {j} -v_ {j} | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}

La proyección estereográfica permite definir un homeomorfismo entre una esfera n- dimensional privada de un punto y el espacio n- dimensional . La siguiente presentación es válida en cualquier dimensión n ≥ 1 , pero el caso particular de una esfera ordinaria se puede leer sin más modificación que reemplazar la palabra “hiperplano” por la palabra “plano” en lo que sigue.

Geométricamente, denotemos por N (como Norte) el punto particular del que vamos a privar a la esfera. O Π un hiperplano perpendicular al radio determinado por N . Supondremos que este hiperplano plano no es el plano tangente en N a la esfera.

Sea x ≠ N un punto de la esfera. Denote por D la línea determinada por x y N  ; esta recta nunca es paralela al plano Π , porque solo las rectas tangentes a la esfera en N son paralelas a Π . En particular, D no está completamente contenido en Π . Por tanto, existe un punto único de intersección de D con Π . Este punto es la imagen de x por proyección estereográfica. Por el contrario, si X es un punto del plano Π , dado que este plano no pasa por N , la línea determinada por X y N corta la esfera en N y en otro punto x , que es la imagen recíproca de X por proyección estereográfica.

A fin de comprender visualmente lo que está sucediendo, nos damos cuenta de que toda la construcción tiene lugar en el hiperplano de dimensión n - 1 determinado por el centro de la esfera, N y X (o X ). Nos referiremos a la figura realizada en dimensión n = 3 , en este hiperplano (por lo tanto un plano, aquí) para ver correctamente la construcción.

Aspecto analítico

Desde el punto de vista analítico, el cálculo se simplifica fijando el origen de las coordenadas en el centro de la esfera, el polo norte en el eje de coordenadas n + 1 -ésimo y el radio de la esfera igual a la unidad. Las dos primeras opciones son simplemente una opción de referencia. La última es una opción de unidad de longitud. Si no se desea cambiar este último, se puede practicar una homotecia en las fórmulas siguientes, para tratar el caso de una esfera de cualquier radio r .

Con estas opciones, la esfera unitaria S n de está definida por: Rno+1{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}

Sno={X=(X1,...,Xno,Xno+1):∑j=1no+1|Xj|2=1}.{\ Displaystyle S ^ {n} = \ left \ lbrace x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}): \ sum _ {j = 1} ^ {n + 1 } \ left | x_ {j} \ right | ^ {2} = 1 \ right \ rbrace.}

Sea y = ( x 1 , ..., x n ), s = x n +1 . El punto N tiene por coordenadas y s = 1 . El hiperplano Π tiene la ecuación s = h . Los puntos de Π tendrán como coordenada actual ( ξ , h ) , con . y=0∈Rno{\ Displaystyle y = 0 \ in \ mathbb {R} ^ {n}}ξ∈Rno{\ Displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

Geométricamente, ( y , s - 1) y ( ξ , h - 1) son distintos de cero y colineales . Por tanto, hay un escalar λ distinto de cero tal que

y=λξ,s-1=λ(h-1).{\ Displaystyle y = \ lambda \ xi, \ quad s-1 = \ lambda (h-1).}

Si nos damos a nosotros mismos ( y , s ) en S n , sustituimos y por λξ y S por 1 + λ ( h - 1) en la relación definición | y | 2 + | s | 2 = 1 . Un breve cálculo da, después de la división por λ ≠ 0 , la relación

λ=2(1-h)|ξ|2+(1-h)2.{\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {2 (1-h)} {| \ xi | ^ {2} + (1-h) ^ {2}}}.}

La elección h ≠ 1 asegura que λ esté siempre bien definido. El valor de y y s como una función de ξ es por lo tanto

y=2(1-h)ξ|ξ|2+(1-h)2,s=|ξ|2-(1-h)2|ξ|2+(1-h)2.{\ Displaystyle y = {\ frac {2 (1-h) \ xi} {| \ xi | ^ {2} + (1-h) ^ {2}}}, \ quad s = {\ frac {| \ xi | ^ {2} - (1-h) ^ {2}} {| \ xi | ^ {2} + (1-h) ^ {2}}}.}

Por el contrario, si se dan y y s , tendremos

λ=s-1h-1,ξ=(h-1)ys-1.{\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {s-1} {h-1}}, \ quad \ xi = {\ frac {(h-1) y} {s-1}}.}

La imagen por proyección estereográfica de un gran círculo que pasa por N es una línea que pasa por el punto (0, h ) . La imagen de cualquier círculo dibujado en la esfera y que pasa por N es la línea formada por la intersección de Π con el plano determinado por el círculo. La imagen de un círculo que no pasa por N es un círculo del hiperplano Π .

Transformación compatible

Una proyección estereográfica es una transformación conforme  : el ángulo entre dos líneas rectas tangentes en el mismo punto a la esfera es el mismo que el ángulo entre su proyección. Para ver esto, basta comprobar que la matriz jacobiana de la proyección estereográfica es la de una semejanza .

También podemos hacer una demostración geométrica. Sea M un punto de la esfera distinto del polo norte N y sean dos líneas rectas tangentes a la esfera en M. Sean los dos planos que pasan por N y M, y contengan respectivamente cada una de las dos líneas. Las intersecciones de estos planos con el plano de proyección son las imágenes por proyección de las dos rectas tangentes en M. Además, estos dos planos recortan en la esfera dos círculos que tienen la cuerda [NM] en común y tangentes a las dos rectas iniciales . Considere las tangentes en N a cada uno de estos dos círculos. Están contenidos en cada uno de los dos planos y son paralelos al plano de proyección. Por tanto, son paralelas a las proyecciones de las dos rectas tangentes en M. El ángulo que forman es, por tanto, igual al ángulo entre las dos proyecciones. Pero además, debido a la simetría de los dos círculos con respecto al plano mediador de [MN], N y las dos tangentes en N son simétricas con M y tangentes en M con respecto a este plano mediador, por lo tanto el ángulo entre las tangentes en M es igual al entre las tangentes en N. Por lo tanto, el ángulo entre las dos tangentes en M es el mismo que entre sus proyecciones.

Imagen de círculos

Cualquier círculo es transformado por la proyección estereográfica en un círculo del plano de proyección (o un segmento de línea si el polo N de la proyección está en el plano del círculo y este último no es paralelo al plano de proyección, o bien un vacío establecer si el plano del círculo es paralelo pero distinto del plano de proyección; si el plano del círculo y el plano de proyección son idénticos, la proyección mantiene este círculo).

Para el caso más frecuente en el que el plano del círculo es distinto del plano de proyección, considere el cono tangente a la esfera a lo largo del círculo (C) que se proyectará. Sea P su vértice y P 'su imagen por la proyección estereográfica. Entonces (C) se proyectará en un círculo (C ') con centro P'. En efecto, la imagen de cualquier generatriz del cono es la intersección del plano que lo contiene y que pasa por N, con el plano de proyección. Por tanto, es una línea recta que pasa por P '. Además, el generador se cruza (C) en ángulos rectos y, siendo la proyección estereográfica conforme, su imagen se cruza (C ') también en ángulos rectos. (C ') es, por tanto, una curva que corta cualquier línea recta resultante de P' en ángulo recto. Es un círculo con centro P '.

Generalización

Podemos definir la proyección estereográfica de cualquier esfera “redondeada” sobre un plano: si la bola unitaria para una norma de es estrictamente convexa , es decir si el borde de esta bola unitaria no contiene ningún segmento de derecho, entonces el mismo La construcción aún funciona, pero el resultado puede depender fuertemente de la elección del punto N , ya que dicha esfera no es isótropa , es decir invariante por rotaciones del espacio de dimensión n + 1 , eso si es euclidiana. Rno+1{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}

La figura muestra algunos "círculos" unitarios para el estándar

|X|pag=(|X1|pag+|X2|pag)1/pag,{\ Displaystyle | x | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p},}

para p estrictamente entre 1 e infinito. Para p = 1 y para p = ∞ , el círculo unitario relacionado con estas normas no está lo suficientemente redondeado para asegurar la unicidad de la proyección estereográfica, o su existencia.

Proyección estereográfica en cristalografía

La proyección estereográfica se utiliza para representar las formas cristalinas de los cristales, sus grupos de simetría puntual , así como la orientación preferida de los policristales . El centro del cristal estudiado se coloca en el centro de una esfera imaginaria. Es la intersección con esta esfera de los elementos de simetría del cristal o de las normales a sus caras lo que se proyecta sobre el plano ecuatorial durante la proyección estereográfica.

Usamos para la representación un ábaco de Wulff (llamado así por George Wulff ) provisto de un sistema de coordenadas, en el centro del cual se coloca el cristal. La elección del sistema de coordenadas depende de la simetría del cristal y, en particular, de sus direcciones de simetría . Los vectores base del sistema de coordenadas en el plano ecuatorial están representados por marcas fuera del círculo de proyección. La dirección de mayor simetría se elige generalmente como la dirección norte-sur. Por ejemplo, en el sistema de cristal cuadrático, la dirección [001] se elige perpendicular al plano de proyección.

Proyección de elementos de simetría

Para la representación gráfica de grupos de simetría de puntos, el punto en la intersección de los elementos de simetría se coloca en el centro de la esfera. En algunos casos, no existe tal punto o hay infinidad de ellos: estos son los grupos 1, 2, m , mm 2, 4, 4 mm , 3, 3 m , 6 y 6 mm . Entonces, generalmente se elige el eje de mayor simetría o la línea de intersección de los elementos de simetría como la dirección norte-sur de la esfera.

Los elementos de simetría en grupos de puntos son de tres tipos: planos de reflexión , ejes de rotación y ejes de roto-inversión . Cada elemento de simetría pasa por el centro de la esfera.

Para los planos espejo, la intersección de un plano con una esfera es un círculo, surgen tres casos:

• el plano del espejo es paralelo al plano ecuatorial, su proyección estereográfica es el gran círculo exterior que se muestra en azul en la figura del grupo 4 / mmm a continuación;
• el plano del espejo es perpendicular al plano ecuatorial, su proyección es un segmento  ;
• el plano del espejo no es ni paralelo ni perpendicular al plano ecuatorial, su proyección consta de dos arcos de un círculo de la misma longitud y de extremos comunes en el gran círculo ("gran círculo interior"), dibujado en azul en la representación del grupo m 3 m abajo.

La intersección de un eje de simetría con la esfera produce dos puntos diametralmente opuestos, la proyección estereográfica de un eje de simetría consta por tanto de dos puntos. Los ejes de simetría están representados por símbolos definidos en las tablas internacionales de cristalografía .

• Si el eje es perpendicular al plano ecuatorial, los dos puntos se fusionan en el centro del círculo de proyección (los ejes 4 y 4 se muestran en rojo en las figuras de los grupos 4 / mmm y 4 2 m a continuación).
• Si el eje es paralelo al plano ecuatorial, los dos puntos están diametralmente opuestos en el círculo exterior grande (ejes 2 del grupo 4 2 m en la figura siguiente).
• Si el eje no es paralelo ni perpendicular al plano ecuatorial, los dos puntos están dentro del círculo de proyección y simétricos con respecto al centro del círculo (ejes 3 del grupo m 3 m ).

• Grupo 4 / mmm
• Grupo 4 2 m
• Grupo m 3 m

Representación de formas cristalinas

Las caras de las formas de cristal están representadas por sus normales. Solo consideramos la intersección de la normal con la esfera más cercana a la cara considerada. Esta intersección se llama "polo de la cara". Si un polo está ubicado en el hemisferio norte de la esfera, se representa con una cruz, de lo contrario, con un círculo. La distinción entre hemisferios no se hace para la representación de elementos de simetría.

Las figuras siguientes muestran un tetraedro y su proyección estereográfica con los elementos de simetría de su grupo, 4 3 m . Las normales de sus caras coinciden con los ejes de rotación de orden 3.

Fotografía

Para la representación plana de fotografías de gran angular o incluso panorámicas , la proyección estereográfica a menudo se prefiere a otras proyecciones azimutales por su conformidad  : sin distorsión local.

• Proyección equirrectangular

• Proyección estereográfica

Notas y referencias

1. Dandelin, Gergonne, Usos de proyección estereográfica en la geometría , Anales de la matemática pura y aplicada, volumen 16 (1825-1826), p. 322-327.
2. (in) Tablas internacionales de cristalografía , vol.  R: Simetría de grupo espacial , Th. Hahn , Kluwer Academic Publishers,2005( Repr.  Corregido), 5 ª  ed. ( ISBN  978-0-470-68908-0 ) , cap.  1.4 (“Símbolos gráficos para elementos de simetría en una, dos y tres dimensiones”) , pág.  9

Ver también

Las otras tres proyecciones azimutales principales:

• Proyección ortográfica
• Proyección equivalente azimutal de Lambert
• Proyección gnomónica

Artículos relacionados

• Figura de poste
• Proyección cartográfica

enlaces externos

• Vídeo educativo extraído de una serie de 9 episodios sobre la representación de dimensiones en el espacio
• Animación de la American Mathematical Society que muestra de forma estética un retrato de Bernhard Riemann moviéndose sobre una esfera y proyectado estereográficamente al mismo tiempo sobre un plano.
• Dandelin, Gergonne, Usos de la proyección estereográfica en geometría , Anales de matemáticas puras y aplicadas, volumen 16 (1825-1826), p. 322-327.