Desarrollo limitado

En physique et en mathématiques , un développement limité (noté DL ) d'une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la suma :

de una función polinomial , y
un resto insignificante en las proximidades del punto considerado.

En física, es común confundir la función con su desarrollo limitado, siempre que el error (es decir, el resto) así cometido sea menor que el error permitido. Si estamos satisfechos con una expansión de orden uno, hablamos de una aproximación lineal o una aproximación afín.

En matemáticas, los desarrollos limitados permiten encontrar de manera más simple los límites de funciones, calcular derivadas , probar que una función es integrable o no, o estudiar las posiciones de las curvas con respecto a las tangentes .

Definiciones

Let $f$ una función real definida en un intervalo $I$ , y $x 0 \in I$ . Decimos que $f$ admite una expansión limitada de orden n (abreviado como DL n ) en $x 0$ , si existen $n + 1$ números reales $a 0 , a 1 , ..., a n$ tal que la función definida por: ${\ Displaystyle R: I \ to \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle f (x) = a_ {0} + a_ {1} (x-x_ {0}) + a_ {2} (x-x_ {0}) ^ {2} + ... + a_ {n } (x-x_ {0}) ^ {n} + R (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + R ( X)}

verifica:

R ( x )

tiende a

0

cuando

x

tiende

ax 0

, y este "más rápido" que el último término de la suma, es decir que:

\ lim _ {{x \ rightarrow x_ {0}}} {\ frac {R (x)} {(x-x_ {0}) ^ {n}}} = 0.

Las funciones $R que$ verifican esto se denotan $o (( x - x 0 ) n )$ (ver el artículo “ Comparación asintótica ”, y más precisamente la familia de notaciones de Landau ). Por tanto escribimos:

f (x) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n} ).

Es común escribir una expansión limitada estableciendo $x = x 0 + h$ :

f (x_ {0} + h) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} h ^ {i} + o (h ^ {n}).

Consecuencias inmediatas

Si $f$ admite un DL 0 en $x 0$ , entonces $un 0 = f ( x 0 )$ .
Si $f$ admite un DL n en $x 0$ , entonces admite un DL k en $x 0$ para cualquier entero k < n .
Una condición necesaria y suficiente para que $f$ admita un DL n en $x 0$ es la existencia de un polinomio $P$ tal que $f ( x ) = P ( x ) + o (( x - x 0 ) n )$ . Si hay una tal polinomio $P$ , entonces hay una infinidad de otros, pero sólo una de ellas es de grado menor o igual a $n$ : el resto de la división euclidiana de $P ( X )$ por $( X - x 0 ) n +1$ . Se llama parte regular , o parte principal , del DL n de $f$ en $x 0$ . A veces identificamos, por abuso de lenguaje, la DL n con su parte regular.

Operaciones en desarrollos limitados

Suma Si f y g admiten dos DL n en

x 0

, entonces f + g admiten un DL n en

x 0

, cuya parte regular se obtiene sumando las dos partes regulares del DL n de f y g . Multiplicación por un escalar Si f admite una DL n en

x 0

, entonces λ f admite una DL n en

x 0

, cuya parte regular se obtiene multiplicando la parte regular de la DL n de f por λ. Producto Si f y g admiten dos DL n en

x 0

, de las respectivas partes regulares P y Q , entonces fg y PQ admiten un DL n en

x 0

, de la misma parte regular. Si

x 0

= 0, esta parte regular es el resto de la división euclidiana de PQ por X n +1 . Contrarrestar Si u (

x 0

) = 0 y si u admite un DL n en

x 0

, entonces

1 / 1 - u

admite un DL n . La parte regular de esta expansión limitada es la DL n de en

x

0

\ sum _ {{k = 0}} ^ {n} u ^ {k}

Cociente Podemos combinar el producto y el inverso, o dividir según las potencias crecientes de la parte regular del numerador por la del denominador. Composición Si u admite un DL n en

x 0

de la parte regular P y si v admite un DL n en u (

x 0

) de la parte regular Q , entonces v ∘ u y Q ∘ P tienen un DL n en

x 0

, del mismo parte regular. "Integración" Si f admite un DL n en

x 0

, entonces cualquier primitiva F de f admite un DL n + 1 en

x

0

que es

{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n })}

{\ Displaystyle F (x) = F (x_ {0}) + \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {i}} {i + 1}} (x-x_ {0} ) ^ {i + 1} + o ((x-x_ {0}) ^ {n + 1}).}

Derivación No existe un teorema general sobre la existencia de un DL n en

x 0

para la derivada de una función que admite un DL n + 1 en

x 0

. Por ejemplo, en

0

, la función x ↦ x 3 sin (1 / x ) - extendida por

0 \mapsto 0

- admite un DL 2 (es

0 + o ( x 2 )

) pero su derivada no admite un DL 1 . Por otro lado, como ya se dijo, si

F '

admite una DL n en

x 0

, entonces la parte regular de esta DL es la derivada de la parte regular de la DL n + 1 de F en

x 0

Desarrollo limitado y funciones derivables

El teorema de Taylor - Young asegura que una función $f$ diferenciable $n$ veces en el punto $x 0$ (con ) admite un DL n en este punto: ${\ Displaystyle ne \ geq 1}$ ${\ Displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + {\ frac {f' '(x_ {0})} {2! }} (x-x_ {0}) ^ {2} + \ dots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} + o ((x-x_ {0}) ^ {n})}$ ya sea en escritura abreviada $f (x) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} {\ frac {f ^ {{(i)}} (x_ {0})} {i!}} (x-x_ {0 }) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n})$ .

Lo demostramos por inducción en n , gracias al teorema anterior de "integración" término a término de una DL.

La existencia de un DL 0 en $x 0 es$ equivalente a la continuidad en $x 0$ , y la existencia de un DL 1 en $x 0 es$ equivalente a la diferenciabilidad en $x 0$ . Por otro lado, para , la existencia de un DL n en $x$ $0$ no implica que la función sea diferenciable veces en $x$ $0$ (por ejemplo x ↦ x 3 sin (1 / x ) - prolongada por continuidad en $0$ - admitir, en $0$ , un DL 2 pero sin segunda derivada). $n \ geq 2$ $no$

Algunos usos

El desarrollo del orden $0$ en $x 0$ equivale a escribir que $f$ es continua en $x 0$ : ${\ Displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + o ((x-x_ {0}) ^ {0}) = f (x_ {0}) + o (1)}$

La expansión limitada de orden $1$ en $x 0$ equivale a acercarse a una curva por su tangente en $x 0$ ; también hablamos de aproximación afín : $f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) + o (x-x_ {0})$ . Su existencia es equivalente a la derivabilidad de la función en $x 0$ .

La expansión limitada de orden $2$ en $x 0$ equivale a acercarse a una curva por una parábola , o ley cuadrática, en $x 0$ . Permite especificar la posición de la curva con respecto a su tangente en la vecindad de $x 0$ , siempre que el coeficiente del término de grado 2 no sea cero: el signo de este coeficiente de hecho da esta posición (ver también la función artículo convexa ).

El cambio de variable $h = 1 / X$ permite, utilizando un DL 0 en $0$ , encontrar un límite en el infinito, y, a partir de un DL 1 en $0$ , determinar la ecuación de una asíntota (en cuanto a la tangente, el DL 2 permite especificar la posición de la curva en relación con la asíntota).

Algunos ejemplos

Las siguientes funciones tienen DL n en $0$ para cualquier número entero n .

${\ frac 1 {1-x}} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} x ^ {i} + {\ frac {x ^ {{n + 1}}} {1-x} } = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} x ^ {i} + o (x ^ {n})$ (una consecuencia es la suma de las series geométricas ).
$ln (1 + x )$ por integración de la fórmula anterior para n = m - 1, cambio de x a –x y cambio de índice k = i + 1 ${\ Displaystyle = \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {k}} x ^ {k} + o (x ^ {m})}$
$e x$ (usando la fórmula de Taylor) ${\ Displaystyle = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} x ^ {i} + o (x ^ {n})}$
$sin$ al orden 2 n + 2. La parte principal de DL al orden 2 n + 1 es la misma porque el término en $x$ $2$ $n$ $+2$ es cero (como todos los términos con exponentes pares) y $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $+2$ $) =$ $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $+1$ $)$ . ${\ Displaystyle x = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {i}} {(2i + 1)!}} x ^ {2i + 1} + o (x ^ {2n + 2})}$
$cos$ en el orden 2 n + 1. La parte principal de la DL en el orden 2 n es la misma, porque el término en $x$ $2$ $n$ $+1$ es cero (como todos los términos con exponente impar) y $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $+1$ $) =$ $o$ $($ $x$ $2$ $norte$ $)$ . ${\ Displaystyle x = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {i}} {(2i)!}} x ^ {2i} + o (x ^ {2n + 1})}$
$(1 + x ) a$ ${\ Displaystyle = 1 + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} \ left (\ prod \ limits _ {j = 0} ^ {i-1} (aj ) \ derecha) x ^ {i} + o (x ^ {n}).}$

Estos ejemplos también se pueden desarrollar en series completas .

Formulario

Varias funciones habituales admiten una expansión limitada a $0$ , que se puede utilizar para expandir funciones especiales:

$(1 + x) ^ {a} = 1 + ax + {\ frac {a (a-1)} {2!}} X ^ {2} + {\ frac {a (a-1) (a-2 )} {3!}} X ^ {3} + \ cdots + {\ frac {a (a-1) (a-2) ... (a- (n-1))} {n!}} X ^ {n} + o (x ^ {n})$
${\ frac 1 {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ cdots + x ^ {n} + o (x ^ {n})$
${\ frac 1 {1 + x}} = 1-x + x ^ {2} -x ^ {3} + \ cdots + (- 1) ^ {n} x ^ {n} + o (x ^ {n })$
${\ Displaystyle \ ln {(1-x)} = - x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {3}} {3}} - \ cdots - { \ frac {x ^ {n}} {n}} + o (x ^ {n})}$
${\ Displaystyle \ ln {(1 + x)} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - \ cdots + (- 1) ^ {n-1} {\ frac {x ^ {n}} {n}} + o (x ^ {n})}$
${\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {x} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {n}} {n!}} + o (x ^ {n})}$
${\ Displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - \ cdots + (- 1) ^ { n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}} + o (x ^ {2n + 1})}$
${\ Displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ cdots + (- 1) ^ { n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$tan$ , dondeestán los números de Bernoulli . ${\ Displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} {315} } + \ cdots + {\ frac {B_ {2n} (- 4) ^ {n} (1-4 ^ {n})} {(2n)!}} x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}$ $B_ {n}$
$aporrear$ ${\ Displaystyle x = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n }} {(2n)!}} + O (x ^ {2n + 1})}$
$pecado$ ${\ Displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} + O (x ^ {2n + 2})}$
$tanh$ ${\ Displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} - {\ frac {17x ^ {7}} {315} } + \ cdots + {\ frac {B_ {2n} 4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} {(2n)!}} x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n} )}$
$arcos$ ${\ Displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot x ^ {5}} {2 \ cdot 4 \ cdot 5} } + \ cdots + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1 )}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$arccos$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {\ pi} {2}} - x - {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} - {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot x ^ { 5}} {2 \ cdot 4 \ cdot 5}} - \ cdots - {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1)}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$arctan$ ${\ Displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5}} - \ cdots + (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$arsinh$ ${\ Displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} + \ cdots + (- 1) ^ {n} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots ( 2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1)}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$Artanh$ ${\ Displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} + o (x ^ {2n + 2})}$

Aproximaciones afines: expansión limitada de orden 1

Se utilizan frecuentemente desarrollos limitados de orden 1 (también llamados “aproximaciones afines” o “aproximaciones afines tangentes” ), que permiten facilitar los cálculos, cuando no se requiere una precisión demasiado grande; están dados, en el punto $x 0$ , por:

{\ Displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + (x-x_ {0}) f '(x_ {0}) + o (x-x_ {0})}

(encontramos la ecuación de la tangente a la gráfica de $f$ ).

En particular, tenemos, en el punto $0$ :

(1+X)a=1+aX+o(X){\ displaystyle (1 + x) ^ {a} = 1 + ax + o (x)} ${\ displaystyle (1 + x) ^ {a} = 1 + ax + o (x)}$ y entonces
- ${\ frac 1 {1 + x}} = 1-x + o (x)$ y
- ${\ Displaystyle {\ sqrt {1 + x}} = 1 + {\ frac {x} {2}} + o (x) ~;}$
${\ Displaystyle \ ln {(1 + x)} = x + o (x) ~;}$
${\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {x} = 1 + x + o (x).}$

Desarrollos habituales en $0$ de funciones trigonométricas

Para ordenar 2:
- ${\ Displaystyle \ sin x = x + o (x ^ {2})}$ , , ${\ Displaystyle \ arcsin x = x + o (x ^ {2})}$
- ${\ Displaystyle \ tan x = x + o (x ^ {2})}$ , , ${\ Displaystyle \ arctan x = x + o (x ^ {2})}$ estas fórmulas se conocen a menudo como aproximaciones de ángulos pequeños , y
para ordenar 3: ${\ Displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + o (x ^ {3})}$ .

Notas y referencias

La noción de desarrollo limitado se puede generalizar en el caso de que la función tenga valores complejos o vectoriales , pero este caso no se aborda en este artículo; para otras generalizaciones, vea el artículo desarrollo asintótico .
Jacqueline Lelong-Ferrand y Jean-Marie Arnaudiès , Matemáticas supuesto , t. 2: Análisis , Bordas,1977, 4 ª ed. , p. 148, definición IV.7.2; el polinomio en sí (que es único si existe) es llamado por ellos desarrollado limitado de $f$ , y denotado $DL n ( f )$ o, si la precisión es necesaria, $DL n ( f , x 0 )$ .
Para ver una demostración, consulte, por ejemplo, el § "Definición" del capítulo "Desarrollos limitados" sobre Wikiversidad .
Para una demostración, véase por ejemplo el § "Suma y producto" del capítulo "Developments Limited" en Wikiversidad .
Se presenta un ejemplo en la sección "Composición" del capítulo "Desarrollos limitados" sobre Wikiversidad .
Esta es una aplicación de la regla de L'Hôpital . Para una demostración, vea por ejemplo el § “Derivación e integración término a término” del capítulo “Desarrollos limitados” sobre Wikiversidad .
Ver por ejemplo el § “Fórmulas de Taylor” del capítulo “Desarrollos limitados” sobre Wikiversidad .