Endomorfismo lineal
En matemáticas , un endomorfismo lineal o endomorfismo de espacio vectorial es un mapeo lineal de un espacio vectorial en sí mismo.
El conjunto de endomorfismos de un espacio vectorial E generalmente se denota como Fin ( E ) o L ( E ).
Propiedades de los endomorfismos
Los endomorfismos verifican las propiedades generales de todos los mapas lineales; por ejemplo: el conjunto L ( E , F ) de mapas lineales de un espacio de K -vector en otro es un K -espacio de vector provisto de la ley de suma de funciones y la multiplicación externa por un escalar de K , y por lo tanto, en particular (ya que L ( E ) = L ( E , E )), (L ( E ), +, ∙) es un espacio de vector K. Al agregar las aplicaciones de composición de leyes , L ( E ) es un álgebra no conmutativa .
Indiquemos la fórmula del binomio que se verifica cuando dos endomorfismos f y g de E conmute :
En dimensión finita
Cuando el espacio vectorial es de dimensión finita , el estudio de un endomorfismo se reduce inmediatamente al de su matriz con respecto a una base dada . La matriz resultante es una matriz cuadrada . A menudo, se considera la misma base de E a la salida y a la llegada.
Diagonalización
En dimensión finita, la diagonalización de un endomorfismo consiste en encontrar una base en la que la matriz del endomorfismo se escribe en forma diagonal. En general, no todos los endomorfismos se pueden diagonalizar, es posible en ciertos casos como máximo trigonalizarlos . El interés de la diagonalización es poder estudiar fácilmente un endomorfismo, calcular fácilmente sus n -ésimas potencias , encontrar sus raíces cuadradas , etc.