Aplicación bilineal
En matemáticas , un mapa bilineal es un caso especial de un mapa multilineal .
Definición
Sean E , F y G tres espacios vectoriales en un campo conmutativo K y φ: E × F → G un mapa. Decimos que φ es bilineal si es lineal en cada una de sus variables, es decir:
Si G = K , hablamos de forma bilineal .
Ejemplo
El producto escalar es una forma bilineal, porque es distributivo sobre la suma vectorial y asociativo con la multiplicación por un escalar :
.
Generalización
Sean A y B dos anillos (no necesariamente conmutativos ), E un módulo A - a la izquierda, F a B - módulo a la derecha y G a ( A , B ) -bimodule. Esto significa que G es un módulo A a la izquierda y un módulo B a la derecha, con la relación de compatibilidad:
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Sea φ: E × F → G un mapa. Como antes, decimos que φ es bilineal si es lineal en cada una de sus variables. Esto se explica por:
Por supuesto, esto es válido cuando A = B es un campo no conmutativo K , E es un K - espacio vectorial a la izquierda, F es un K - espacio vectorial a la derecha y G es un espacio vectorial a la izquierda y a la derecha. con la relación de compatibilidad anterior.
Ejemplos de
En un espacio vectorial, los productos escalares y los productos vectoriales son mapas bilineales.
Bibliografía
N. Bourbaki , Álgebra , Capítulo 9: Formas sesquilineales y cuadráticas , Springer,2006, 208 p. ( ISBN 978-3-540-35338-6 , leer en línea )