Kernel (álgebra)

En matemáticas y más particularmente en álgebra general , el núcleo de un morfismo mide la no inyectividad de un morfismo.

En muchos casos, el núcleo de un morfismo es un subconjunto del conjunto de definiciones de morfismo: el conjunto de elementos que se envían al elemento neutral del conjunto de llegada . En contextos más generales, el núcleo se interpreta como una relación de equivalencia en el conjunto de definiciones: la relación que conecta los elementos que son enviados en la misma imagen por el morfismo.

En cualquiera de estas situaciones, el núcleo es trivial si y solo si el morfismo es inyectivo. En la primera situación, "  trivial  " significa que consiste solo en el elemento neutral , mientras que en la segunda significa que la relación es de igualdad .

El núcleo de un morfismo f se denota ker ( f ) o Ker ( f ). Esta abreviatura proviene de la palabra inglesa kernel que significa "núcleo" (en todos los sentidos del término: la analogía se ha extendido de un idioma a otro).

Este artículo presenta varias definiciones del núcleo, para los tipos de morfismos más utilizados.

Núcleo de un morfismo grupal

El núcleo de un grupo morfismo f de un grupo G al grupo M se compone de todos los elementos de G que se envían por f en el elemento de identidad e H de H . Formalmente:

ker⁡(F)={X∈GRAMO∣F(X)=miH}.{\ Displaystyle \ ker (f) = \ {x \ in G \ mid f (x) = e_ {H} \}.}

El núcleo es un subgrupo de G .

Uno de los teoremas del isomorfismo establece que el grupo cociente G / ker ( f ) es isomorfo a la imagen de f . Este isomorfismo es inducido por f mismo. Una proposición un poco más general es el teorema de factorización de morfismos.

El morfismo de los grupos f es inyectivo si y solo si su núcleo es el grupo trivial .

Según las propiedades de la imagen recíproca , el núcleo de un morfismo compuesto es igual a: gramo∘F{\ Displaystyle g \ circ f}

ker⁡(gramo∘F)=F-1(ker⁡(gramo)).{\ Displaystyle \ ker (g \ circ f) = f ^ {- 1} (\ ker (g)).}

Kernel de una aplicación lineal

Si f es un mapa lineal desde un espacio vectorial V a un espacio vectorial W , entonces el núcleo de f está definido por

ker⁡(F)={X∈V∣F(X)=0W}.{\ Displaystyle \ ker (f) = \ {x \ in V \ mid f (x) = 0_ {W} \}.}

El núcleo es un subespacio del espacio vectorial V , y el cociente del espacio vectorial V / ker ( f ) es isomorfo a la imagen de f  ; en particular, el teorema de rango relaciona las dimensiones  :

sol⁡ker⁡(F)=sol⁡V-sol⁡soy⁡(F).{\ Displaystyle \ dim \ ker (f) = \ dim V- \ dim \ operatorname {im} (f).}

El mapa lineal f es inyectivo si y solo si ker ( f ) = {0}.

Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita en un campo conmutativo K , de dimensiones respectivas n y p , y si se dan las bases de estos espacios, entonces f se puede representar mediante una matriz , y el núcleo se puede determinar resolviendo el homogéneo sistema de ecuaciones lineales M X = 0. METRO∈METROpag,no(K){\ Displaystyle M \ in {\ mathcal {M}} _ {p, n} (K)}

En esta representación, las soluciones de esta corresponden sistema a las coordenadas del núcleo vectores f , sino también el núcleo del vector de la aplicación lineal canónicamente asociado con la matriz M .

El tamaño del núcleo está dada por el número de columnas de M menos el rango de M .

Resolver ecuaciones diferenciales homogéneas a menudo conduce a determinar el núcleo de un determinado mapa lineal .

Por ejemplo, si queremos determinar las funciones f dos veces diferenciables de R a R tales que

∀X∈R, XF″(X)+3F′(X)=F(X) ,{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ xf '' (x) + 3f '(x) = f (x) \,}

debemos considerar el núcleo del mapa lineal , donde V es el espacio vectorial de todas las funciones dos veces diferenciables de R a R , W el espacio vectorial de todas las funciones de R a R , y la imagen por d 'un elemento f de V definido por la condición φ:V→W{\ Displaystyle \ varphi: V \ a W}φ{\ Displaystyle \ varphi}

∀X∈R, (φ(F))(X)=XF″(X)+3F′(X)-F(X).{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ (\ varphi (f)) (x) = xf '' (x) + 3f '(x) -f (x).}

Núcleo de un morfismo de anillo

El núcleo de un morfismo de anillo f de un anillo A en un anillo B consta de todos los elementos x de A para los cuales f ( x ) = 0. Formalmente:

ker⁡(F)={X∈A∣F(X)=0B}.{\ Displaystyle \ ker (f) = \ {x \ en A \ mid f (x) = 0_ {B} \}.}

El núcleo es un ideales de dos caras de A .

El teorema del isomorfismo mencionado anteriormente para grupos y espacios vectoriales sigue siendo válido en el caso de los anillos.

Núcleo de un morfismo corporal

El núcleo de un morfismo corporal (es decir, un morfismo en anillo donde los anillos considerados son cuerpos ) siempre se reduce al elemento neutro 0, de modo que cualquier morfismo corporal es inyectivo.

Núcleo de una forma cuadrática

En un espacio vectorial real E , una forma cuadrática es un mapa polinomial que es homogéneo de grado 2. Está asociado con la forma bilineal simétrica q:V→R{\ Displaystyle q: V \ rightarrow R}

B(tu,v)=q(tu+v)-q(tu-v)4{\ Displaystyle B (u, v) = {\ frac {q (u + v) -q (uv)} {4}}}

El núcleo de q es el subespacio vectorial

NO={v∈mi∣∀w,B(v,w)=0}.{\ Displaystyle N = \ {v \ in E \ mid \ forall w, B (v, w) = 0 \} \,.}

La contracción de B por v denota el mapa lineal , y N aparece como el núcleo del mapa lineal ι(v)B:w↦B(v,w){\ Displaystyle \ iota (v) B: w \ mapsto B (v, w)}

v↦ι(v)B.{\ Displaystyle v \ mapsto \ iota (v) B.}

La imagen es un subespacio del espacio dual E *, que es el cancelador del núcleo N .

Core en general

Todas estas nociones de núcleos se generalizan en el marco de la teoría de categorías abelianas .

Ejemplo

La función exponencial compleja exp es un ejemplo de morfismo de grupo , de (ℂ, +) a (ℂ *, ×). Su núcleo es el conjunto de números complejos z tales que e z = 1 .

Al notar , obtenemos X=ℜ(z) y y=ℑ(z){\ Displaystyle x = \ Re (z) \ {\ text {y}} \ y = \ Im (z)}

miz=1⇔miX+Iy=1 ⇔miX×miIy=1 ⇔{miX=1y=0 [2π] ⇔{X=0y∈2πZ,{\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {z} = 1 \ Leftrightarrow {\ rm {e}} ^ {x + {\ rm {i}} y} = 1 \ \ Leftrightarrow {\ rm {e}} ^ {x} \ times {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} y} = 1 \ \ Leftrightarrow {\ begin {cases} {\ rm {e}} ^ {x} = 1 \\ y = 0 \ \ left [2 \ pi \ right] \ end {cases}} \ \ Leftrightarrow {\ begin {cases} x = 0 \\ y \ in 2 \ pi \ mathbb {Z}, \ end {cases} }}

de donde

ker⁡(Exp)=I2πZ.{\ Displaystyle \ ker (\ exp) = {\ rm {i}} 2 \ pi \ mathbb {Z}.}

Notas y referencias

1. (in) Jeff Miller "  Usos conocidos más tempranos de algunas de las palabras de las matemáticas  "  : "  El uso de kernel en álgebra parece no estar relacionado con el uso de tic en ecuaciones integrales y análisis de Fourier. El OED ofrece la siguiente cita de los Grupos topológicos de Pontrjagin i. 11 (traducido por E. Lehmer 1946) "El conjunto de todos los elementos del grupo G que entran en la identidad del grupo G * bajo el homomorfismo g se llama el núcleo de este homomorfismo".  " .

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