Función cóncava

En matemáticas , se dice que una función $f$ es cóncava cuando la función opuesta $-f$ es convexa .

El hecho de que prefiramos empezar por definir la noción de función convexa y deducir de ella la de función cóncava tiene su origen en el hecho de que definimos fácilmente la noción de conjunto convexo , mientras que la de "conjunto cóncavo" es menos natural. Luego definimos las funciones convexas como aquellas que tienen un epígrafe convexo (las funciones cóncavas tienen un hipograma convexo). Ésta es la razón por la que el análisis convexo existe como disciplina de las matemáticas, pero el "análisis cóncavo" no.

Definiciones

Definición : se dice que una función $f$ es cóncava cuando la función opuesta $-f$ es convexa .

Esta definición es equivalente a la siguiente definición:

Definición - Se dice que una función $f$ de un intervalo real $I$ a ℝ es cóncava cuando, para todo $x 1$ y $x 2$ de $I$ y todo $t$ en $[0; 1]$ tenemos:

{\ Displaystyle f (t \, x_ {1} + (1-t) \, x_ {2}) \ geq t \, f (x_ {1}) + (1-t) \, f (x_ {2 }).}

Caso de funciones derivables

Tenemos dos caracterizaciones:

Propuesta - Deje $f$ una función derivable en un intervalo $I$ .

$f$ es cóncava si y solo si su curva representativa está por debajo de cada una de sus tangentes ;
$f$ es cóncava si y sólo si su derivado está disminuyendo en $I$ .

Deducimos de la segunda caracterización:

que cualquier función cóncava y diferenciable (sobre un intervalo real) es de clase C 1 ;
el siguiente corolario, muy práctico para comprobar fácilmente la concavidad de ejemplos concretos:

Corolario - Deje $f$ una función dos veces diferenciable en un intervalo $I$ . $f$ es cóncava si y solo si su segunda derivada $f ''$ tiene valores negativos o cero.

Ejemplo de funciones cóncavas

Entre las funciones cóncavas simples, obviamente podemos citar por definición los opuestos de las funciones convexas reales, por ejemplo:

$x \mapsto - x n$ con $n$ un número entero par ;
$x \mapsto - exp ( x )$ .

Citemos también algunas inversas de funciones convexas, por ejemplo en ℝ + *:

la función de logaritmo natural ;
la función de potencia $x \mapsto x a$ si $0 \leq a \leq 1$ .

De manera más general, las funciones dos veces diferenciables cuya segunda derivada es siempre negativa son funciones cóncavas. Pero una función cóncava no es necesariamente diferenciable, como lo demuestra la función $x \mapsto - | x |$ .

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Función convexo-cóncava

Referencias

Declaración en Jacques Douchet, Análisis: colección de ejercicios y ayudas para la memoria , vol. 1, PPUR ,2010, 3 e ed. ( 1 st ed. 2003) ( leer on-line ) , p. 77(prop. 5.44) y demostrado en este ejercicio corregido de la lección sobre las funciones de una variable real en Wikiversity . Para una generalización a las funciones convexas de una variable vectorial, consulte (en) Cálculo sin derivadas de John Paul Penot , al. " GTM " ( n o 266)2012( leer en línea ) , pág. 202-203.