Aplicación lineal

En matemáticas , un mapa lineal (también llamado operador lineal o transformación lineal ) es un mapa entre dos espacios vectoriales en un cuerpo que respeta la suma de vectores y la multiplicación escalar y, por lo tanto, conserva de manera más general las combinaciones lineales . La expresión también se puede utilizar para un morfismo entre dos módulos en un anillo , con una presentación similar aparte de las nociones básicas y la dimensión .

Esta noción extiende la de función lineal en el análisis real a espacios vectoriales más generales.

Definiciones

Caso general

Dejar que $E$ y $F$ espacios vectoriales de dos sobre un campo $K$ . Un mapa $f : E \to F$ se dice que es $K-$ lineal (o " morfismo de $K$ -espacios de vectores") si satisface ambos

aditividad

{\ Displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2}, \ quad f (x + y) = f (x) + f (y)}

homogeneidad

{\ Displaystyle \ forall \ lambda \ in \ mathbb {K} \ quad \ forall x \ in E, \ quad f (\ lambda x) = \ lambda f (x)}

Estas dos propiedades se pueden verificar simultáneamente mediante la siguiente caracterización:

{\ Displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \ quad \ forall \ lambda, \ mu \ in \ mathbf {K} \ quad f (\ lambda x + \ mu y) = \ lambda f ( x) + \ mu f (y)}

o más simplemente:

{\ Displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \ quad \ forall \ mu \ in \ mathbf {K} \ quad f (x + \ mu y) = f (x) + \ mu f ( y)}

Equivalentemente, una aplicación $f : E \to F$ es lineal si y sólo si el gráfico es un subespacio de $E \times F$ .

El conjunto de mapas lineales de $E$ a $F$ generalmente se denota $L ( E , F )$ o $L K ( E ; F )$ o incluso $Hom K ( E , F )$ , con un índice a menudo omitido e implícito cuando es fácil derivar de el contexto.

Casos particulares

Un isomorfismo de espacios vectoriales es un morfismo biyectivo . Denotamos por $Isom ( E , F )$ el conjunto de isomorfismos de $E$ sobre $F$ ;
Un endomorfismo es un morfismo que tiene el mismo espacio vectorial de salida y llegada. Denotamos por $L ( E )$ el conjunto $L ( E , E )$ de endomorfismos de E ;
Un automorfismo es un endomorfismo biyectivo. Denotamos por $GL ( E )$ el grupo de automorfismos de $E$ (también llamado grupo lineal de $E$ );
Si el espacio vectorial de llegada es el campo $K$ , hablamos de forma lineal . Denotamos por $E *$ el conjunto de formas lineales en $E$ (también llamado espacio dual de $E$ ).

Ejemplos y contraejemplos

Dado un espacio vectorial $S$ sobre un campo $K$ , cualquier familia de escalares $(un 1 , ..., un n) \in K n$ define una aplicación lineal del conjunto $E$ $n$ de los $n$ tuplas de los vectores a $E$ . ${\ Displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ mapsto \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} x_ {k}}$

En particular, cualquier homotecia vectorial $x \mapsto a . x$ es lineal.

Sobre el conjunto de funciones reales diferenciables en un intervalo $I$ , la derivación constituye una aplicación lineal al conjunto de funciones reales. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {1} (I, \ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle u \ mapsto u '}$

La conjugación en el conjunto $C$ de números complejos es un mapa lineal $R$ pero no un mapa lineal $C.$ ${\ Displaystyle z \ mapsto {\ overline {z}}}$

La composición de la derecha $f \mapsto f \circ g$ define un mapa lineal, pero en general no la composición de la izquierda $f \mapsto h \circ f$ .

La integración de funciones , la evaluación en un punto, $f \mapsto f (a)$ y los posibles límites también son lineales en el conjunto de funciones para las que se definen estas operaciones.

En todos los $K N$ de conjuntos con valores en un cuerpo $K$ , el desplazamiento $(u n) \mapsto (u n +1 )$ , el potencial límite y la construcción de la serie asociada también son lineales. ${\ Displaystyle (u_ {n}) \ mapsto \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} \ right)}$

En el conjunto de matrices , la multiplicación por la izquierda y / o la derecha, la transposición y la traza son lineales.

La expectativa define un mapa lineal sobre el conjunto de variables aleatorias reales que admiten una.

Cualquier aplicación inducida en homología en un campo es lineal en este campo.

Propiedades

Cualquier mapa lineal conserva combinaciones lineales: para cualquier familia finita $( x i ) i \in I$ de vectores y para cualquier familia $(λ i ) i \in I$ de escalares (es decir, elementos de $K$ ), ${\ Displaystyle f \ left (\ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} x_ {i} \ right) = \ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} f (x_ {i })}$ .

Deje $E$ y $F$ dos espacios vectoriales (resp. Dos módulos) a la izquierda en el cuerpo (resp. El anillo) $K$ . El conjunto $L ( E , F )$ de aplicaciones lineales de $E$ a $F$ es un espacio vectorial (módulo resp. A) en el centro de $K$ .

Demostración

Demostrar que $L ( E , F )$ es un subespacio lineal (resp. Un sub-módulo) del espacio vectorial (resp. El módulo) de las aplicaciones $E$ en $F$ en el centro $C$ de $K$ . No está vacío porque contiene la aplicación nula. Si $un$ y $b$ son dos mapas lineales, su suma es todavía lineal. Finalmente, si $λ$ es un elemento de $C$ , el mapa $λ a$ también es lineal, porque obviamente es aditivo y para todo $α \in K$ y todo $x \in E$ ,

{\ Displaystyle (\ lambda a) (\ alpha x) = \ lambda \ alpha a (x) = \ alpha \ lambda (a (x) = \ alpha (\ lambda a) (x)}

El compuesto de dos mapas lineales es lineal. Mas presisamente : ${\ Displaystyle \ forall f \ in \ operatorname {L} (E, F) \ quad \ forall g \ in \ operatorname {L} (F, G) \ quad g \ circ f \ in \ operatorname {L} (E , G)}$ .En particular, $\circ$ es una ley de composición interna en $L ( E )$ .
El inverso de un isomorfismo también es lineal.
Si $E$ es un $K$ espacio-vector (resp. A $K$ -módulo libre), una aplicación lineal $f \in L ( E , F )$ se determina en su totalidad por la imagen bajo $f$ de una base de de $E$ . Más precisamente: Para cualquier base $B$ a $E$ , cualquier aplicación de $B$ en $F$ se extiende de manera única en una aplicación lineal de $E$ en $F$ . Por tanto, cualquier elección de una base $B$ de $E$ proporciona una biyección . ${\ Displaystyle \ operatorname {L} (E, F) \ to F ^ {B}, f \ mapsto f_ {| B}}$

Núcleo e imagen

Si $f$ es un mapa lineal de $E$ a $F$ , entonces su núcleo , denotado $Ker ( f )$ , y su imagen , denotada $Im ( f )$ , se definen por:

{\ Displaystyle \ operatorname {Ker} (f) = \ {x \ in E \ mid f (x) = 0 \} = f ^ {- 1} (\ {0 \})}

;

{\ Displaystyle \ operatorname {Im} (f) = \ {f (x) \ mid x \ in E \} = f (E)}

$Ker$ proviene de Kern , traducción de "kernel" en alemán . $Estoy sacado$ de una foto .

Un mapa lineal es inyectivo si y solo si su núcleo es espacio cero (esta es una propiedad general de los morfismos de grupo ). Una aplicación (lineal o no) es sobreyectiva si y solo si su imagen es igual a todo su conjunto de destinos .

Todo $Ker ( f )$ es un subespacio lineal de $E$ , y el conjunto $Im ( f )$ es un subespacio lineal de $F$ . Más generalmente,

la imagen inversa por $f$ de un subespacio vectorial de $F$ es un subespacio vectorial de $E$ ;
la imagen directa por $f$ un subespacio vectorial de $E$ es un subespacio de $F$ .

Para la familia de generación $( e i ) i \in I$ de $E$ , $Im ( f )$ es el subespacio de $F$ generada por la familia $( f ( E i )) i \in I$ .

El espacio vectorial cociente $F / Im ( f ) se$ denomina cokernel de $f$ .

El teorema de factorización establece que $f$ induce un isomorfismo del cociente $E / Ker ( f )$ en la imagen $Im ( f )$ .

Todo lo anterior sigue siendo válido si "espacio vectorial" se reemplaza por "módulo" y "cuerpo" por "anillo". Lo siguiente, por otro lado, es específico de los espacios vectoriales en un cuerpo:

En dimensión finita

Si $E$ es de dimensión finita y si el campo $K$ es conmutativo, entonces la dimensión de $L ( E , F )$ viene dada por: ${\ Displaystyle \ dim (\ operatorname {L} (E, F)) = \ dim (E) \ times \ dim (F)}$ .En particular, si $F$ también es de dimensión finita, entonces $L ( E , F )$ también es finito .
Si $E$ y $F$ son espacios vectoriales de dimensión finita (resp. Módulos libres de tipo finito) a la derecha sobre un campo (resp. A anillo) $K$ , un mapa lineal $f$ de $E$ a $F$ está representado por una matriz en bases fijas en $E$ y $F$ . Esta representación matricial es conveniente para calcular el núcleo y la imagen de $f$ .

Dos espacios isomorfos que tienen la misma dimensión , se sigue del isomorfismo anterior la siguiente relación (válida para $E$ y $F$ de dimensiones finitas o infinitas), llamado teorema de rango :

{\ Displaystyle \ dim (\ operatorname {Ker} (f)) + \ dim (\ operatorname {Im} (f)) = \ dim (E)}

La dimensión de $Im ( f )$ también se llama rango de $f$ y se denota $rg ( f )$ .

Notas

Se prefiere el término operador entre espacios funcionales .
Lay 2004 , p. 77 y siguientes.
Muchos autores (por ejemplo , Bourbaki, Histoire , p. 164) reservan el uso de " transformación " a los que son biyectivos .
Bourbaki, Álgebra , p. A-II-4, ecuación (5).
Artin, Álgebra , p. 109, fórmula (1.2).
Artin, Álgebra , cap. 4.
Bourbaki, Álgebra , p. A-II-4, definición 4.
Bourbaki, Álgebra , p. A-II-5.
Artin, Álgebra , p. 87, definición (2.13).
Para una demostración, vea por ejemplo el § “Imagen de una base” de la lección sobre aplicaciones lineales en Wikiversity .
Artin, Álgebra , p. 110, fórmula (1.5).
(in) Jeff Miller " Usos conocidos más tempranos de algunas de las palabras de las matemáticas " : " El uso de kernel en álgebra parece no estar relacionado con el uso de tic en ecuaciones integrales y análisis de Fourier. El OED ofrece la siguiente cita de los Grupos topológicos de Pontrjagin i. 11 (traducido por E. Lehmer 1946) "El conjunto de todos los elementos del grupo G que entran en la identidad del grupo G * bajo el homomorfismo g se llama el núcleo de este homomorfismo". " .
Bourbaki, Álgebra , p. A-II-7.
Para una demostración, vea por ejemplo el § “Propiedades de L ( E , F )” de la lección sobre mapas lineales en Wikiversity .

Referencias

(en) Michael Artin , Álgebra , : Prentice Hall Inc.,1991( ISBN 0-13-004763-5 ).
Nicolas Bourbaki , Álgebra: Capítulos 1 a 3 , Springer,2007( ISBN 978-3-540-33849-9 ).
Nicolas Bourbaki , Elementos de la historia de las matemáticas , Springer,2007[ detalle de ediciones ].
David C. Lay , Álgebra lineal: teoría, ejercicios y aplicaciones , De Boeck,2004, 576 p. ( ISBN 978-2-8041-4408-1 , leer en línea ).