Forma lineal

En álgebra lineal , las formas lineales son un tipo especial de asignaciones lineales . El estudio específico que se les da está motivado por el hecho de que juegan un papel primordial en las matemáticas, y en el análisis, por ejemplo en la teoría de distribuciones , o en el estudio de los espacios de Hilbert .

Las formas lineales en un espacio vectorial a veces también se denominan covector . Este término, que adquiere significado en el marco general de tensores y cálculo de tensores , nos recuerda que si las formas lineales pueden ser representadas por un sistema de coordenadas comparable al de los vectores, se diferencian de él en términos de fórmulas de transformación.

Definición

O E un espacio vectorial sobre un campo conmutativa K . Una forma lineal en E (o covector de E ) es un mapa φ de E a K que es lineal , es decir, que satisface:

∀(X,y)∈mi2, ∀λ∈K, φ(λX+y)=λφ(X)+φ(y).{\ Displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2}, ~ \ forall \ lambda \ in K, ~ \ varphi (\ lambda x + y) = \ lambda \ varphi (x) + \ varphi (y ).}

Ejemplos de

• El mapa constante en E de valor 0 K se denomina "forma lineal nula en E ".
• La aplicaciónφ:R2⟶R(X,y)⟼2X+3y{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ varphi: & \ mathbb {R} ^ {2} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & (x, y) & \ longmapsto & 2x + 3y \ end {matrix }}}es una forma lineal en ℝ 2 .
• De manera más general, las formas lineales en K n son los mapas que se pueden escribir en la forma:φ:Kno⟶KX→⟼a1X1+...+anoXno,{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ varphi: & K ^ {n} & \ longrightarrow & K \\ & {\ vec {x}} & \ longmapsto & a_ {1} x_ {1} + \ ldots + a_ {n} x_ {n}, \ end {matriz}}}donde están los componentes del vector . En particular, las formas lineales en el espacio matricial M p , q ( K ) son los mapas que se pueden escribir en la forma φ ( M ) = Tr ( MN ), donde Tr es el mapa de trazas y N es una matriz fija de M q , p ( K ).X1,...,Xno{\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}X→∈Kno{\ Displaystyle {\ vec {x}} \ en K ^ {n}}
• En el espacio de mapas continuos de [ a , b ] en ℝ, la integración es una forma lineal.F↦∫aBF(t) Dt{\ Displaystyle f \ mapsto \ int _ {a} ^ {b} f (t) ~ {\ rm {d}} t}
• Si L 1 (Ω) es el ℂ- espacio vectorial de funciones con valores complejos que son integrables sobre el espacio medido Ω, entonces la integral es una forma lineal sobre L 1 (Ω). Eso significa que∀F,gramo∈L1(Ω), ∀λ∈VS,∫(λF+gramo)=λ∫F+∫gramo.{\ Displaystyle \ forall f, g \ in \ mathrm {L} ^ {1} (\ Omega), ~ \ forall \ lambda \ in \ mathbb {C}, \ int (\ lambda f + g) = \ lambda \ int f + \ int g.}
• Cualquier evaluación de una función. ejemplo: la aplicación que a una función asocia su valor en un punto (φ ( f ) = f (2) por ejemplo) o el valor de su derivada en un punto.
• Cualquier combinación de las coordenadas del vector. Ejemplo: la función que devuelve una coordenada o la traza de una matriz.

Representaciones matriciales

La escritura anterior de formas lineales en ℝ n , donde los componentes de un vector eran sus coordenadas en la base canónica , se puede interpretar como un producto matricial de la matriz de filas ( a 1 ... a n ) por la columna de la matriz que representa este vector:

X=(X1⋮Xno),φ(X)=(a1...ano)(X1⋮Xno).{\ Displaystyle x = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}}, \ quad \ varphi (x) = (a_ {1} \ dots a_ {n }) {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}}.}

De manera más general, si E es un K - espacio vectorial de dimensión finita n , dada una base de E , las n coordenadas en esta base de un vector se ordenan en la forma de un vector columna  :X→∈mi{\ Displaystyle {\ vec {x}} \ in E}

(X1⋮Xno).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}}.}

Cualquier forma lineal en E se representa mediante una matriz de filas con n componentes:

(φ1⋯φno),{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ varphi _ {1} & \ cdots & \ varphi _ {n} \ end {pmatrix}},}

Esto significa que

φ(X→)=(φ1⋯φno)(X1⋮Xno)=∑I=1noφIXI.{\ Displaystyle \ varphi ({\ vec {x}}) = {\ begin {pmatrix} \ varphi _ {1} & \ cdots & \ varphi _ {n} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ varphi _ {i} x_ {i}.}

Según la convención de Einstein , este resultado puede notarse y es un escalar (en realidad, una matriz (1, 1)). φIXI{\ Displaystyle \ varphi ^ {i} x_ {i}}

Propiedades

• Si φ es una forma lineal distinta de cero, entonces:
  • φ es sobreyectiva , es decir que su imagen es igual al campo base;
  • su núcleo ker ( φ ) es un hiperplano de E , es decir, los adicionales de ker ( φ ) son líneas vectoriales .
• Por el contrario, cualquier hiperplano de E es el núcleo de al menos una forma lineal ( ipso facto distinto de cero).

Demostraciones

• Si φ es una forma lineal distinta de cero, entonces ker ( φ ) es un hiperplano.
  De hecho, adicional ker ( φ ) son isomorfo al cociente E / ker ( φ ) , o φ induce un isomorfismo del cociente a K .
• Si H es un hiperplano de E , existe al menos una forma lineal φ kernel H .
  De hecho, los datos de tal φ son equivalentes a los de un morfismo inyectivo φ de E / H a K , es decir, si u es un vector director de la línea E / H , a elección de un escalar distinto de cero φ ( u ) .

• Una forma es una combinación lineal de un conjunto finito de formas dadas si (y solo si) su núcleo contiene la intersección de las suyas. En particular, dos formas distintas de cero son proporcionales si (y solo si) tienen el mismo hiperplano que su núcleo.

Espacio dual

El conjunto de formas lineales sobre E es un subespacio del espacio vectorial K E de aplicaciones E en K . Lo llamamos el dual de E y se denota E * u hom ( E , K ) .

A veces notamos (dónde ) para . Esta notación se llama gancho de dualidad . ⟨φ,X⟩{\ Displaystyle \ langle \ varphi, x \ rangle}X∈mi{\ Displaystyle x \ in E}φ(X){\ Displaystyle \ varphi (x)}

Bases dual y antedual

Si E es de dimensión finita n , la representación de la matriz de arriba muestra que E * es de dimensión finita n , por lo tanto isomorfo a E . Sin embargo, no hay isomorfismo canónico en el sentido de que si E es arbitrario, es necesario darse una base arbitraria para poder definir un isomorfismo que lo conecte con E * . Si es una base de E , definimos sobre ella las formas lineales señaladas por: (mi1,...,mino){\ Displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}(mi1∗,...,mino∗){\ Displaystyle (e_ {1} ^ {*}, \ ldots, e_ {n} ^ {*})}

∀(I,j)∈{1,...,no}2, miI∗(mij)=δIj{\ Displaystyle \ forall (i, j) \ in \ {1, \ ldots, n \} ^ {2}, \ e_ {i} ^ {*} (e_ {j}) = \ delta _ {ij}}

(donde está el símbolo de Kronecker , es decir igual a 1 si y 0 en caso contrario). δIj{\ Displaystyle \ delta _ {ij}}I=j{\ Displaystyle i = j}

Estas formas lineales también se denominan proyecciones de las coordenadas, la imagen de un vector por no es otra que la coordenada i-ésima del vector en la base . El resultado importante es que la familia de formas lineales forma una base de E *  ; esta base también se llama base dual de la base . X{\ Displaystyle x}miI∗{\ Displaystyle e_ {i} ^ {*}}X{\ Displaystyle x}(mi1,...,mino){\ Displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}(mi1∗,...,mino∗){\ Displaystyle (e_ {1} ^ {*}, \ ldots, e_ {n} ^ {*})}(mi1,...,mino){\ Displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}

Por el contrario, si nos damos una base de E * , existe una base única de E tal que: (F1∗,...,Fno∗){\ Displaystyle (f_ {1} ^ {*}, \ ldots, f_ {n} ^ {*})}(F1,...,Fno){\ Displaystyle (f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}

∀(I,j)∈{1,...,no}2, FI∗(Fj)=δIj.{\ Displaystyle \ forall (i, j) \ in \ {1, \ ldots, n \} ^ {2}, \ f_ {i} ^ {*} (f_ {j}) = \ delta _ {ij}. }

La base se llama base antedual de la base . (F1,...,Fno){\ Displaystyle (f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}(F1∗,...,Fno∗){\ Displaystyle (f_ {1} ^ {*}, \ ldots, f_ {n} ^ {*})}

Formas lineales continuas

Si consideramos un espacio vectorial normado E en el cuerpo K = ℝ o ℂ, entonces sabemos que define el concepto de continuidad de cualquier aplicación de E en K o incluso en otro espacio vectorial normado F . Demostramos en el § “Operador acotado” del artículo sobre espacios vectoriales normativos la equivalencia entre varias caracterizaciones de la continuidad de un mapa lineal (entre otras: es continuo si y solo si está acotado en la bola unitaria ). Si E es de dimensión finita , cualquier mapa lineal de E a F es continuo. Si E es de dimensión no especificada pero si F = K , se tiene el siguiente criterio:

Una forma lineal es continua si (y solo si) su núcleo está cerrado .

(Mientras que para que un mapa lineal de E en un espacio F de dimensión infinita sea continuo, esta condición, obviamente necesaria, no es suficiente ).

Los hiperplanos cerrados son, por tanto, exactamente los núcleos de formas lineales continuas distintas de cero. Los otros hiperplanos (los núcleos de formas lineales discontinuas) son densos .

Es fácil encontrar ejemplos concretos de formas lineales no continuas  ( pulgadas ) , en espacios vectoriales normalizados no completos . Por ejemplo, en el espacio de funciones continuas de [–1, 1] en K y diferenciables en 0, provisto de la norma de convergencia uniforme , la forma lineal f ↦ f ' (0) no es continua. Por otro lado, en ciertos modelos de teoría de conjuntos sin un axioma de elección , cualquier forma lineal en un espacio de Banach es continua. Por el contrario, con el axioma de elección , se puede construir, sobre cualquier espacio vectorial normado E de dimensión infinita, una forma lineal no continua: basta con elegir una serie de vectores unitarios e n linealmente independientes , para completarla , por una familia. ( f i ) i ∈ I , en una base de E , y establezca φ ( e n ) = n y (por ejemplo) φ ( f i ) = 0.

El subespacio vectorial de E * formado por formas lineales continuas se denomina dual topológico de E y se denota por E ' .

Caso de los espacios de Hilbert

Suponemos aquí que E es un espacio de Hilbert (real o complejo), del cual denotamos el producto escalar . ⟨,⟩{\ Displaystyle \ langle, \ rangle}

El teorema de representación de Riesz expresa una forma lineal continua en E a través del producto escalar; precisamente:

∀φ∈mi′, ∃!aφ∈mi, ∀X∈mi, φ(X)=⟨X,aφ⟩.{\ Displaystyle \ forall \ varphi \ in E ', \ \ existe! a _ {\ varphi} \ in E, \ \ forall x \ in E, \ \ varphi (x) = \ langle x, a _ {\ varphi } \ rangle.}

Notas y referencias

1. N. Bourbaki , Álgebra , p. A-II-40.
2. Los términos forma lineal y covectors se citan en el ejemplo 3, página 189 de Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966.
3. Roger Godement , Cours d'Algebre , p.  191 , ejemplo 6.
4. Ver la demostración de Sylvie Benzoni -Gavage, Calculus diferencial y ecuaciones diferenciales , Dunod ,2010( leer en línea ) , pág.  79-80, o los de este ejercicio corregido, en la lección "Aplicación lineal" en Wikiversity . o este otro ejercicio corregido, en la lección "Dualidad" sobre Wikiversidad .
5. Para una demostración, vea, por ejemplo, este ejercicio corregido de la lección "Espacios vectoriales normalizados" en Wikiversity .

Ver también

Artículos relacionados

• Componentes covariantes y contravariantes
• Pseudovector
• Aplicación lineal continua
• Doble de un espacio vectorial topológico
• Separación del convexo

Enlace externo

• Curso de Relatividad General , según (in) Lecture notes on General Relativity by Sean M. Carroll  : traducción y adaptación de Jacques Fric