En álgebra lineal , un subespacio de un espacio vectorial E, es una parte no vacía de F a E , combinaciones lineales estables . Esta estabilidad se expresa por:
Equipado con las leyes inducidas, F es entonces un espacio vectorial. La intersección de una familia no vacíos subespacios de E es un subespacio de E . La unión de una familia no de subespacios vacíos generalmente no es una; el subespacio generado por este reencuentro es la suma de esta familia .
Deje E un espacio vectorial sobre un cuerpo K .
Una parte F de E es un subespacio vectorial de E si y solo si:
De hecho, la condición 1, más fuerte que la condición " F no está vacía y es estable por sumas", es equivalente a ella en presencia de la condición 2 porque esta última implica que F es estable por los opuestos (si u ∈ F entonces - u = (–1 ) ∙ u ∈ F ).
Por tanto, una caracterización intermedia también equivalente es:
Una parte de E es un subespacio vectorial de E si y solo si contiene el vector cero 0 E y es estable mediante combinaciones lineales.
Además, la estabilidad por combinaciones lineales tiene formulaciones equivalentes a la del resumen introductorio, como o
Para cualquier subespacio vectorial F de un espacio E , la estabilidad por combinaciones lineales permite restringir (al inicio y al final) las dos leyes del espacio vectorial de E en dos mapas +: F × F → F y ∙: K × F → F .
Equipado con estos dos mapas, F es automáticamente, como E , un espacio vectorial.De hecho, ( F , +) es un (sub-) grupo y todos los demás axiomas del espacio vectorial (como la conmutatividad de +) siguen siendo verdaderos en F por restricción porque solo involucran cuantificadores universales ∀ .
Esto permite demostrar de forma económica que una estructura dada es un espacio vectorial: basta con verificar que es un subespacio de un espacio ya conocido. Por ejemplo, los polinomios con coeficientes en K forman un espacio vectorial, como un subespacio K (ℕ) del espacio K ℕ de las sucesiones (identificando cualquier polinomio siguiente, cero de cierto rango, de sus coeficientes).
Para cualquier subespacio F de E tenemos:
Dejar que F 1 y F 2 dos subespacios vectoriales de E . Entonces F 1 ⋂ F 2 es un subespacio lineal de E .
Más en general, para cualquier familia no vacía ( F i ) i ∈ I de subespacios de E , la intersección ⋂ i ∈ I F i es un subespacio lineal de E .
La unión de dos subespacios es solo un subespacio cuando uno de los dos subespacios está incluido en el otro. De hecho, en el caso contrario, esta unión no es estable por adición.
Para que la reunión de una familia de subespacios no vacía (finita o infinita) sea un subespacio, es suficiente (pero por supuesto no es necesario) que la familia se esté filtrando , es decir, que la unión de dos elementos de la familia cualesquiera esté incluida en un elemento familiar.
Si un espacio de K -vector E es la unión de una familia finita de subespacios diferente de E , entonces el campo K es finito .
DemostraciónProbemos el tercer punto (los dos primeros son inmediatos). Supongamos que E es la unión de distintos subespacios E 1 ,…, E n , e incluso (aunque eso signifique eliminar redundancias) tal que ninguno de ellos se incluye en la unión de los demás. Vamos u sea un vector perteneciente a E 1 , pero no a la otra E k y v un vector que no pertenecen a E 1 . Entonces, el conjunto v + Ku es disjunto de E 1 y contiene como máximo un vector entre sí E k . Por lo tanto, K tiene como máximo n - 1 elementos.
Dejar que F 1 y F 2 dos subespacios vectoriales de E . Su suma F 1 + F 2 , definida por , coincide con el subespacio generado por F 1 ⋃ F 2 .
De manera más general, la suma ∑ i ∈ I F i de una familia no vacía ( F i ) i ∈ I de subespacios vectoriales de E , definida como el conjunto de vectores x de E que admiten al menos una descomposición de la forma x = ∑ i ∈ I x i con x i ∈ F i (todo cero excepto un número finito), es igual al subespacio generado por la unión de F i .
Si además esta descomposición de cualquier vector de ∑ i ∈ I F i es única, se dice que la suma es directa .