Teorema de rango

En matemáticas , y más precisamente en álgebra lineal , el teorema de rango vincula el rango de un mapa lineal y la dimensión de su núcleo . Es un corolario de un teorema de isomorfismo . Puede ser interpretado por la noción de índice de aplicación lineal .

En dimensión finita, permite en particular caracterizar la invertibilidad de un mapa lineal o de una matriz por su rango.

El teorema de rango

Teorema de rango  -  Sean E y F dos espacios vectoriales (de dimensiones finitas o infinitas) sobre un campo K y sea f ∈ L ( E , F ) un mapa lineal. Entonces

rgramoF+DImetroker⁡F=DImetromi{\ Displaystyle {\ rm {rg}} f + {\ rm {dim \,}} \ ker f = {\ rm {dim}} \, E}

donde rg f denota la dimensión de la imagen de f .

Este teorema se deriva inmediatamente del hecho de que para cualquier subespacio vectorial V de E , tenemos dim E = dim E / V + dim V y del teorema de factorización según el cual E / ker ( f ) es isomorfo a im ( f ).

Una demostración, más laboriosa pero que precisa el resultado, consiste en comprobar que para cualquier base ( u s ) s ∈ S del kernel y cualquier base ( f ( u t )) t ∈ T de la imagen - indexada por conjuntos S y T disjunto -, ( u r ) r ∈ S ⋃ T es una base de E  :

• esta familia es un generador: para cualquier vector x , anotando x t las coordenadas de f ( x ) en la base de la imagen, y x s las de x - ∑ x t u t en la base del kernel, obtenemos x = ∑ x r u r  ;
• es gratis: si una combinación lineal ∑ x r u r es cero entonces, tomando la imagen por f , 0 + ∑ t ∈ T x t f ( u t ) = 0, por lo tanto por independencia de f ( u t ) la x t son cero, por lo que la hipótesis de partida se simplifica a ∑ s ∈ S x s u s = 0, de lo cual deducimos, por independencia de u s , que las x s también son cero.

Aplicación a la caracterización de isomorfismos

Cuando los espacios vectoriales E y F son de dimensión finita y tienen la misma dimensión n , el teorema de rango permite establecer la equivalencia entre las siguientes propiedades:

1. el mapa f es un isomorfismo de E a F ;
2. el mapa f es sobreyectivo  ;
3. la aplicación f es inyectiva  ;
4. el rango de f es igual an .

Caso especial de endomorfismos

Sea f un mapa lineal de un espacio vectorial de dimensión finita E en sí mismo. Como anteriormente, tenemos la relación:

DImetroImetroF+DImetroker⁡F=rgramo(F)+DImetroker⁡F=sol⁡mi{\ Displaystyle \ mathrm {dim \, im} f + \ mathrm {dim \,} \ ker f = \ mathrm {rg} (f) + \ mathrm {dim \,} \ ker f = \ dim E \,}

de donde deducimos que im f y ker f son adicionales si y solo si su intersección se reduce al vector cero.

Caso de la matriz

El teorema de rango se puede escribir para matrices . Si A es una matriz ( m , n ) sobre un campo K , entonces

rgramoA+DImetro(ker⁡U)=no{\ Displaystyle {\ rm {rg}} A + {\ rm {dim \,}} (\ ker U) = n}

donde T es el mapeo lineal de K n en K m canónicamente asociado con la matriz A .

Algunos definen el núcleo de una matriz de la siguiente manera:

ker⁡A: ={X∈METROno,1(K)∣AX=0}{\ Displaystyle \ ker A: = \ {X \ in {\ mathcal {M}} _ {n, 1} (K) \ mid AX = 0 \}}

que es un subespacio de la misma dimensión que ker U . METROno,1(K){\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n, 1} (K)}

Luego se escribe el teorema de rango

rgramoA+DImetro(ker⁡A)=no{\ Displaystyle {\ rm {rg}} \, A + {\ rm {dim}} (\ ker A) = n}

Otras formulaciones y generalizaciones

Generalizaciones

Este teorema es una forma particular del primer teorema de isomorfismo del álgebra en el caso de espacios vectoriales.

En un lenguaje más moderno, el teorema se puede enunciar de la siguiente manera: si

0→D→mi→F→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow D \ rightarrow E \ rightarrow F \ rightarrow 0}

es una breve secuencia exacta de espacios vectoriales, entonces

DImetro(D)+DImetro(F)=DImetro(mi).{\ Displaystyle {\ rm {dim}} (D) + {\ rm {dim}} (F) = {\ rm {dim}} (E).}

Aquí, F juega el papel de im f y D el de ker f .

Esta formulación se puede generalizar a una secuencia exacta de longitud no especificada (posiblemente infinita): si

...→mino-1→mino→mino+1→...{\ Displaystyle \ ldots \ to E_ {n-1} \ to E_ {n} \ to E_ {n + 1} \ to \ ldots}

es una secuencia exacta de espacios vectoriales, entonces

∑no mirarsol⁡(mino)=∑no imparsol⁡(mino),{\ Displaystyle \ sum _ {n {\ text {par}}} \ dim (E_ {n}) = \ sum _ {n {\ text {impar}}} \ dim (E_ {n}),}

que, cuando los únicos E n distintos de cero son aquellos tales que p ≤ n ≤ q y son de dimensiones finitas, se reescribe:

∑no=pagq(-1)nosol⁡(mino)=0.{\ Displaystyle \ sum _ {n = p} ^ {q} (- 1) ^ {n} \ dim (E_ {n}) = 0.}

Denotemos por f n el morfismo de E n a E n + 1 en esta secuencia. Por lo tanto, tenemos, por el teorema de rango (válido incluso para dimensiones infinitas):

sol⁡(mino)=sol⁡(ker⁡Fno)+sol⁡(ImetroFno){\ Displaystyle \ dim (E_ {n}) = \ dim (\ ker f_ {n}) + \ dim ({\ rm {im}} f_ {n})}

y para precisión:

ImetroFno=ker⁡Fno+1.{\ Displaystyle {\ rm {im}} f_ {n} = \ ker f_ {n + 1}.}

Podemos deducir:

∑no mirarsol⁡(mino)=∑no mirarsol⁡(ker⁡Fno)+∑no mirarsol⁡(ImetroFno)=∑no mirarsol⁡(ImetroFno-1)+∑no mirarsol⁡(ker⁡Fno+1)=∑no imparsol⁡(ImetroFno)+∑no imparsol⁡(ker⁡Fno)=∑no imparsol⁡(mino).{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {n {\ text {par}}} \ dim (E_ {n}) & = \ sum _ {n {\ text {par}}} \ dim (\ ker f_ {n}) + \ sum _ {n {\ text {par}}} \ dim ({\ rm {im}} f_ {n}) \\ & = \ sum _ {n {\ text {par}} } \ dim ({\ rm {im}} f_ {n-1}) + \ sum _ {n {\ text {par}}} \ dim (\ ker f_ {n + 1}) \\ & = \ sum _ {n {\ text {impar}}} \ dim ({\ rm {im}} f_ {n}) + \ sum _ {n {\ text {impar}}} \ dim (\ ker f_ {n}) \\ & = \ sum _ {n {\ text {impar}}} \ dim (E_ {n}). \ end {alineado}}}

Interpretación por la noción de índice

El teorema de rango para espacios vectoriales de dimensión finita también se puede formular en términos de un índice de mapa lineal . El índice de un mapa lineal f de E a F , donde E y F son espacios vectoriales de dimensión finita, se define por

InoDIvsmiF=DImetro(ker⁡F)-DImetro(vsokmirF){\ Displaystyle {\ rm {índice}} f = {\ rm {dim}} (\ ker f) - {\ rm {dim}} ({\ rm {coker}} f)}

Intuitivamente, dim (ker f ) es el número de soluciones independientes x de la ecuación f ( x ) = 0, y dim (coker f ) es el número de restricciones independientes en y ∈ F para hacer la ecuación f ( x ) = y soluble. El teorema de rango para espacios vectoriales de dimensión finita es equivalente a la proposición

InoDIvsmiF=DImetro(mi)-DImetro(F){\ Displaystyle {\ rm {índice}} f = {\ rm {dim}} (E) - {\ rm {dim}} (F)}

Esto significa que el índice es independiente de la función f elegida en L ( E , F ). Este resultado se generaliza mediante el teorema del índice de Atiyah-Singer, que afirma que el índice de ciertos operadores diferenciales se puede obtener a partir de la geometría de los espacios involucrados.

Notas y referencias

1. (en) Serge Lang , Algebra , 1965 [ detalle de las ediciones ] , Teorema 4 , p. 87.
2. N. Bourbaki , Álgebra , p. A-II-101, propuesta 9.
3. Esta precisión se utiliza en el artículo Endomorfismo nilpotente .
4. Lucien Chambadal y Jean-Louis Ovaert , “Álgebra lineal y multilineal” , en Diccionario de matemáticas , Álgebra, análisis, geometría , Albin Michel & Encyclopædia Universalis ,2002, 924  p. ( ISBN  2-226-09423-7 ) , pág.  637-638.
5. Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966, p. 250, corolario 1.