Singularidad (matemáticas)
En matemáticas , la unicidad de un objeto que satisface ciertas propiedades es el hecho de que cualquier objeto que satisfaga las mismas propiedades es igual a él . En otras palabras, no puede haber dos objetos diferentes que satisfagan estas mismas propiedades. Sin embargo, una prueba de unicidad no es suficiente a priori para deducir la existencia del objeto. La conjunción de existencia y unicidad generalmente se observa usando el cuantificador “∃! ".
La unicidad a veces se especifica "hasta la equivalencia " para una relación de equivalencia definida en el conjunto en el que se busca el objeto. Esto significa que posiblemente hay varios elementos del conjunto que satisfacen estas propiedades, pero que todos son equivalentes para la relación mencionada.
De manera similar, cuando la unicidad se relaciona con una estructura , a menudo se especifica "hasta el isomorfismo " (consulte el artículo " Esencialmente único ").
Ejemplo En un espacio topológico separado , tenemos la unicidad del límite de cualquier secuencia: si una secuencia converge, su límite es único. Pero una secuencia puede no tener un límite (en este caso, el límite no existe, lo que no cuestiona la unicidad).Expresión en el cálculo de predicados con igualdad
La cuantificación existencial única, se puede definir a partir de los conectores y cuantificadores habituales, si el lenguaje tiene además de la relación binaria de igualdad y la teoría subyacente de los axiomas de igualdad , por:
Notas y referencias
- Una prueba de la singularidad de la forma "si x e y verifican la propiedad, entonces x = y " no proporciona ninguna información acerca de la existencia. Por otro lado, una prueba de la forma "si x satisface la propiedad, entonces x = a ", donde a es un elemento particular, hace más que probar la unicidad: proporciona un candidato a , y reduce la prueba de existencia (o de inexistencia) para probar si a verifica (o no) la propiedad. Estos dos pasos constituyen el razonamiento por análisis-síntesis . Ejemplo: la descomposición de una función en partes pares e impares .
- Todavía hay algunos casos en los que la unicidad del antecedente implica su existencia, como para un mapeo entre conjuntos finitos de la misma cardinalidad o para un mapeo lineal entre espacios vectoriales de la misma dimensión finita .