Imagen directa
La imagen directa de un subconjunto A de X por un mapa f : X
→ Y es el subconjunto de Y formado por los elementos que tienen, por f , al menos un antecedente perteneciente a A :
F(A)={F(X)∣X∈A}={y∈Y∣∃a∈A,y=F(a)}.{\ Displaystyle f (A) = \ {f (x) \ mid x \ in A \} = \ {y \ in Y \ mid \ existe a \ in A, y = f (a) \}.}
Ejemplos de
- En particular, definimos la imagen de una aplicación f definida en X :Imetro(F)=F(X).{\ Displaystyle \ mathrm {Im} (f) = f (X).}
- Debemos tener cuidado de no confundir la imagen directa por f de una parte A de X , con la imagen por f de un elemento x de X , o con la imagen del mapa f .
- Considere el mapa f de {1, 2, 3} en { a , b , c , d } definida por f (1) = a , f (2) = c y f (3) = d . La imagen directa de {2, 3} por f es f ({2, 3}) = { c , d } mientras que la imagen de f es { a , c , d }.
Propiedades elementales
- Para todas las partes , y para ,A1{\ Displaystyle A_ {1}}
A2{\ Displaystyle A_ {2}}
X{\ Displaystyle X}
F(A1∪A2)=F(A1)∪F(A2).{\ Displaystyle f \ left (A_ {1} \ cup A_ {2} \ right) = f (A_ {1}) \ cup f (A_ {2}).}
De manera más general, para cualquier familia de partes de ,(AI)I∈I{\ Displaystyle \ left (A_ {i} \ right) _ {i \ in I}}
X{\ Displaystyle X}F(⋃I∈IAI)=⋃I∈IF(AI).{\ Displaystyle f \ left (\ bigcup _ {i \ in I} A_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i \ in I} f (A_ {i}).}
- Para todas las partes , y para ,A1{\ Displaystyle A_ {1}}A2{\ Displaystyle A_ {2}}X{\ Displaystyle X}F(A1∩A2)⊂F(A1)∩F(A2){\ Displaystyle f \ left (A_ {1} \ cap A_ {2} \ right) \ subset f (A_ {1}) \ cap f (A_ {2})}
y esta inclusión puede ser estricta, a menos que sea inyectiva . Incluso podemos demostrar que es inyectivo si y solo si para todas las partes y de , tenemos .F{\ Displaystyle f}
F{\ Displaystyle f}A1{\ Displaystyle A_ {1}}A2{\ Displaystyle A_ {2}}X{\ Displaystyle X}F(A1∩A2)=F(A1)∩F(A2){\ Displaystyle f \ left (A_ {1} \ cap A_ {2} \ right) = f (A_ {1}) \ cap f (A_ {2})}
Más generalmente, para cualquier familia que no esté vacía de partes de ,(AI)I∈I{\ Displaystyle \ left (A_ {i} \ right) _ {i \ in I}}X{\ Displaystyle X}
F(⋂I∈IAI)⊂⋂I∈IF(AI){\ Displaystyle f \ left (\ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} \ right) \ subconjunto \ bigcap _ {i \ in I} f (A_ {i})}
.
- Cualquier parte B de Y contiene la imagen directa de su imagen recíproca f −1 ( B ); mas presisamente :F(F-1(B))=B∩Imetro(F).{\ Displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap \ mathrm {Im} (f).}
En particular, si es suprayectivo entonces .F{\ Displaystyle f}F(F-1(B))=B{\ Displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
Incluso podemos demostrar que es sobreyectivo si y solo si para alguna parte de lo que tenemos .
F{\ Displaystyle f}B{\ Displaystyle B}
Y{\ Displaystyle Y}
F(F-1(B))=B{\ Displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
(Se ofrece una demostración en el artículo
Surjection ).
- Cualquier parte A de X está contenida en la imagen recíproca de su imagen directa:A⊂F-1(F(A)){\ Displaystyle A \ subconjunto f ^ {- 1} (f (A))}
y esta inclusión puede ser estricta, a menos que sea inyectiva. Incluso podemos probar que es inyectiva si y sólo si para todas las partes de , tenemos .F{\ Displaystyle f}F{\ Displaystyle f}A{\ Displaystyle A}
X{\ Displaystyle X}A=F-1(F(A)){\ Displaystyle A = f ^ {- 1} (f (A))}
Notas y referencias
-
Para evitar confusiones, Saunders Mac Lane y Garrett Birkhoff , Álgebra [ detalle de las ediciones ], Vuelo. 1, pág. 8 , hablan de un mapeo de conjuntos , que denotan por f * .
-
Para una demostración, véase por ejemplo la respuesta a los ejercicios correspondientes en Wikiversidad .
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