En matemáticas , una fracción es una forma de escribir un número racional como un cociente de dos números enteros. FracciónaBdenotar el cociente de a por b ( b ≠ 0 ). En esta fracción, una se llama el numerador y de b el denominador .
Ejemplo:Fracción 568es equivalente al número 7 porque 7 × 8 = 56 , entonces el cociente de 56 por 8 es 7.
Un número que se puede representar mediante fracciones de números enteros se llama número racional . El conjunto de fundamentos se denota con ℚ.
Existe una definición más general y abstracta de fracciones. Si es un dominio de integridad , se puede crear el cuerpo de las fracciones de A . Sus elementos se anotan (por analogía con las fracciones de números enteros relativos ) y tienen las mismas propiedades operativas (suma, producto, simplificación, ...) que las fracciones de ℚ.
Una fracción es una unperformed división entre dos números enteros relativos n y d ≠ 0. Se representa como sigue:
o o .Ejemplo : 3 ⁄ 7 significa que dividimos 3 entre 7; pronunciamos esta fracción “ tres séptimos ”.
Si comemos 3 ⁄ 7 de un pastel, el numerador 3 indica el número de porciones que comemos mientras que 7 indica el número total de porciones, por lo tanto, la unidad considerada.
También a veces encontramos la notación
n : do
n ÷ del colon o el obelus reemplazando la barra de fracción.
Se dice que una fracción es impropia cuando el valor absoluto del numerador es mayor que el del denominador.
Definiciones alternativasSi la noción de fracción es una etapa importante de la comprensión matemática en un nivel elemental, tiene poco uso en una teoría general.
El Diccionario de Matemáticas define la fracción como "sinónimo de un número racional" .
Esta definición tiene varios inconvenientes. Todos están de acuerdo en que 3 ⁄ 4 es una fracción y 6 ⁄ 8 es otra fracción, que sin embargo denota el mismo número racional. La igualdad del racional denotado por la fracción no siempre es obvia, como para 57 ÷ 437 y 3 ÷ 23 . La definición también limita el caso en el que el numerador y el denominador son números enteros. Pero la misma notación se usa comúnmente con números reales, como π ⁄ 2 o √3 ⁄ 2 ; estas expresiones obedecen las mismas reglas de combinación y simplificación que las fracciones.
En Francia, las autoridades educativas definen la fracción de la siguiente manera: “si una y b denotan dos números enteros ( un ∈ , b ∈ ), la fracción de un / b es la escritura de un ser matemático llamado racional , pero n 'no es un matemático ser; la escritura a se llama "numerador", la escritura b "denominador"; la barra, horizontal u oblicua, se llama "línea de fracción" y es equivalente a un signo de división "
Esta definición también plantea algunas dificultades pedagógicas. Si la fracción fuera una escritura simple, no podríamos convertirla en uno de los términos de una operación con números. Sin embargo, debemos entender la expresión 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 4 = 3 ⁄ 4 .
Stella Baruk propone reducir estas dificultades cuidando hablar de fracciones equivalentes cuando denotan un mismo número racional y de escritura fraccionaria cuando el numerador o el denominador no es un número entero, y que por tanto, no existe. .Para comprender y establecer las reglas para el manejo de fracciones, existen dos métodos diferentes. El primero es hacer uso de la geometría . La fracción representa una parte del área de una figura geométrica o la longitud de un lado de un polígono , a menudo un triángulo . Demostrar las leyes que gobiernan las fracciones equivale a hacer geometría y medir áreas o longitudes. Este enfoque se describe en el artículo Álgebra geométrica .
Otro enfoque es de naturaleza puramente algebraica . Los números racionales se construyen de manera abstracta a partir de clases de equivalencia de enteros . La suma y multiplicación de números enteros son compatibles con la clase de equivalencia, que equipa todas las fracciones con suma y multiplicación natural. Esta construcción permite establecer las leyes que rigen el comportamiento de las fracciones.
El enfoque elegido aquí corresponde al primero descrito y es puramente geométrico. Los métodos utilizados se aplican a fracciones de números enteros. La geometría ofrece otro método, permitiendo generalizar los resultados al caso de fracciones de dos números reales positivos. Se describe en el artículo Álgebra geométrica .
El objetivo aquí es visualizar una fracción n / d .
La fracción se puede representar mediante un dibujo. A menudo, una forma geométrica que se divide en varias partes.
Fracciones de las cuales n < dEl denominador d indica el número de partes iguales a dibujar en la forma geométrica y el numerador n indica el número de partes iguales utilizadas.
Por ejemplo, elijamos un rectángulo como forma geométrica y la fracción 3 ⁄ 4 . El denominador es 4, por lo que el rectángulo se dividirá en 4 partes iguales.
El numerador es 3, por lo que solo se utilizarán 3 partes iguales.
Esta fracción será equivalente al cociente de n / d , (que representará el número de unidades) seguido de una fracción compuesta por el resto de la división para el numerador y d para el denominador.
Por ejemplo, para la fracción 7/3, toda la división da 2, queda 1. El cociente es 2 por lo tanto 2 unidades, el resto 1 por lo tanto 2 1/3. Es imposible representar este tipo de fracción mediante un solo diagrama, por lo que usaremos varias formas geométricas similares:
Para tomar 2 ⁄ 3 de 750, dividimos 750 entre 3, luego multiplicamos el resultado por 2:
750 ÷ 3 = 250; 250 × 2 = 500. Entonces 2 ⁄ 3 de 750 = 500Sacar a ⁄ b de c es como dividir c entre by multiplicar el todo por a. O más simplemente, cuando conocemos las reglas de cálculo para fracciones, tomar a ⁄ b de c es como multiplicar a ⁄ b por c. De manera más general, vemos que el "de" se reemplaza por una multiplicación. Es lo mismo cuando calculamos el 75% de c, solo tenemos que calcular el 75% multiplicado por c. De hecho, el 75% es una fracción: 75% = 75 ⁄ 100 = 0,75.
Si multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número, obtenemos una fracción equivalente .
Ejemplo: (hemos multiplicado 2/3 por 2/2)
En general, las fracciones n ⁄ d y n ' ⁄ d' son equivalentes tan pronto como n × d '= d × n'.
porque (estos dos productos se denominan productos cruzados).Algunas fracciones se pueden simplificar, es decir, n y d se pueden dividir por el mismo número, pero lo más grande posible. Este número se llama el GCD ( máximo común divisor ) de n y d . Después de la reducción, se dice que la fracción es irreducible .
Para realizar algunas operaciones entre fracciones, todos los denominadores de las fracciones deben ser iguales. Para hacer esto, reemplace cada fracción con una fracción equivalente, asegurándose de que todos los denominadores sean iguales. Este denominador será el número más pequeño posible divisible por cada denominador. Este número se llama PPCM ( mínimo común múltiplo ) de los denominadores. La operación se llama reducción al mismo denominador .
Ejemplo:
Nota: también puede utilizar la escritura decimal como 1/4 = 0,25 y 2/5 = 0,4, 0,25 <0,4 por lo que 1 ⁄ 4 < 2 ⁄ 5 .
Cada fracción tiene una expansión decimal periódica finita o infinita que se obtiene estableciendo la división de n por d .
1/4 = 0,25 2/3 = 0, 6 66 ... (período 6) 17/7 = 2, 428571 428571 ... (período 428571)Por el contrario, cualquier número que sea decimal o que tenga una expansión decimal periódica se puede escribir como una fracción.
Caso de número decimalBasta tomar como numerador el número decimal desprovisto de su punto decimal y como denominador 10 n donde n es el número de dígitos después del punto decimal:
Caso de expansión decimal ilimitadaEmpezamos ocupándonos de toda la parte: 3, 45 45 ... = 3 + 0, 45 45 ...
Caso de expansión decimal periódica simpleUn número periódico simple es un número decimal en el que el período comienza inmediatamente después del punto decimal. 0,666 ... o 0,4545 ... o 0,108108 ...
Para el numerador, basta con utilizar el período, mientras que el denominador estará compuesto por tantos 9 como dígitos haya componiendo el período.
Por ejemplo, para 0.4545 ... el período es 45 y está compuesto por dos dígitos, obtenemos la fracción 45/99 = 5/11.
Por lo tanto: 3.4545 ... = 3 + 5/11 = 38/11.
De lo contrario, sea x = 0.4545454545 ...
100 x = 45.4545454545 ... = 45 + x por lo tanto 100 x - x = 45.4545454545 ... - 0.4545454545 ... = 45 por lo tanto 99 x = 45 por lo tanto x = 45/99.
Caso de expansión decimal periódica mixtaUn número decimal periódico mixto es un número decimal en el que el período no comienza inmediatamente después del decimal, por ejemplo: 0.8333 ... o 0.14666 ...
Para encontrar el numerador de la fracción, reste el valor mixto del valor mixto seguido del primer punto. En cuanto al denominador, estará compuesto por tantos 9 como dígitos haya componiendo el período, seguido de tantos ceros como dígitos haya después del punto decimal que componen el valor mixto.
Ejemplo: 0.36981981 ...
valor mixto: 36
Valor mixto seguido del primer punto: 36981
Numerador = 36981 - 36 = 36945
En el valor 0.36981981 ..., el período 981 está compuesto por 3 dígitos por lo que el denominador estará compuesto por una serie de tres 9 seguidos de dos ceros ya que el valor mixto 36 está compuesto por dos dígitos. Finalmente obtenemos 0.36981981 ... = 36945/99900 = 821/2220.
Ejemplo 2 .
Simplemente sume o reste el numerador de cada fracción y mantenga el denominador común.
Ejemplo de una suma:
Ejemplo de una diferencia:
Para un denominador diferenteAntes de realizar la operación, cada fracción debe transformarse en una fracción equivalente cuyo denominador les sea común.
Ejemplo:
La multiplicación de dos fracciones es fácil de hacer, pero no es fácil entender por qué funciona de esta manera. Por ejemplo,
Aquí hay una explicación basada en una comprensión intuitiva de las fracciones. Podemos entender cuatro quintos como cuatro veces un quinto (ver representaciones gráficas arriba) o como . Entonces multiplicar por es realizar .
Sin embargo, multiplicado por un quinto cantidades a dividir por 5, es decir que para multiplicar el denominador por 5 (Las unidades son 5 veces más pequeña), a saber: .
La división es el reverso de la multiplicación. Algorítmicamente, cuando dividimos por una fracción, reemplazamos la división por la multiplicación mientras invertimos la fracción que sigue. Por ejemplo :
Para fracciones racionales, o más generalmente para el campo de fracciones de un anillo conmutativo, la noción de denominador y numerador mantiene el mismo significado.
Mientras que los franceses usan fácilmente números decimales, los anglosajones a menudo prefieren expresar partes no enteras por fracciones, sin duda debido a la diferencia cultural (piense, por ejemplo, en la popularidad del sistema métrico y el sistema imperial en dos culturas). Por ejemplo, dirán que una persona mide 5 pies 5 ⁄ 8, no 5,625 pies.
El término fracción , aparecido en Francia al final del XII ° siglo, es un derivado de la baja América fractio - "acción de ruptura" - utilizado en la terminología matemática medieval de la "división". Este término en sí mismo proviene del latín clásico frangere - "romper" - que proviene de la raíz indoeuropea ° bhreg que tiene el mismo significado y de la cual deriva la raíz gótica brikan que da ruptura en inglés y brechen en alemán.
Las fracciones que una vez fueron llamados números rotos , término todavía se utiliza en el 18 º siglo, por ejemplo en la Enciclopedia .