Método cardán

El método de Cardan , propuesto por Girolamo Cardano en su libro Ars Magna , publicado en 1545 , es un método para resolver ecuaciones polinómicas de tercer grado . Sin embargo, Cardan se habría apropiado del método robándolo deliberadamente a Niccolò Fontana dit Tartaglia ("El tartamudo").

Este método hace que sea posible obtener fórmulas, llamadas fórmulas de propulsión , dando como una función de p y q las soluciones de la ecuación:

{\ Displaystyle z ^ {3} + pz + q = 0}

Permite demostrar que las ecuaciones de grado 3 se pueden resolver mediante radicales. Solo las ecuaciones de grado 1, 2, 3, 4 pueden resolverse por radicales en todos los casos, es decir que solo estas ecuaciones tienen métodos generales de resolución dando las soluciones según los coeficientes del polinomio utilizando solo las cuatro operaciones habituales. sobre números racionales, y la extracción de raíces n - ésimas .

Fórmulas cardán

Teorema - Las complejas soluciones de la tercera ecuación de grado , donde los coeficientes p y q son reales , están dadas por ${\ Displaystyle z_ {k} \ \ left (0 \ leq k \ leq 2 \ right)}$ ${\ Displaystyle z ^ {3} + pz + q = 0}$

{\ Displaystyle z_ {k} = u_ {k} + v_ {k}}

con

{\ Displaystyle u_ {k} = \ mathrm {j} ^ {k} ~ {\ sqrt [{3}] {{\ frac {1} {2}} \ left (-q + {\ sqrt {\ frac { - \ Delta} {27}}} \ right)}}}

y $3 u k v k = - p$ , por lo tanto

{\ Displaystyle v_ {k} = \ mathrm {j} ^ {- k} ~ {\ sqrt [{3}] {{\ frac {1} {2}} \ left (-q - {\ sqrt {\ frac {- \ Delta} {27}}} \ right)}}}

donde $Δ = - (4 p 3 + 27 q 2 )$ es el discriminante de la ecuación y donde . ${\ Displaystyle \ mathrm {j} = \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} \ pi / 3}}$

Si $Δ> 0$ , entonces hay tres soluciones reales distintas.
Si $Δ = 0$ , entonces una solución es múltiple y todas son reales.
Si $Δ <0$ , entonces una solución es real y las otras dos son conjugados complejos.

Nota 1 : al establecer $p = 3 p '$ , $q = 2 q'$ y $Δ = 4 \times 27 Δ '$ , obtenemos

{\ Displaystyle \ Delta ^ {\ prime} = - \ left (q ^ {\ prime 2} + p ^ {\ prime 3} \ right), u_ {k} = \ mathrm {j} ^ {k} {\ sqrt [{3}] {- q ^ {\ prime} + {\ sqrt {- \ Delta ^ {\ prime}}}}}, v_ {k} = \ mathrm {j} ^ {- k} {\ sqrt [{3}] {- q ^ {\ prime} - {\ sqrt {- \ Delta ^ {\ prime}}}}}.}

Si partimos de la ecuación general , $a$ $\neq 0$ , volvemos a la forma reducida planteando: $ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0$

{\ Displaystyle x = z - {\ frac {b} {3a}}, \ qquad p = - {\ frac {b ^ {2}} {3a ^ {2}}} + {\ frac {c} {a }} \ qquad {\ text {et}} \ qquad q = {\ frac {b} {27a}} \ left ({\ frac {2b ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {9c} {a}} \ right) + {\ frac {d} {a}}}

La prueba de las fórmulas se da a continuación en el párrafo “Principio del método” , pero primero detallamos sus consecuencias según el signo de $Δ$ .

Observación 2 : un método más simple, la sustitución de Viète , da como resultado las mismas fórmulas que el de Cardan.

Si $Δ$ es negativo

La ecuación tiene entonces una solución real y dos complejos . Nosotros posamos

{\ Displaystyle u = {\ sqrt [{3}] {\ frac {-q + {\ sqrt {\ frac {- \ Delta} {27}}}} {2}}} \ quad {\ mbox {y} } \ quad v = {\ sqrt [{3}] {\ frac {-q - {\ sqrt {\ frac {- \ Delta} {27}}}} {2}}}, \ qquad {\ mbox {ya sea todavía}} \ qquad u = {\ sqrt [{3}] {- q '+ {\ sqrt {- \ Delta'}}}} \ quad {\ mbox {y}} \ quad v = {\ sqrt [{ 3}] {- q '- {\ sqrt {- \ Delta'}}}}}

La única solución real es entonces $z 0 = u + v$ . También hay dos soluciones complejas combinadas entre sí:

{\ Displaystyle {\ begin {cases} z_ {1} = \ mathrm {j} u + {\ overline {\ mathrm {j}}} v \\ z_ {2} = \ mathrm {j} ^ {2} u + {\ overline {\ mathrm {j} ^ {2}}} v \ end {casos}} \ qquad \ mathrm {o {\ grave {u}}} \ qquad \ mathrm {j} = - {\ frac { 1} {2}} + \ mathrm {i} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} {\ frac {2 \ pi} {3} }} \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ mathrm {j} ^ {2} = - {\ frac {1} {2}} - \ mathrm {i} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} {\ frac {4 \ pi} {3}}}}

Si $Δ$ es cero

Si $p = q = 0$ , la ecuación tiene 0 como una solución triple.

De lo contrario, $p$ y $q$ son ambos no cero. La ecuación tiene dos soluciones reales , una simple y una doble:

{\ begin {cases} z_ {0} = 2 {\ sqrt [{3}] {{\ frac {-q} 2}}} = {\ frac {3q} p} \ z_ {1} = z_ {2 } = - {\ sqrt [{3}] {{\ frac {-q} 2}}} = {\ frac {-3q} {2p}} \ end {cases}}

Si $Δ$ es positivo

Entonces, la ecuación tiene tres soluciones reales . Sin embargo, es necesario hacer una incursión en los complejos para encontrarlos todos (ver el § “Nota histórica” ). Las soluciones son las sumas de dos complejos conjugados $j k u$ y donde y , sea el siguiente conjunto: ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathrm {j} ^ {k} u}}}$ ${\ Displaystyle u = {\ sqrt [{3}] {\ frac {-q + \ mathrm {i} {\ sqrt {\ frac {\ Delta} {27}}}} {2}}}}$ ${\ Displaystyle k \ in \ {0,1,2 \}}$

{\ Displaystyle {\ begin {cases} z_ {0} = u + {\ overline {u}} \\ z_ {1} = \ mathrm {j} u + {\ overline {\ mathrm {j} u}} \ \ z_ {2} = \ mathrm {j} ^ {2} u + {\ overline {\ mathrm {j} ^ {2} u}} \ end {cases}}}

La forma real de las soluciones se obtiene escribiendo $j k u$ en la forma trigonométrica , lo que da:

{\ Displaystyle z_ {k} = 2 {\ sqrt {\ frac {-p} {3}}} \ cos {\ left ({\ frac {1} {3}} \ arccos {\ left ({\ frac { 3q} {2p}} {\ sqrt {\ frac {3} {- p}}} \ right)} + {\ frac {2k \ pi} {3}} \ right)} \ qquad {\ mbox {with} } \ qquad k \ in \ {0,1,2 \}}

Principio del método

Considere la siguiente ecuación general de tercer grado: $ax 3 + bx 2 + cx + d = 0$ .

Preguntando

{\ Displaystyle x = z - {\ frac {b} {3a}}}

volvemos a una ecuación de la forma

z ^ {3} + pz + q = 0

Ahora vamos a establecer $z = u + v$ con complejos $u$ y $v$ , para tener dos incógnitas en lugar de una y así darnos la posibilidad de establecer posteriormente una condición en $u$ y $v$ que permita simplificar el problema. La ecuación $z 3 + pz + q = 0$ se convierte entonces en

(u + v) ^ {3} + p (u + v) + q = 0

Esta ecuación se convierte en la siguiente forma:

u ^ {3} + v ^ {3} + 3uv ^ {2} + 3vu ^ {2} + p (u + v) + q = 0

u ^ {3} + v ^ {3} + (3uv + p) (u + v) + q = 0

La condición de simplificación anunciada será entonces $3 uv + p = 0$ . Lo que nos da por un lado $u 3 + v 3 + q = 0$ y por otro lado $uv = - pag / 3$ , que, al elevar las dos extremidades a la potencia de 3, da $u 3 v 3 = - p 3 / 27$ .

Finalmente obtenemos el sistema suma-producto de las siguientes dos incógnitas $u 3$ y $v 3$ :

{\ Displaystyle {\ begin {cases} u ^ {3} + v ^ {3} & = - q \\ u ^ {3} v ^ {3} & = - {\ frac {p ^ {3}} { 27}}. \ End {cases}}}

Siendo las incógnitas $u 3$ y $v 3$ dos complejos de los que conocemos la suma y el producto, son por tanto las soluciones de la ecuación cuadrática:

{\ Displaystyle X ^ {2} + qX - {\ frac {p ^ {3}} {27}} = 0}

El discriminante de esta ecuación cuadrática es y las raíces son $\ delta = q ^ {2} -4 \ times 1 \ times {\ frac {-p ^ {3}} {27}} = q ^ {2} + {\ frac {4} {27}} p ^ { 3}$

{\ Displaystyle {\ begin {cases} u ^ {3} = {\ frac {-q + {\ sqrt {\ delta}}} {2}} {\ text {et}} v ^ {3} = {\ frac {-q - {\ sqrt {\ delta}}} {2}} & {\ text {si}} \ delta {\ text {es positivo}} \\ u ^ {3} = {\ frac {-q + \ mathrm {i} {\ sqrt {- \ delta}}} {2}} {\ text {et}} v ^ {3} = {\ frac {-q- \ mathrm {i} {\ sqrt {- \ delta}}} {2}} & {\ text {si}} \ delta {\ text {es negativo}} \\ u ^ {3} = v ^ {3} = {\ frac {-q} {2 }} & {\ text {si}} \ delta {\ text {es nulo.}} \ end {cases}}}

Tenga en cuenta que el discriminante $Δ$ de la ecuación de tercer grado $z 3 + pz + q = 0$ está relacionado con el discriminante $δ$ anterior por la relación $Δ = -27δ$ .

Entonces es suficiente asociar las tres raíces cúbicas de $u 3$ y $v 3 de$ dos en dos para obtener tres pares $( u , v )$ tales que $uv = - pag / 3$ , luego para informar los tres pares de valores encontrados para $u$ y $v$ en la expresión $z = u + v$ . En todos los casos, la solución que se muestra en el cuadro anterior se obtiene en función del discriminante $Δ$ .

Finalmente, volvemos al primer cambio de variable $x = z - B / 3 a$ tener las tres raíces de la ecuación de tercer grado planteadas al principio. Podemos notar que este tipo de método muestra que a veces es necesario trabajar en un cuerpo de número mayor que el que contiene las variables del problema para encontrar la solución: aquí a pesar de que las entradas (los coeficientes) son reales, Hay que pasar por los complejos para encontrar todas las soluciones reales. Sin embargo, como vimos anteriormente, también es posible permanecer en reales, accediendo a utilizar funciones trigonométricas (que ya conocían los algebristas italianos); la explicación de la eficacia de este segundo método sólo la dará Euler .

Ejemplos de

Hay muchos ejemplos disponibles en manuales y en la web .

Generalización a cualquier campo

Fórmulas de propulsión en cualquier campo conmutativa: Generalización - Las soluciones de tercer grado ecuación $z$ $3$ $+$ $pz$ $+$ $q$ $= 0$ , donde los coeficientes $p$ y $q$ pertenecen a un campo conmutativa K con una característica diferente de 2 y 3, se dan en una cierre algebraico K de K por las mismas fórmulas que arriba , donde $j$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad. Elegimos las dos raíces cúbicas para que su producto sea igual a $-$ $p$ $/ 3$ . Estas tres soluciones son distintas si y sólo si $Δ \neq 0$ y todos ellos pertenecen a tres K , es necesario que $Δ$ es el cuadrado de un elemento K . $z _ {{k}} \ \ left (0 \ leq k \ leq 2 \ right)$

Demostración

La prueba de las fórmulas de Cardan, en el caso general aquí considerado, es idéntica a la dada anteriormente en el párrafo “Principio del método” . Sean las tres raíces (no necesariamente distintas) de la ecuación. El discriminante viene dado por $z_i$ $\ left (0 \ leq i \ leq 2 \ right)$

{\ Displaystyle \ Delta = \ prod \ limits _ {0 \ leq i <k \ leq 2} \ left (z_ {i} -z_ {k} \ right) ^ {2}}

Por lo tanto, si las tres raíces pertenecen a K , $Δ$ es un cuadrado en K . Está claro que las tres raíces son distintas si, y solo si, $Δ \neq 0$ .

Ejemplo:

En el campo finito ℤ / 13ℤ, para resolver la ecuación $z 3 + 2 z + 6 = 0$ , calculamos sucesivamente $-Δ = 3 = 4 2$ , luego $- q + 4 / 2 = -1$ , por lo tanto $u 0 = -1$ y $v 0 = - p / (3 u 0 ) = 5$ (porque en ℤ / 13ℤ, 3 × 5 = 2 entonces 2/3 = 5). Con $j$ = 3 y $j$ 2 = –4, las tres soluciones son, por tanto, $z 0$ = –1 + 5 = 4, $z 1$ = 3 × (–1) - 4 × 5 = 3 y $z 2$ = –4 × (- 1) + 3 × 5 = 6.

Nota histórica

El método fue descubierto por primera vez en 1515 por el matemático italiano Scipione del Ferro , y él lo mantuvo en secreto. El matemático italiano Tartaglia lo supo alrededor de 1535. En ese momento, los matemáticos se desafiaban entre sí para resolver ecuaciones de tercer grado, y Tartaglia las resolvió todas. Desconcertado, Cardan le preguntó si había encontrado un método. Después de que le preguntaran y le aseguraran que Cardan no se lo revelaría a nadie, Tartaglia se lo encomendó. Cardan lo publicó en 1545, generalizándolo a los casos en los que era necesario introducir raíces cuadradas de números negativos. Por tanto, es el primero en haber utilizado números complejos, no sin cierta aprensión.

Estas fórmulas ahora se denominan a menudo fórmulas Tartaglia-Cardan.

El uso de fórmulas de Cardán a veces requiere el uso de números complejos , incluso para encontrar soluciones reales. De hecho, los números imaginarios nacieron precisamente en esta ocasión.

En el ejemplo $z 3 = 15 z + 4$ o bien $z 3 - 15 z - 4 = 0$ , tenemos $p$ = –15 y $q$ = –4, por lo tanto: $u 3 v 3 = 15 3 / 27 = 125$ y $u 3 + v 3 = 4$ por lo tanto $u 3$ y $v 3$ son raíces de la ecuación $X 2 - 4 X + 125 = 0$ , cuyas raíces no "existen". Sin embargo, existe una solución $z$ para la ecuación inicial: es $z = 4$ . Es Raphaël Bombelli quien superará esta dificultad proponiendo por primera vez un cálculo sobre números imaginarios. La resolución formal de la ecuación $X 2 - 4 X + 125 = 0$ da raíces y , sin embargo, Bombelli nota que el cubo de vale y que el cubo de vale . Él deduce eso y aquello y finalmente encuentra como solución $z$ $=$ $u$ $+$ $v$ $= 4$ . $u ^ {3} = 2 + {\ sqrt {-121}} = 2 + 11 {\ sqrt {-1}}$ $v ^ {3} = 2 - {\ sqrt {-121}} = 2-11 {\ sqrt {-1}}$ $2 + {\ sqrt {-1}}$ $2 + {\ sqrt {-121}}$ $2 - {\ sqrt {-1}}$ $2 - {\ sqrt {-121}}$ $u = 2 + {\ sqrt {-1}}$ $v = 2 - {\ sqrt {-1}}$

Nacen los números imaginarios.

Un método fue desarrollado por Ludovico Ferrari (en 1545), luego generalizado por Bombelli (en 1572) para la resolución radical de la ecuación general del cuarto grado ( ecuación cuártica ). Como sabemos, la resolución por radicales ya no es posible para la ecuación general de grado mayor o igual a 5 ( teorema de Abel-Ruffini ).

Notas y referencias

(en) John J. O'Connor y Edmund F. Robertson , “cuadráticas, ecuaciones de tercer y cuarto” , en MacTutor Historia de las Matemáticas archivo , Universidad de St. Andrews ( leer en línea ).
H. Weber " Fórmula Cardan modificada Cayley " Nuevos anales matemáticos , Serie 3 E , Volumen 14 (1895), p. 347-349 .
(en) David A. Cox , Teoría de Galois , John Wiley & Sons ,2012, 2 nd ed. ( leer en línea ) , pág. 18-19.
Para obtener más detalles, siga el enlace en la parte inferior de la página a la lección sobre Wikiversity .
(en) Saunders Mac Lane y Garrett Birkhoff , Álgebra , AMS ,1999, 3 e ed. ( 1 st ed. 1967), 626 p. ( ISBN 978-0-8218-1646-2 , leer en línea ), § XIII.1. La restricción sobre la característica del cuerpo se debe a que hay divisiones entre 2 y entre 3. Se notará que en el caso clásico , el resultado es un poco más preciso. ${\ Displaystyle K = \ mathbb {R}}$
Podemos, como arriba , establecer $p = 3 p '$ , $q = 2 q'$ , etc.
A. Dahan-Dalmedico y J. Peiffer , Routes et mazes , coll. "Estudios vivos",mil novecientos ochenta y dos[ detalle de ediciones ] , pág. 98.
No está claro si el descubrimiento de Del Ferro llegó a Tartaglia por una ruta compleja o si reinventó el método.
(en) BL van der Waerden , A History of Algebra , Springer,1985( ISBN 3-642-51601-7 ).
Nicolas Bourbaki , Elementos de la historia de las matemáticas [ detalle de las ediciones ], “Polinomios y campos conmutativos”.
Jean Itard , "Ecuaciones algebraicas", Encyclopædia Universalis .

Ver también

enlaces externos

Un nuevo método de resolver las ecuaciones del 3 º grado, galardonado con una mención especial (que no debe confundirse con el precio en sí) cuando Fermat Precio junior 1995
Resolución de las ecuaciones algebraicas de grado 3 y 4 en el lugar del bicentenario del nacimiento de Évariste Galois .
(en) "Fórmula de Cardano" , en Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea )
Conferencia de Xavier Buff en Math Park , Xavier Buff da una conferencia en el Instituto Henri Poincaré para estudiantes de secundaria como parte del parque de matemáticas enfebrero 2015donde explica el método de Cardan aplicado ax 3 -3x + 1 = 0 y estudia un fractal .

Bibliografía

(en) IJ Zucker, “ La ecuación cúbica: una nueva mirada al caso irreductible ” , The Mathematical Gazette (en) , vol. 92, n o 524,2008, p. 264-268 ( DOI 10.2307 / 27821778 , leer en línea )
(en) Edgar Rechtschaffen, “ Raíces reales de cúbicos: fórmula explícita para cuasi-soluciones ” , The Mathematical Gazette , vol. 92, n o 524,2008, p. 268–276 ( JSTOR 27821779 )