Conjunto de Mandelbrot

En matemáticas , el conjunto de Mandelbrot es un fractal definido como el conjunto de puntos c del plano complejo para el cual la secuencia de números complejos definida por inducción por:

\ begin {cases} z_0 = 0 \ z_ {n + 1} = z_n ^ 2 + c \ end {cases}

está acotado .

El decorado de Mandelbrot fue descubierto por Gaston Julia y Pierre Fatou antes de la Primera Guerra Mundial . Su definición y nombre actual se deben a Adrien Douady , en homenaje a las representaciones realizadas por Benoît Mandelbrot en los años ochenta . Este conjunto permite indicar los conjuntos de Julia : a cada punto del plano complejo corresponde un conjunto de Julia diferente. Los puntos del conjunto de Mandelbrot corresponden precisamente a los conjuntos de Julia conectados , y los de fuera corresponden a los conjuntos de Julia no relacionados. Por lo tanto, este conjunto está íntimamente ligado a los conjuntos de Julia, también producen formas igualmente complejas.

Las imágenes del conjunto de Mandelbrot se producen atravesando los números complejos sobre una región cuadrada del plano complejo y determinando para cada uno de ellos si el resultado tiende al infinito o no cuando se itera una operación matemática . Consideramos la parte real e imaginaria de cada número complejo como coordenadas y cada píxel se colorea según la velocidad de divergencia , o si no diverge.

Las imágenes del conjunto de Mandelbrot exhiben un elaborado límite que revela gradualmente detalles recurrentes cada vez más finos con un aumento creciente. El límite del conjunto se compone de versiones más pequeñas de la forma principal, por lo que la propiedad fractal de auto-semejanza se aplica a todo el conjunto (no solo a partes de él).

El conjunto de Mandelbrot se ha popularizado fuera de las matemáticas, como inspiración artística y como ejemplo de una estructura compleja que surge de la aplicación de reglas simples. Es uno de los ejemplos más conocidos de visualización matemática.

Histórico

El conjunto de Mandelbrot tiene sus orígenes en las dinámicas complejas , un área despejada por los matemáticos franceses Pierre Fatou y Gaston Julia a principios del XX ° siglo.

La primera representación de este conjunto aparece en 1978 en un artículo de Robert W. Brooks y Peter Matelski.

El 1 st de marzo de 1980, el centro de Thomas J. Watson de IBM Research (en el Estado de Nueva York ), Benoit Mandelbrot obtuvo por primera vez, una visualización de ordenador del conjunto. Mandelbrot estudia el espacio de parámetros de polinomios cuadráticos complejos en un artículo publicado en 1980.

En 1984, el estudio del decorado de Mandelbrot realmente comenzó con el trabajo de Adrien Douady y John H. Hubbard , quienes establecieron sus propiedades fundamentales y nombraron el decorado en honor a Mandelbrot.

En 1985, los matemáticos Heinz-Otto Peitgen (en) y Peter Richter popularizaron el set de Mandelbrot con imágenes de calidad que impresionan a todos.

En el número de agosto de 1985 de la revista Scientific American , el conjunto de Mandelbrot se presenta al público en general como "el objeto matemático más complejo jamás descubierto" y presenta el algoritmo que permite rastrearlo uno mismo. La portada de este número utiliza una imagen creada por Peitgen.

El trabajo de Douady y Hubbard coincidió con un interés considerable en la dinámica compleja, y el estudio del conjunto de Mandelbrot ha sido el foco de atención en este campo desde entonces. Entre los matemáticos que hicieron una contribución significativa al estudio de este conjunto, debemos citar a Tan Lei , Mikhail Lyubich (de) , Curtis T. McMullen , John Milnor , Mitsuhiro Shishikura (en) y Jean-Christophe Yoccoz .

Propiedades

Definición

La teoría general desarrollado por Pierre Fatou y Gaston Julia a principios del XX XX siglo, asociado con cualquier función (suficientemente periódica ) f ( z , c ) (con argumentos y valores complejos ) el conjuntos de Julia J c , definido (para una c fijo ) como la frontera del conjunto de unos complejos de tal manera que la secuencia definida por z 0 = una y z n 1 = f ( z n , c ) sigue siendo limitada (en módulo ); para la función particular f ( z , c ) = z 2 + c , definimos el conjunto de Mandelbrot M como el conjunto de c para el cual J c está conectado . Fatou y Julia han demostrado que esta definición es equivalente a la dada en la introducción, es decir, que c pertenece a M si y solo si la secuencia ( z n ) definida por z 0 = 0 y z n + 1 = z n 2 + c permanece acotado (en módulo); permaneciendo en los números reales , son por lo tanto los puntos de coordenadas ( a , b ) tales que las dos secuencias ( x n ) e ( y n ) definidas por la recurrencia x 0 = y 0 = 0 y x n +1 = x n 2 - y n 2 + a ; y n +1 = 2 x n y n + b permanecen acotados.

Barrera de módulo igual a 2

Si la secuencia de módulos de z n es estrictamente mayor que 2 para un cierto índice, entonces esta secuencia aumenta a partir de este índice y tiende hacia el infinito .

Demostración

Sea α la raíz positiva de la ecuación α 2 = α + | c | (por lo tanto α ≥ 1). Estableciendo x n = | z n | - α, tenemos:

α + x n +1 ≥ (α + x n ) 2 - | c |,

por tanto, x n +1 ≥ 2α x n .

En consecuencia, si, para un determinado índice k , | z k | > α entonces, a partir de este índice, la secuencia ( x n ) aumenta geométricamente .

Esto tiene lugar en particular, para | c | > 2, tan pronto como k = 1 pero también, para | c | ≤ 2, tan pronto como para un determinado k , | z k | > 2.

Para que la secuencia ( z n ) esté acotada, es suficiente que no tienda al infinito, y debe permanecer acotada por 2 (en módulo). Esto proporciona dos definiciones del conjunto de Mandelbrot equivalentes al que se da en la introducción, y demuestra además que este conjunto está incluido en el disco cerrado con centro 0 y radio 2.

Geometría elemental

El conjunto M de Mandelbrot es compacto , simétrico con respecto al eje real y contiene el disco cerrado con centro 0 y radio 1/4.

Su intersección con el eje real es el segmento [–2, 1/4].

Demostración

Denotemos ( z n ( c )) la secuencia asociada con un complejo cy para cualquier número entero n > 0, M n el conjunto de puntos c para los cuales | z n ( c ) | ≤ 2. Del párrafo anterior, M es la intersección de la secuencia de M n (podemos, de paso, deducir también que esta secuencia es decreciente). Ahora M 1 es un disco cerrado, por lo tanto, un compacto del plano, y cada M n está cerrado , como una imagen recíproca de M 1 por la función polinomial c ↦ z n ( c ). De ello se deduce que M es compacto.

Las funciones c ↦ z n ( c ) siendo polinomios con coeficientes reales, todos los M n como así como M son estables por conjugación compleja , que se traduce geométricamente por la simetría de la M n y de M con respecto al eje real.

Si | c | ≤ 1/4 entonces, por inducción, | z n ( c ) | ≤ media para todos n de modo c pertenece a M .

Queda por dilucidar la situación si c es un número real tal que 1/4 <| c | ≤ 2.

si -2 ≤ c ≤ 0 (es decir, si c 2 + c ≤ - c ) a continuación, por inducción, c ≤ z n ( c ) ≤ - c para todo n , por lo tanto c pertenece a M .
para cualquier verdadero c , z n 1 ( c ) - z n ( c ) ≥ c - 1/4 tan si c > 1/4 entonces c no pertenece a M .

Nota. Todas las raíces de los polinomios c ↦ z n ( c ) están en M . De hecho, si z r ( c ) = 0 entonces la secuencia de z n ( c ) tiene el período r, por lo tanto, acotado.

Su superficie se estima en torno a 1.506 591 77 ± 0.000 000 08 .

Su centro de gravedad se estima en la posición real –0,286 768 3 ± 0,000 000 1.

La estructura principal destacable es la ecuación cardioide central, central y polar . También podemos citar el círculo con centro y radio . ${\ Displaystyle A \ left ({\ frac {1} {4}}, 0 \ right)}$ ${\ Displaystyle \ rho (\ theta) = {\ frac {1} {2}} \ left (1- \ cos \ theta \ right)}$ ${\ Displaystyle B (-1,0)}$ $1/4$

Conectividad

Douady y Hubbard demostraron, en 1985, que el todo estaba conectado. Este resultado no fue evidente a partir de la observación de las primeras parcelas de Mandelbrot, que revelaron "islas" aparentemente separadas del resto. Para hacer esto, han demostrado que el complemento del conjunto de Mandelbrot es conforme isomorfo al complemento en ℂ del disco unitario .

Conjeturamos que el conjunto de Mandelbrot está conectado localmente .

Autosimilitud

El conjunto de Mandelbrot se asemeja a sí mismo en las proximidades de los puntos Misiurewicz (en) . Estos puntos son densos en todo el borde del conjunto. Conjeturamos que también es autosimilar, en el límite, alrededor de los puntos de Feigenbaum (por ejemplo: −1.401 155 o −0.152 8 + 1.039 7 i).

Versiones más pequeñas del conjunto de Mandelbrot aparecen a lo largo de todo su borde, con infinitos aumentos, con ligeras diferencias.

El conjunto de Mandelbrot no es, en general, estrictamente autosimilar.

Universalidad

El conjunto M de Mandelbrot tiene un carácter universal para muchas funciones holomórficas . Las copias de M son visibles en los límites de sus cuencas de atracción , es decir, conjuntos de c para los cuales las iteraciones f ( f (… f ( z )))) convergen hacia un complejo dado. Aquí hay algunos ejemplos, con funciones trascendentes :

$z \ mapsto \ cos (z) + c$ (función coseno)
$z \ mapsto {\ rm e} ^ {- z ^ 2} + c$ (Función gaussiana)

También encontramos M durante la iteración de una familia de funciones cúbicas como , por el método de Newton . El conjunto de puntos no converge hacia una raíz de este polinomio toma la forma M . $z \ mapsto z ^ 3 + (\ lambda-1) z- \ lambda$ $\ lambda$

Una vez más, la auto-semejanza no es estricta.

El conjunto de puntos que no convergen, para una función cúbica, por el método de Newton.
Puntos de no convergencia para iteraciones de f (z, c) = cos (z) + 1 / c, región [-0.09: -0.07] x [0.345: 0.36].

Dimensión de Hausdorff

La dimensión de Hausdorff del límite del conjunto de Mandelbrot es 2. Este resultado fue demostrado en 1990 por Mitsuhiro Shishikura. No sabemos si este borde tiene una medida de Lebesgue positiva (superficie).

Vínculo con la ecuación logística

Los parámetros de M , en el intervalo real [–2, 1/4], se pueden poner en correspondencia biunívoca con los de la ecuación logística : la correspondencia viene dada por: $z \ mapsto \ lambda z (1-z), \ quad \ lambda \ in [1,4],$ $c = \ frac \ lambda2 \ left (1- \ frac \ lambda2 \ right).$

Enlace con conjuntos de Julia

El conjunto de Mandelbrot M se puede definir como el conjunto de complejos c para los que se conecta el conjunto de Julia correspondiente, J c . Pero, específicamente, tenemos (al límite) identidad entre J c y M en la vecindad de c , donde c pertenece a la frontera M . Por tanto, existe una estrecha correspondencia entre la geometría del conjunto de Mandelbrot en un punto dado y la estructura del conjunto de Julia que le corresponde. Por ejemplo, un punto está en el conjunto de Mandelbrot exactamente donde está conectado el conjunto de Julia correspondiente .

Este principio se explota en muchas pruebas y descubrimientos profundos en el conjunto de Mandelbrot. Por ejemplo, Mitsuhiro Shishikura demostró que el borde del conjunto de Mandelbrot tiene una dimensión de Hausdorff de 2 y que el conjunto de Julia correspondiente a un punto de este borde también tiene una dimensión de 2.

Jean-Christophe Yoccoz demostró que el conjunto de Julia es un espacio conectado localmente para ciertos parámetros, antes de establecerlo también para el conjunto de Mandelbrot en los puntos correspondientes a estos parámetros.

Brotes, antenas y periodicidades

El conjunto de Mandelbrot muestra una serie de estructuras en forma de yema que rodean una estructura principal en forma de cardioide .

El cardioide es el conjunto de puntos c que convergen hacia un punto fijo (período 1). Estos son los puntos del formulario para todo lo que pertenece al disco unitario. ${\ Displaystyle c = {\ frac {\ mu} {2}} \ left (1 - {\ frac {\ mu} {2}} \ right)}$ $\ mu$
La yema principal, a la izquierda del cardioide, se le adjunta en el punto c = –3/4. Se trata de un disco centrado en c = –1 y de radio 1/4. Se trata del conjunto de parámetros de puntos que, en el límite, convergen hacia un ciclo de período 2.
Las otras yemas tangentes al cardioide son los puntos que admiten otras periodicidades. Para cualquier número racional p / q, con p y q primo entre ellos, existe una tangente brote casi circular a la cardioide en el punto . Cada uno de estos brotes se denomina "brote p / q ". Este es el conjunto de puntos de parámetros que convergen hacia un ciclo de período q . ${\ Displaystyle c_ {p / q} = {\ frac {e ^ {2 \ pi ip / q}} {2}} \ left (1 - {\ frac {e ^ {2 \ pi ip / q}} { 2}} \ derecha)}$
Finalmente, cada brote en sí mismo tiene brotes, representativos de una periodicidad diferente, según el mismo esquema. Por ejemplo, la yema a la izquierda de la yema grande del período 2 tiene una periodicidad del período 4. La yema inmediatamente a su izquierda es del período 8, luego 16, etc., siguiendo así el patrón de duplicación del período del diagrama de bifurcación de la ecuación logística.

Los cogollos también están coronados por filamentos en forma de antena. El número de antenas está directamente relacionado con la periodicidad de la yema. Por lo tanto, contar el número de antenas permite determinar la periodicidad del brote.

Dibuja el conjunto

Vimos anteriormente que tan pronto como el módulo de z n es estrictamente mayor que 2, la secuencia diverge hasta el infinito y, por lo tanto, c está fuera del conjunto de Mandelbrot. Esto nos permite detener el cálculo de los puntos que tienen un módulo estrictamente mayor que 2 y que, por lo tanto, están fuera del conjunto de Mandelbrot. Para los puntos del conjunto de Mandelbrot, el cálculo nunca llegará a su fin, por lo que debe detenerse después de un cierto número de iteraciones determinadas por el programa. Como resultado, la imagen mostrada es solo una aproximación de la imagen real.

Aunque matemáticamente irrelevante, la mayoría de los programas que generan fractales muestran puntos fuera del conjunto de Mandelbrot en diferentes colores . El color atribuido a un punto que no pertenece al conjunto depende del número de iteraciones al final de las cuales la secuencia correspondiente se declara divergente hacia el infinito (por ejemplo, cuando el módulo es estrictamente mayor que 2). Esto da como resultado varias zonas concéntricas, que rodean el conjunto de Mandelbrot. Los más distantes están formados por los puntos c para los que la secuencia ( z n ) tiende “más rápidamente” hacia el infinito. Estas distintas zonas delimitan de forma más o menos precisa el conjunto de Mandelbrot.

Por tanto, el número máximo de iteraciones influye fuertemente en la representación del conjunto de Mandelbrot. De hecho, si la forma básica del conjunto no varía excesivamente de 100 iteraciones, no es igual para todos los centros y todos los zooms de este conjunto.

Optimizaciones

Brote cardioide / principal

Una forma de acotar los cálculos es encontrar de antemano los puntos pertenecientes al cardioide y al brote principal, es decir el disco central (–1, 0) y el radio 1/4. Estos puntos son particularmente costosos en los cálculos, ya que pertenecen al conjunto de Mandelbrot y, por lo tanto, requieren subir al máximo de iteraciones. Antes de pasar un punto de coordenadas en el algoritmo iterativo, es necesario comprobar: $x + iy$

si con entonces el punto pertenece al cardioide, por lo tanto al conjunto de Mandelbrot; ${\ Displaystyle x <p-2p ^ {2} + {\ frac {1} {4}}}$ ${\ Displaystyle p = {\ sqrt {\ left (x - {\ frac {1} {4}} \ right) ^ {2} + y ^ {2}}}}$
si entonces el punto pertenece al disco con centro (–1, 0) y radio 1/4, es decir a la yema principal, y por tanto al conjunto de Mandelbrot. ${\ displaystyle (x + 1) ^ {2} + y ^ {2} <{\ frac {1} {16}}}$

Los demás cogollos no tienen prueba equivalente, ya que no son perfectamente circulares. No obstante, es posible comprobar si un punto pertenece a un círculo que sabemos que está inscrito en uno de estos botones, lo que permite que la mayoría de los puntos de este último no inicien el algoritmo iterativo.

Algoritmo de perturbación

Es posible reformular la ecuación principal, para razonar sobre la diferencia de evolución respecto a un punto vecino. Este método permite reducir estas diferencias a una precisión baja (alrededor de veinte dígitos significativos), en el dominio de las unidades de cálculo de coma flotante de hardware de la computadora, que son mucho más rápidas que las bibliotecas aritméticas de precisión múltiple que no lo son. . De este modo, el conjunto se calcula a partir de uno (o más) puntos de referencia, calculados de forma absoluta. $\ Delta _ {n}$

Si razonamos en términos absolutos, los números utilizados para el cálculo del conjunto pueden llegar a miles de cifras significativas para niveles de zoom grandes, y aumentar más con el zoom. Con este algoritmo, la velocidad de cálculo permanece relativamente constante dependiendo del nivel de zoom, y la velocidad de cálculo depende más de la complejidad de la escena.

Este algoritmo es la base de uno de los programas de cálculo más rápidos del conjunto de Mandelbrot en 2017 : Kalles Fraktaler .

Principio:

${\ Displaystyle X_ {n + 1} = X_ {n} ^ {2} + X_ {0}}$

${\ Displaystyle Y_ {n + 1} = Y_ {n} ^ {2} + Y_ {0}}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {n} = Y_ {n} -X_ {n}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta _ {n + 1} = Y_ {n + 1} -X_ {n + 1} & = (Y_ {n} ^ {2} + Y_ {0}) - ( X_ {n} ^ {2} + X_ {0}) \\ & = ((X_ {n} + \ Delta _ {n}) ^ {2} + X_ {0} + \ Delta _ {0}) - (X_ {n} ^ {2} + X_ {0}) \\ & = (X_ {n} ^ {2} + 2X_ {n} \ Delta _ {n} + \ Delta _ {n} ^ {2} + X_ {0} + \ Delta _ {0}) - (X_ {n} ^ {2} + X_ {0}) \\ & = 2X_ {n} \ Delta _ {n} + \ Delta _ {n} ^ {2} + \ Delta _ {0} \ end {alineado}}}$

Todos ellos , calculados a partir de las referencias almacenadas, son de baja precisión, lo que permite utilizar las unidades de cálculo de punto flotante del hardware del ordenador para las operaciones más numerosas y costosas. $\ Delta _ {n}$ $X_ {n}$

El cálculo se puede optimizar aún más expresando utilizando la aproximación: $\ Delta _ {n}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {n} = A_ {n} \ Delta _ {0} + B_ {n} \ Delta _ {0} ^ {2} + C_ {n} \ Delta _ {0} ^ {3} + o (\ Delta _ {0} ^ {4})}$

con no dependiente , sino solo de (serie del punto de referencia a partir del cual se calculan las perturbaciones). ${\ Displaystyle A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}}$ $\ Delta _ {n}$ $X_ {n}$

Entonces, una vez calculado y memorizado para el punto de referencia ( ), podemos buscar directamente cualquier punto vecino (variando ), mediante búsqueda dicotómica , lo que provoca la divergencia de la secuencia (ya que no tenemos necesidad de calcular ) y el cálculo de un punto se realiza con una complejidad en el tiempo en lugar de , siendo el número máximo de iteraciones. ${\ Displaystyle A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ Delta _ {0} = 0}$ $\ Delta _ {0}$ $\ Delta _ {n}$ ${\ Displaystyle \ Delta _ {n-1}}$ $\ Delta _ {n}$ ${\ Displaystyle O (\ log {N})}$ $NOSOTROS)$ $NO$

Un zoom comentado

El conjunto de Mandelbrot debe mucho su popularidad a la variedad y belleza de sus estructuras y la profundidad infinita de sus detalles, pero también a la posibilidad de explorarlo usted mismo utilizando los numerosos programas disponibles en la actualidad.

La secuencia de exploración comentada a continuación es un zoom profundo hacia el valor de c = –0.743643887037151 + 0.13182590420533i, a través de una serie de patrones característicos. La relación de aumento entre la última y la primera imagen es de alrededor de 60 mil millones (si la última imagen fuera de tamaño completo, la primera sería un poco diez veces la distancia Tierra-Luna). La secuencia completa (y su continuación hasta un aumento de aproximadamente 10 30 ) se puede ver en la animación de al lado.

Paso	Descripción
	El set inicial de Mandelbrot. Haremos zoom sobre el valle entre el cardioide y el brote principal.
	Este valle ha sido bautizado como "valle de los caballitos de mar".
	A la izquierda, dobles espirales, a la derecha los “caballitos de mar”. Hacemos zoom en uno de ellos.
	Un "caballito de mar", al revés. Este hipocampo está formado por 25 "antenas" que constan de 2 grupos de 12 y un filamento conectado al cardioide. Deducimos que el brote que la puerta tiene una periodicidad de 25. El punto de encuentro de estas antenas es un " punto de Misiurewicz (in) ". En la antena más larga, la que conduce a la "cola" del hipocampo, podemos reconocer una copia reducida del conjunto de Mandelbrot, también llamado "satélite". Ahora nos estamos acercando a la cola del caballito de mar.
	El final de la cola, enrollado en espiral, también es una puntada de Misiurewicz. Hacemos zoom en la parte superior de la imagen.
	Una sección de la cola. Esta compleja estructura está formada por un solo camino que conduce al final de la cola. El conjunto de Mandelbrot es un conjunto simplemente conectado , lo que significa que no hay bucles ni islas. Acerquémonos al centro de la imagen.
	Aparece un segundo “satélite” (o “minibrot”), en el corazón de esta encrucijada. Un ejemplo de auto-semejanza: el borde del conjunto de Mandelbrot contiene una infinidad de copias de sí mismo. Sea cual sea el lugar que acerquemos, siempre encontraremos al menos uno. Las dos espirales son el comienzo de una serie de anillos concéntricos, con el satélite en su centro. Hacemos zoom en este satélite.
	Cada una de estas coronas está formada por espirales similares. Su número aumenta en potencias de 2, un fenómeno típico del entorno satelital. El camino hasta el final de la cola entra en el satélite a través del punto de inflexión del cardioide y sale por el final de su antena.
	La antena de satélite. Podemos distinguir varios satélites de segundo orden. Acerquémonos en la parte superior derecha de la imagen.
	El "valle de los caballitos de mar" del satélite. Todas las estructuras ya encontradas anteriormente reaparecen.
	Espirales dobles y caballitos de mar. A diferencia del primer valle, este está poblado, además, de estructuras espirales ligeras. En un satélite de orden n coexisten n + 1 tipos de estructuras diferentes. Para este satélite de orden 1 coexisten por tanto 2 tipos diferentes de estructuras. Hacemos zoom en una doble espiral, a la izquierda del valle.
	Doble espiral con satélites de segundo orden. Ahora estamos haciendo zoom en una de las estructuras dentadas blancas en la parte superior derecha de la imagen.
	Estas estructuras de luz recuerdan a las de algunos decorados de Julia. Una vez más, este patrón muy torturado consta de un solo filamento. Hacemos zoom en el "doble gancho" que se puede ver a la derecha de la imagen.
	Este doble anzuelo recuerda, una vez más, la forma en espiral de la cola de un caballito de mar. Hacemos zoom en el motivo central.
	Aparecen islotes, como el polvo de Cantor . La forma general es la de un conjunto de Julia J c . Sin embargo, a diferencia de un conjunto de Julia, estos puntos están todos conectados, porque todavía estamos en el conjunto de Mandelbrot. La forma general de este conjunto no es la del conjunto de Julia asociado con esta posición. Este es el conjunto de Julia que habríamos obtenido si hubiéramos seleccionado, al comienzo de nuestra exploración, un punto cerca de una espiral doble en lugar de un caballito de mar. Estas estructuras están conectadas a una estructura central que podríamos descubrir si lleváramos la ampliación aún más lejos. En teoría, el aumento podría ser infinito y revelar incesantemente nuevas estructuras. Para ver más, haga clic en la animación en la parte superior derecha de esta sección.

Generalizaciones y variantes

El conjunto de Mandelbrot se puede generalizar para potencias d mayores que 2 para z ↦ z d + c . Estas generalizaciones a veces se denominan " multibrot ", pero para algunos autores (como McMullen) el término "conjunto de Mandelbrot" también debería referirse a estas generalizaciones.

Poder 3
Poder 4
Poder 5
Poder 6

Una modificación del método de rastreo, propuesto por Melinda Green en 1993, conduce a una variante llamada " Buddhabrot ". Vemos la densidad de los puntos visitados por las órbitas correspondientes a los valores de c que divergen, por tanto elegidos fuera del conjunto de Mandelbrot.

En 3 dimensiones, no hay una estructura corporal comparable a la de los números complejos, por lo que no hay una extensión "natural". Sin embargo, tenga en cuenta la extensión de Daniel White

(2009) llamado “ Mandelbulb . "

En 4 dimensiones, la extensión natural al campo de los cuaterniones fue estudiada por John Holbrook en 1987. Se trataron otros resultados teóricos para el conjunto cuaterniónico de Mandelbrot (ver video ) definido con un polinomio cuadrático de la forma . ${\ Displaystyle q ^ {2} + c}$

En 2000, Dominic Rochon utilizó el anillo conmutativo de números bicomplejos para dar una nueva versión del conjunto de Mandelbrot en dimensión tres y cuatro. De su obra surge el “Tetrabrot” .

También es posible generalizar más y, en su lugar, considerar iteraciones arbitrarias . ${\ Displaystyle z_ {n + 1} = f (z_ {n}, c)}$

Una variante de f (z, c) = cos (z / c)
f (z, c) = senh (z) + 1 / c²
f (z, c) = cos (z) + 1 / c
f (z, c) = c z-1 e -c (integrando de la función Gamma)
f (z, c) = sinh (z) + 1 / c k (k varía entre 0,1 y 10)
f (z, c) = z² + sen (c 3 )
f (z, c) = z² + c 3 -δ, con δ≈-1.401155 el punto de Feigenbaum
f (z, c) = z² + (c 3 + 0,7-0,2i) 3 + i (acercar 0,36 + 0,7i)

Referencias culturales

El conjunto de Mandelbrot es uno de los objetos matemáticos más populares y conocidos. Es mencionado por varios artistas, en libros o música en particular:

La música de Jonathan Coulton Mandelbrot Set es un homenaje al conjunto de Mandelbrot en sí ya su “padre”, Benoît Mandelbrot. La letra recuerda entre otras cosas la definición por recurrencia del todo.
El segundo libro en el modo de serie (libras) ( pulgadas ) de Piers Anthony , "Modo Fractal", describe un mundo que es un modelo 3D perfecto del todo.
La novela de Arthur C. Clarke " El fantasma de las profundidades " contiene un lago artificial creado para reproducir la forma del conjunto de Mandelbrot.
El cantante de heavy metal surcoreano Norazo (en) realizó un video musical Ni za pal is (your fate), que comienza con un hipnótico video del set de Mandelbrot.
El álbum Darling de Jupiter de la banda de rock estadounidense Heart presenta un conjunto de Mandelbrot en su portada. El conjunto se gira para que el cardioide esté hacia arriba y la figura parezca un corazón.

Software generador de fractales

ChaosPro - (propietario - para Windows)
FractaNep (gratis - para Windows)
Fractile Plus (gratis para iOS)
Fractint (propietario - portado a muchas plataformas)
Gecif
Gnofract 4D - (potente y rápido - para Linux, FreeBSD o Mac OS X)
Kalles Fraktaler (gratis - para Windows)
Mandelbulb 3D (gratis para muchas plataformas, ejemplo de realización: Video )
XaoS ( Software libre - Licencia GPL , para Windows , Mac OS X , Linux y sistemas similares a Unix )

Notas y referencias

Ver sobre este tema: Jean-Pierre Louvet los fractales en el sitio de la ciencia futura; de hecho, la primera descripción precisa del conjunto parece debida a Brooks y Matelski (ver la sección histórica ).
(en) Robert Brooks y Peter Matelski, La dinámica de los subgrupos de 2 generadores de PSL (2, C) , en " Riemann Surfaces and Related Topics ", ed. Kra y Maskit, Ann. Matemáticas. Semental. 97, 65–71 ( ISBN 0-691-08264-2 ) .
(in) RP Taylor y JC Sprott , " Fractales biofílicos y el viaje visual de los protectores de pantalla orgánicos " , Dinámica no lineal, psicología y ciencias biológicas , Sociedad para la teoría del caos en psicología y ciencias biológicas , vol. 12, n o 1,2008( leer en línea ).
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Adrien Douady y John H. Hubbard, Estudio dinámico de polinomios complejos , Preprints matemáticos de Orsay 2/4 (1984/1985).
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Video: https://www.youtube.com/watch?v=s0UjELAUMjE .

Ver también