Transformación Z

El transformar ación Z es una herramienta matemática para el automático y el procesamiento de señales , que es el equivalente discreto de la transformada de Laplace . Se transforma una señal de dominio de tiempo real en una señal representada por una serie compleja y llamó transformar ed Z .

Se utiliza entre otras cosas para el cálculo de filtros digitales con respuesta de impulso infinito y en modo automático para modelar sistemas dinámicos de forma discreta.

Definición

Su definición matemática es la siguiente: la transformación en Z es una aplicación que transforma una secuencia s (definida en enteros) en una función S de una variable compleja denominada z , tal que

S(z)=Z{s(no)}=∑no=-∞+∞s(no)z-no,z∈{z∈VS|∑no=-∞+∞s(no)z-novsonovmirgramomi}{\ Displaystyle S (z) = {\ mathcal {Z}} \ {s (n) \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} , \ quad z \ in \ left \ lbrace z \ in \ mathbb {C} {\ Big |} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} \ quad \ mathrm {converger} \ right \ rbrace}

La variable n generalmente representa un tiempo discretizado, la variable compleja z es solo un ser matemático. Cuando trabajamos en s ( n ) decimos que estamos en el dominio del tiempo , cuando trabajamos en S ( z ) el dominio se llama frecuencia por analogía con la transformada de Fourier.

Sí , estamos hablando de una señal causal. Por el contrario, sí , estamos hablando de una señal anti-causal. ∀no<0, s(no)=0{\ Displaystyle \ forall n <0, \ s (n) = 0}∀no>0, s(no)=0{\ Displaystyle \ forall n> 0, \ s (n) = 0}

Para señales causales, también podemos usar la transformada Z monolateral  :

Z+{s(no)}=∑no=0+∞s(no)z-no{\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {+} \ left \ {s \ left (n \ right) \ right \} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} s \ left (n \ right) z ^ {- n}}

Existencia de la transformada en Z

El dominio de convergencia es el subconjunto en el que converge la serie . En otras palabras, el dominio de convergencia de la transformada en la secuencia es el conjunto: VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}}
z{\ Displaystyle z}(X(no))no∈Z{\ Displaystyle (x (n)) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}

{z∈VS|∑no=-∞∞X(no)z-nomiXIstmi}{\ Displaystyle \ left \ {z \ in \ mathbb {C} {\ Big |} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ quad \ mathrm { existe} \ right \}}

El subconjunto en el que esta serie converge absolutamente se denomina corona de convergencia . Posando , viene:VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}}z=ρmiIθ {\ Displaystyle z = \ rho e ^ {i \ theta} ~}

|S(z)|=|∑no=-∞∞X(no)z-no|⩽∑no=-∞∞|X(no)|ρ-no=limNO,METRO→∞SNO,METRO(ρ),{\ Displaystyle | S (z) | = \ left | \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ right | \ leqslant \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | x (n) \ right | \ rho ^ {- n} = \ lim _ {N, M \ rightarrow \ infty} S_ {N, M} \ left (\ rho \ derecho),} con SNO,METRO(ρ)=∑no=-NOMETRO|X(no)|ρ-no.{\ Displaystyle S_ {N, M} \ left (\ rho \ right) = \ sum _ {n = -N} ^ {M} \ left \ vert x (n) \ right \ vert \ rho ^ {- n} .}

El dominio de la convergencia absoluta de es, por tanto, una corona S(z){\ Displaystyle S (z)}

VSvs={z∈VS:ρ1≺|z|≺ρ2}{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c} = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}: \ rho _ {1} \ prec \ left \ vert z \ right \ vert \ prec \ rho _ {2} \ right \}}

donde significa cada vez o y donde la desigualdad (amplia o estricta) (resp. ) es la condición necesaria y suficiente para que tenga un límite finito cuando (resp. ) tiende hacia . Explícitamente, ≺{\ Displaystyle \ prec}<{\ Displaystyle <}≤{\ Displaystyle \ leq}|z|≻ρ1{\ Displaystyle \ left \ vert z \ right \ vert \ succ \ rho _ {1}}|z|≺ρ2{\ Displaystyle \ left \ vert z \ right \ vert \ prec \ rho _ {2}}SNO,METRO(ρ){\ Displaystyle S_ {N, M} \ left (\ rho \ right)}METRO{\ Displaystyle M}NO{\ Displaystyle N}+∞{\ Displaystyle + \ infty}

ρ1=lim supno→+∞|X(no)|no,ρ2=lim infno→+∞1|X(-no)|no.{\ Displaystyle \ rho _ {1} = \ limsup _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ sqrt [{n}] {\ left \ vert x (n) \ right \ vert}}, \ quad \ rho _ {2} = \ liminf _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {\ sqrt [{n}] {\ left \ vert x (-n) \ right \ vert}}}.}

En el resto del artículo, se supone que la corona de convergencia no está vacía y las transformadas en Z son válidas solo para . VSvs{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}z∈VSvs{\ Displaystyle z \ in {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}

Propiedades de transformación Z

Mostramos las propiedades listadas a continuación:

Linealidad

La transformada Z de una combinación lineal de dos señales es la combinación lineal de las transformadas Z de cada señal.

Z{a1X1(no)+a2X2(no)}=a1Z{X1(no)}+a2Z{X2(no)} {\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {a_ {1} x_ {1} (n) + a_ {2} x_ {2} (n) \} = a_ {1} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {1} (n) \} + a_ {2} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {2} (n) \} \}Cambio de hora

El desplazamiento en el tiempo de k muestras de una señal da como resultado la multiplicación de la transformada Z de la señal por z −k .

Z{X(no-k)}=z-kZ{X(no)}. {\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x (nk) \} = z ^ {- k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \}. ~}Avanzado

Cuando usamos la transformación Z monolateral (ver arriba), obtenemos

Z+{X(no+k)}=zk[Z+{X(no)}-∑j=0k-1X(j)z-j]{\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {+} \ left \ {x \ left (n + k \ right) \ right \} = z ^ {k} \ left [{\ mathcal {Z}} _ { +} \ left \ {x \ left (n \ right) \ right \} - \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} x \ left (j \ right) z ^ {- j} \ right] }Circunvolución

La transformada Z de un producto de convolución es el producto de las transformadas Z

Z{X∗y}=Z{X}Z{y} {\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x * y \} = {\ mathcal {Z}} \ {x \} {\ mathcal {Z}} \ {y \} \}

donde . (X∗y)(no)=∑k=-∞+∞X(no-k)y(k){\ Displaystyle \ left (x * y \ right) \ left (n \ right) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (nk \ right) y \ left (k \ derecho)}

En efecto,

Z({X∗y})(z)=∑no=-∞+∞{X⋆y}(no)z-no=∑no=-∞+∞∑k=-∞+∞X(no-k)y(k)z-(no-k)z-k=∑metro=-∞+∞∑k=-∞+∞X(metro)y(k)z-metroz-k=(∑metro=-∞+∞X(metro)z-metro)(∑k=-∞+∞y(k)z-k){\ Displaystyle {\ begin {array} {rcl} Z \ left (\ left \ {x * y \ right \} \ right) \ left (z \ right) & = & \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ left \ {x \ star y \ right \} \ left (n \ right) z ^ {- n} \\ & = & \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (nk \ right) y \ left (k \ right) z ^ {- (nk)} z ^ {-k} \\ & = & \ sum \ limits _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (m \ right) y \ left (k \ right) z ^ {- m} z ^ {- k} \\ & = & \ left (\ sum \ limits _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (m \ right) z ^ {- m} \ right) \ left (\ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} y \ left (k \ right) z ^ {- k } \ right) \ end {array}}}Multiplicación por exponencial Z{anoX(no)}=X(za){\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {a ^ {n} x (n) \} = X \ left ({\ frac {z} {a}} \ right)}con transformar en Z de lo siguienteX(z){\ Displaystyle X (z)}X(no){\ Displaystyle x (n)} Multiplicación por la variable de evolución

De manera general :

Z{nokX(no)}=(-zDDz)kZ{X(no)} {\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {n ^ {k} x (n) \} = \ left (-z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ right ) ^ {k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \} \}

donde significa que aplicamos k veces al operador(-zDDz)kZ{X(no)}{\ Displaystyle \ textstyle \ left (-z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ right) ^ {k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \ }}Z{X(no)}{\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \}}-zDDz{\ Displaystyle \ textstyle -z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}}}

Si escribimos esta fórmula en el rango k = 1, obtenemos la fórmula de derivación  :

Z{noX(no)}=-zDDzX(z) {\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {nx (n) \} = - z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} X (z) \}

Teorema del valor inicial

Sea una señal causal y su transformada en Z. Entonces: X(no){\ Displaystyle x (n) \,}X(z){\ Displaystyle X (z) \,}

X(0)=limno→0X(no)=limz→+∞X(z){\ Displaystyle x (0) = \ lim _ {n \ a 0} x (n) = \ lim _ {z \ to + \ infty} X (z)}

Teorema del valor final

Considere una señal causal y su transformada en Z. Luego, cuando existe el límite izquierdo, podemos escribir: X(no){\ Displaystyle x (n) \,}X(z){\ Displaystyle X (z) \,}

limno→+∞X(no)=limz→1,|z|>1(z-1)X(z){\ Displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} x (n) = \ lim _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} (z-1) X (z)} Demostración

El teorema del valor inicial tiene una prueba obvia: basta con establecer y reemplazar y por 0 en la expresión para . y=z-1{\ Displaystyle y = z ^ {- 1}}X(y-1){\ Displaystyle X (y ^ {- 1})}

Para el teorema del valor final, tenga en cuenta que el hecho de que exista implica que la secuencia está acotada y, por lo tanto, el radio de convergencia de es menor o igual a 1. Tenemos limno→+∞X(no){\ Displaystyle \ lim \ nolimits _ {n \ rightarrow + \ infty} x (n)}(X(no)){\ Displaystyle (x (n))}ρ1{\ Displaystyle \ rho _ {1}}X(z){\ Displaystyle X (z)}

(z-1)X(z)=limno→∞Sno(z){\ Displaystyle (z-1) X \ left (z \ right) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} \ left (z \ right)}

con

Sno(z)=X(0)z+∑I=1no(X(I)-X(I-1))z-I{\ Displaystyle S_ {n} \ left (z \ right) = x (0) z + \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} \ left (x (i) -x (i-1) \ derecha) z ^ {- i}}

y esta secuencia de funciones es uniformemente convergente al aire libre . Punto 1 pertenece a la adhesión de T y para , converge a . De acuerdo con el "teorema del doble límite", por lo tanto, tenemos U={z∈VS:|z|>1}{\ Displaystyle U = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}: \ left \ vert z \ right \ vert> 1 \ right \}}z→1{\ displaystyle z \ rightarrow 1}Sno(z){\ Displaystyle S_ {n} \ left (z \ right)}X(no){\ Displaystyle x (n)}

limz→1,|z|>1limno→∞Sno(z)=limno→∞(limz→1,|z|>1Sno(z))=limno→∞X(no).{\ Displaystyle \ lim \ limits _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} \ left (z \ right) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ lim \ limits _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} S_ {n} \ left (z \ right) \ derecha) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} x \ left (n \ right).}

Transformación Z inversa

La transformada Z inversa viene dada por:

X(no)=Z-1{X(z)}=12πI∮VSX(z)zno-1Dz {\ Displaystyle x (n) = {\ mathcal {Z}} ^ {- 1} \ {X (z) \} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anint _ {C} X ( z) z ^ {n-1} \ mathrm {d} z \}

donde es un camino cerrado recorrido en sentido antihorario y perteneciente enteramente al dominio de convergencia. VS{\ Displaystyle C}

En la práctica, este cálculo a menudo se realiza utilizando el teorema del residuo y la fórmula se convierte en el caso de una señal causal:

X(no)=∑zk=pago^lmisDmizno-1X(z)Res⁡{zno-1X(z)}z=zk{\ Displaystyle x (n) = \ sum _ {z_ {k} = {\ rm {p {\ hat {o}} les \; de \;}} z ^ {n-1} X (z)} \ nombre de operador {Res} \ {z ^ {n-1} X (z) \} _ {z = z_ {k}} \,}

Otros métodos de reversión Otros métodos de inversión para pasar de a son: leer hacia atrás de la tabla de transformaciones habituales; la aplicación de las reglas de desplazamiento, de combinaciones lineales, de producto de convolución. En la desesperación, siempre se puede intentar proceder por identificación dando z k +1 valores numéricos y buscando los coeficientes x (0) ax (k) que son soluciones de un sistema de k + 1 ecuaciones lineales a k + 1 incógnitas. O intente encontrar una expansión de Taylor o Maclaurin de la función para invertir. Un caso favorable especial surge cuando la función es una fracción racional . De hecho, cuando :, P y Q son dos polinomios en 1 / z, la división se puede realizar hasta el grado de precisión deseado, y los valores numéricos de los coeficientes se obtienen directamente , n variando de 0 am. En este caso, la notación se adopta más en este caso . La razón es que, para sistemas discretos o muestreados, la función de transferencia se escribe h (n) y su transformada en Z a menudo se presenta en esta forma de cociente entre una salida (en z) y una entrada (en z) . Un ejemplo concreto para ilustrar este enfoque:X(z){\ Displaystyle X (z)}X(no){\ Displaystyle x (n)} X(z){\ Displaystyle X (z)}X(z)=PAG(z)Q(z){\ Displaystyle X (z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}X(no){\ Displaystyle x (n)}H(z)=NOUMETRO(z)/DmiNOOMETRO(z) {\ Displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}H(z)=NOUMETRO(z)/DmiNOOMETRO(z) {\ Displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}   Cociente de polinomios en z, aproximación numérica.

Atención, este método es puramente numérico, no proporciona la expresión analítica de la serie inversa. En este ejemplo, H (z) es la relación de dos polinomios en 1 / z. El numerador parece multiplicar por 2 el denominador desplazado por 1 período, pero elegimos valores numéricos algo inexactos para evitar un cociente perfecto igual a 2 / z.

• El numerador, elevado a 11, es una expresión de la forma: NOUMETRO(z)=notumetro0+notumetro1(1/z)1+notumetro2(1/z)2+⋯+notumetro11(1/z)11{\ Displaystyle \ textstyle \ scriptstyle NUM (z) = num_ {0} + num_ {1} (1 / z) ^ {1} + num_ {2} (1 / z) ^ {2} + \ cdots + num_ { 11} (1 / z) ^ {11}} NOUMETRO(z)=0+0(1/z)1+2,3⋅(1/z)2+4,22⋅(1/z)3+6,2⋅(1/z)4+8,21⋅(1/z)5+10,2⋅(1/z)6+12,2⋅(1/z)7+12,22⋅(1/z)8+12,4⋅(1/z)9+12,4⋅(1/z)10+12,4⋅(1/z)11.{\ Displaystyle NUM (z) = 0 + 0 (1 / z) ^ {1} +2,3 \ cdot (1 / z) ^ {2} +4,22 \ cdot (1 / z) ^ {3} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {4} +8.21 \ cdot (1 / z) ^ {5} +10.2 \ cdot (1 / z) ^ {6} +12.2 \ cdot (1 / z) ^ {7} +12.22 \ cdot (1 / z) ^ {8} +12.4 \ cdot (1 / z) ^ {9} +12.4 \ cdot (1 / z) ^ {10} +12.4 \ cdot (1 / z) ^ {11} .}
• El denominador, elevado a 10, es: DmiNOOMETRO(z)=0+1,1⋅(1/z)1+2,1⋅(1/z)2+3,1⋅(1/z)3+4,1⋅(1/z)4+5,1⋅(1/z)5+6,1⋅(1/z)6+6,1⋅(1/z)7+6,2⋅(1/z)8+6,2⋅(1/z)9+6,2⋅(1/z)10.{\ displaystyle DENOM (z) = 0 + 1,1 \ cdot (1 / z) ^ {1} +2,1 \ cdot (1 / z) ^ {2} +3,1 \ cdot (1 / z) ^ {3} +4 , 1 \ cdot (1 / z) ^ {4} +5,1 \ cdot (1 / z) ^ {5} +6,1 \ cdot (1 / z) ^ {6} + 6.1 \ cdot (1 / z) ^ {7} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {8} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {9} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {10}.}
• Aquí la división de los polinomios no "es correcta", nos conformamos con una aproximación del cociente Q (z), de la forma hasta la potencia de 10:
  ∑no≥0qno(1/z)no{\ Displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}}
  

Q(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,007694⋅(1/z)6+0,101526⋅(1/z)7-0,176646⋅(1/z)8+0,061258⋅(1/z)9+0,015904⋅(1/z)10.{\ displaystyle {\ begin {matrix} Q (z) & = 0 + 2,090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot (1 / z) ^ {3} +0.0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0.015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} \\ & + 0.007694 \ cdot (1 / z) ^ {6} +0.101526 \ cdot (1 / z) ^ {7} -0.176646 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0.061258 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0.015904 \ cdot (1 / z ) ^ {10}. \ End {matriz}}}

• El resto R (z) de esta división incompleta es:

R(z)=0+0⋅(1/z)1+0⋅(1/z)2+0⋅(1/z)3+0⋅(1/z)4+0⋅(1/z)5+0⋅(1/z)6+0⋅(1/z)7+0⋅(1/z)8+0⋅(1/z)9+0⋅(1/z)10+0⋅(1/z)11+0,550806⋅(1/z)12-0,413006⋅(1/z)13-0,063683⋅(1/z)14+0,040876⋅(1/z)15-0,052647⋅(1/z)dieciséis-0,011071⋅(1/z)17+0,616793⋅(1/z)18-0,478404⋅(1/z)19-0,098602(1/z)20.{\ Displaystyle {\ begin {matrix} R (z) & = 0 + 0 \ cdot (1 / z) ^ {1} +0 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0 \ cdot (1 / z ) ^ {3} +0 \ cdot (1 / z) ^ {4} +0 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0 \ cdot (1 / z) ^ {6} \\ & + 0 \ cdot (1 / z) ^ {7} +0 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0 \ cdot (1 / z) ^ {10} + 0 \ cdot (1 / z) ^ {11} +0.550806 \ cdot (1 / z) ^ {12} \\ & - 0.413006 \ cdot (1 / z) ^ {13} -0.063683 \ cdot (1 / z) ^ {14} +0.040876 \ cdot (1 / z) ^ {15} -0.052647 \ cdot (1 / z) ^ {16} \\ & - 0.011071 \ cdot (1 / z) ^ {17} +0.616793 \ cdot (1 / z) ^ {18} -0.478404 \ cdot (1 / z) ^ {19} -0.098602 (1 / z) ^ {20}. \ End {matrix}}}

Podemos comprobar en una hoja de cálculo oa mano que estos polinomios cumplen la definición de división euclidiana : H (z) = NUM ​​(z) / DENOM (z) = Q (z) + R (z) / DENOM (z) . Suponemos que el resto es insignificante en comparación con los coeficientes del cociente. Los diagramas de estos diversos polinomios se pueden visualizar en una hoja de cálculo de la siguiente manera.

Por curiosidad podemos mostrar la respuesta al impulso de la aproximación Q (z) de H (z). De manera similar, podemos mostrar la respuesta de índice de Q (z) a un paso de Heaviside.

Si estuviéramos satisfechos con una aproximación menos precisa de H (z) por el cociente Q (z), de la forma

∑no≥0qno(1/z)no{\ Displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}} hasta la potencia de 5 por ejemplo: Q(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,{\ Displaystyle \ textstyle \ scriptstyle Q (z) = 0 + 2,090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot ( 1 / z) ^ {3} +0.0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0.015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0,} obtendríamos curvas de respuesta ligeramente diferentes, mucho menos precisas (imprecisión 6 veces mayor aproximadamente). La elección del grado de aproximación, es decir, del mejor compromiso entre la precisión y la pesadez de los cálculos, viene dictada por el examen concreto del problema específico que nos ocupa.   Proceso por identificación aproximada de los coeficientes de X (z). Para ir de a , si ningún método parece conducir, en la desesperación siempre podemos intentar proceder por identificación dando z k + 1 valores numéricos y buscando los coeficientes x (0) ax (k) que son soluciones de un sistema de k + 1 ecuaciones lineales con k + 1 incógnitas. Ejemplo:X(z){\ Displaystyle X (z)}X(no){\ Displaystyle x (n)}   Uso de fracciones racionales, ejemplo de la función de transferencia de la secuencia de Fibonacci.

La serie generadora de la secuencia de Fibonacci es ∑no∈NOFnoXno=X1-X-X2{\ Displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ mathcal {F}} _ {n} X ^ {n} = {\ frac {X} {1-XX ^ {2}}}} por lo que su transformación en Z es

F(z)=zz2-z-1{\ Displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}}}

Para encontrar la fórmula de Binet , hagamos la transformación inversa. Se puede probar el método de las fracciones racionales. El denominador tiene dos polos, y que son el número de oro  : y lo contrario de su opuesto: . Para los cálculos que se encuentran a continuación, usaremos las siguientes propiedades de y  :, y z0{\ Displaystyle z_ {0}}z1{\ Displaystyle z_ {1}}z0=φ=1+52{\ Displaystyle z_ {0} = \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2}}z1=1-φ=1-52{\ Displaystyle z_ {1} = 1- \ varphi = {1 - {\ sqrt {5}} \ over 2}}z0{\ Displaystyle z_ {0}}z1{\ Displaystyle z_ {1}}z0-z1=(2⋅z0-1)=5{\ Displaystyle z_ {0} -z_ {1} = (2 \ cdot z_ {0} -1) = {\ sqrt {5}}}

(z-z0)⋅(z-z1)=z2-z-1{\ Displaystyle (z-z_ {0}) \ cdot (z-z_ {1}) = z ^ {2} -z-1}.

La función se descompone en fracciones racionales elementales que reescribimos un poco:

F(z)=zz2-z-1=15⋅(z0z-z0-z1z-z1)=15⋅(z0⋅1z-z0-z1⋅1z-z1){\ Displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ cdot \ left ({\ frac { z_ {0}} {z-z_ {0}}} - {\ frac {z_ {1}} {z-z_ {1}}} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}} } \ cdot \ left (z_ {0} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {0}}} - z_ {1} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {1}}} \ derecho)}.

Una fracción del tipo se puede trabajar de la siguiente manera: 1/(z-z0){\ Displaystyle 1 / (z-z_ {0})}

1(z-z0)=z(z-z0)⋅1z{\ Displaystyle {\ frac {1} {(z-z_ {0})}} = {\ frac {z} {(z-z_ {0})}} \ cdot {\ frac {1} {z}} }

La primera parte es la transformada de la fórmula exponencial habitual, siendo la segunda parte 1 / z el retraso puro de una muesca. De modo que la transformada inversa de esta fracción elemental es , aplicando las reglas de combinaciones lineales calculamos la secuencia buscada: z0no{\ Displaystyle z_ {0} ^ {n}}z0no-1{\ Displaystyle z_ {0} ^ {n-1}}

Fno=15(z0⋅z0no-1-z1⋅z1no-1)=15(z0no-z1no).{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left (z_ {0} \ cdot z_ {0} ^ {n-1} -z_ {1} \ cdot z_ {1} ^ {n-1} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left (z_ {0} ^ {n} -z_ {1} ^ {n} \ derecha).}  

Relación con otras transformadas

Transformada de Laplace

Teorema  -  Let x ser una señal, que se presume una función diferenciable de forma indefinida, y (con la sobrescritura, que denota una distribución como una función)

Δ(t)=∑no=-∞∞δ(t-noT){\ Displaystyle \ Delta \ left (t \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (t-nT \ right)}

el peine de Dirac (que pertenece al espacio de distribuciones templadas ). La señal muestreada , definida por , es una distribución que se puede escribir como S′{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xmi=XΔ{\ Displaystyle x_ {e} = x \ Delta}

Xmi(t)=∑no=-∞∞X(noT)δ(t-noT)=∑no=-∞∞X[no]δ(t-noT){\ Displaystyle x_ {e} \ left (t \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) \ delta \ left (t-nT \ right ) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left [n \ right] \ delta \ left (t-nT \ right)}.

La correspondencia es una sobreyección de la banda de convergencia de la transformada de Laplace de la señal muestreada (asumiendo esta banda de convergencia no vacía) en la corona de convergencia de la transformada Z de la secuencia del término general , y tenemos pag↦z=mipagT{\ Displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}} Xmi(pag){\ Displaystyle X_ {e} (p)}Xmi{\ Displaystyle x_ {e}}X(z){\ Displaystyle X (z)}X[no]{\ Displaystyle x [n]}

Xmi(pag)=X(z)|z=mipagT{\ Displaystyle X_ {e} \ left (p \ right) = X \ left (z \ right) \ left \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ right.}. Demostración

Cualquiera perteneciente a la banda de convergencia de . Entonces (con un nuevo abuso de la escritura) pertenece y por definición donde denota la transformada de Fourier . Sea dónde está el espacio de Schwartz de funciones decrecientes (de las cuales es el dual). Tenemos (todavía en escritura incorrecta) pag=α+Iω{\ Displaystyle p = \ alpha + i \ omega}Xmi(pag){\ Displaystyle X_ {e} (p)}mi-αtXmi(t){\ Displaystyle e ^ {- \ alpha t} x_ {e} (t)}S′{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xmi(pag)=F(mi-αtXmi(t))(ω){\ Displaystyle X_ {e} \ left (p \ right) = {\ mathcal {F}} \ left (e ^ {- \ alpha t} x_ {e} \ left (t \ right) \ right) \ left ( \ omega \ right)}F{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}ϕ∈S{\ Displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {S}}}S{\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}S′{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

⟨Xmi(α+Iω),φ(ω)⟩=⟨Xmi(t)mi-αt,(Fφ)(t)⟩=⟨∑no=-∞∞δ(t-noT)X(t)mi-αt,(Fφ)(t)⟩=⟨∑no=-∞∞X(noT)mi-noαTδ(t-noT),(Fφ)(t)⟩=⟨∑no=-∞∞X(noT)mi-noαT(Fδ(t-noT)),φ(ω)⟩=⟨∑no=-∞∞X(noT)mi-noαTmi-IωnoT,φ(ω)⟩=⟨∑no=-∞∞X(noT)mi-no(α+Iω)T,φ(ω)⟩{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ langle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle & = \ left \ langle x_ {e} \ left (t \ right) e ^ {- \ alpha t}, ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (t-nT \ right) x \ left (t \ right) e ^ {- \ alpha t}, ({\ mathcal { F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} \ delta \ left (t-nT \ right), ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} ({\ mathcal {F}} \ delta \ left (t- nT \ right)), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} e ^ {- i \ omega nT}, \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ { n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n (\ alpha + i \ omega) T}, \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \ final {alineado}}}

y por lo tanto

Xmi(pag)=X(z)|z=mipagT{\ Displaystyle X_ {e} (p) = X \ left (z \ right) \ left \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ right.}.

Las igualdad anteriores son válidas porque en cada gancho de dualidad, tenemos a la izquierda una distribución templada y a la derecha una función decreciente; por lo tanto, la sustitución envía la banda de convergencia de de la señal muestreada al anillo de convergencia de . pag↦z=mipagT{\ Displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}}Bvs{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c}}Xmi(pag){\ Displaystyle X_ {e} (p)}Xmi{\ Displaystyle x_ {e}}VSvs{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}X(z){\ Displaystyle X (z)}

Recíprocamente, sea la secuencia de términos generales  ; vamos a poner y . El número complejo pertenece a si, y solo si la secuencia de términos generales pertenece al espacio de "secuencias de crecimiento lento" (es decir, de secuencias a para las que existe un número entero como for . La transformada de Fourier de dicha continuación es la - distribución periódica X[no]{\ Displaystyle x \ left [n \ right]}Xα[no]=X[no]mi-αnoT{\ Displaystyle x _ {\ alpha} \ left [n \ right] = x \ left [n \ right] e ^ {- \ alpha nT}}pag=α+Iω{\ Displaystyle p = \ alpha + i \ omega}z=mipagT{\ Displaystyle z = e ^ {pT}}VSvs{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}Xα[no]{\ Displaystyle x _ {\ alpha} \ left [n \ right]}s′{\ Displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ prime}}k>0{\ Displaystyle k> 0}a[no]=O(nok){\ Displaystyle a \ left [n \ right] = O (n ^ {k})}no→∞{\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}2π/T{\ Displaystyle 2 \ pi / T}

(Fa)(ω)=∑no=-∞∞a[no]mi-InoωT{\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ left (\ omega \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ left [n \ right] e ^ { -en \ omega T}}.

Asociemos la secuencia con la distribución definida (en notación abusiva) por a_{\ Displaystyle {\ underline {a}}}

a_(t)=∑no=-∞∞a[no]δ(t-noT){\ Displaystyle {\ underline {a}} \ left (t \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ left [n \ right] \ delta \ left (t- nT \ right)}.

El mapa es un monomorfismo de en el espacio de distribuciones templadas y la transformada de Fourier es un automorfismo de . Luego obtenemos (todavía en notación abusiva) a↦a_{\ Displaystyle a \ mapsto {\ underline {a}}}s′{\ Displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ prime}}S′{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}S′{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

(Fa)(ω)=a_(t)mi-Iωt{\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ left (\ omega \ right) = {\ underline {a}} \ left (t \ right) e ^ {- i \ omega t}}.

Lo anterior muestra que

⟨Xmi(α+Iω),φ(ω)⟩=⟨(FXα_)(ω),φ(ω)⟩.{\ Displaystyle \ left \ langle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle = \ left \ langle ({\ mathcal {F} } {\ subrayado {x _ {\ alpha}}}) \ izquierda (\ omega \ derecha), \ varphi \ izquierda (\ omega \ derecha) \ derecha \ rangle.}

Recapitulemos: si , entonces , por lo tanto , por lo tanto , por lo tanto (notación abusiva) , por lo tanto . Por tanto, hemos demostrado que la correspondencia es una sobreyección de on . z∈VSvs{\ Displaystyle z \ in {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}(Xα[no])∈s′{\ Displaystyle \ left (x _ {\ alpha} \ left [n \ right] \ right) \ in \ mathbf {s} ^ {\ prime}}Xα_∈S′{\ Displaystyle {\ underline {x _ {\ alpha}}} \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}FXα_∈S′{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} {\ underline {x _ {\ alpha}}} \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xmi(α+Iω)∈S′{\ Displaystyle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right) \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}pag∈Bvs{\ Displaystyle p \ in {\ mathcal {B}} _ {c}}pag↦z=mipagT{\ Displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}}Bvs{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c}}VSvs{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}

Transformada de Fourier y transformada de Fourier discreta

Si el círculo unitario pertenece a la corona de convergencia , la transformada de Fourier de la secuencia se obtiene tomando la restricción de la transformada Z de esta secuencia al círculo unitario, es decir, posando . La transformada de Fourier es de hecho la función -periódica (es -periódica si establecemos y tomamos la pulsación como variable ). Si es una secuencia de números reales, tenemos , por lo tanto, se puede suponer que varía en el intervalo . VSvs{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}(X[no]) {\ Displaystyle (x [n]) \}z=miIθ{\ Displaystyle z = e ^ {i \ theta}}2π{\ Displaystyle 2 \ pi}θ↦X(miIθ){\ Displaystyle \ theta \ mapsto X \ left (e ^ {i \ theta} \ right)}2π/T{\ Displaystyle 2 \ pi / T}θ=ωT{\ Displaystyle \ theta = \ omega T}ω{\ Displaystyle \ omega}(X[no]) {\ Displaystyle (x [n]) \}X(mi-Iθ)=X(miIθ)¯{\ Displaystyle X \ left (e ^ {- i \ theta} \ right) = {\ overline {X \ left (e ^ {i \ theta} \ right)}}}θ{\ Displaystyle \ theta}[0,π[{\ Displaystyle \ left [0, \ pi \ right [}

La transformada de Fourier se puede definir para secuencias de crecimiento lento (entonces es una distribución periódica) y la transformada Z de esta transformada de Fourier más general (ver la demostración anterior). 2π{\ Displaystyle 2 \ pi}

También existe una relación entre la transformada Z y la transformada discreta de Fourier (DFT). El TFD de una señal de soporte se obtiene evaluando en (con ). {Xno}{\ Displaystyle \ left \ {x_ {n} \ right \}}{0,1,...,NO-1}{\ Displaystyle \ left \ {0,1, ..., N-1 \ right \}}X(z){\ Displaystyle X (z)}z=miI2πkNO{\ Displaystyle z = e ^ {i {\ frac {2 \ pi k} {N}}}}k=0,1,...,NO-1{\ Displaystyle \ qquad k = 0,1, ..., N-1}

Transformaciones Z habituales

Abajo, representa el impulso unitario o “secuencia de Kronecker  ” (igual a 1 para y 0 en caso contrario; también se puede escribir , donde está el símbolo de Kronecker ); por otro lado, designa el paso unitario (igual a 1 para ya 0 en caso contrario). δ[no]{\ Displaystyle \ delta [n] \,}no=0{\ Displaystyle n = 0}δ0no{\ Displaystyle \ delta _ {0} ^ {n}}δIj{\ Displaystyle \ delta _ {i} ^ {j}}tu[no]{\ Displaystyle u [n] \,}no≥0{\ Displaystyle n \ geq 0}

Z transforma

	Señal X(no){\ Displaystyle x (n)}	Transformado en Z X(z){\ Displaystyle X (z)}	Área de convergencia
1	δ[no]{\ Displaystyle \ delta [n] \,}	1{\ Displaystyle 1 \,}	VS {\ Displaystyle \ mathbb {C} \}
2	tu[no]{\ Displaystyle u [n] \,}	11-z-1{\ Displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}}}	|z|>1{\ Displaystyle | z |> 1 \,}
3	notu[no]{\ Displaystyle nu [n] \,}	z-1(1-z-1)2{\ Displaystyle {\ frac {z ^ {- 1}} {(1-z ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>1{\ Displaystyle | z |> 1 \,}
4	anotu[no]{\ Displaystyle a ^ {n} u [n] \,}	11-az-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|>|a|{\ Displaystyle | z |> | a | \,}
5	noanotu[no]{\ Displaystyle na ^ {n} u [n] \,}	az-1(1-az-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>|a|{\ Displaystyle | z |> | a | \,}
6	-anotu[-no-1]{\ Displaystyle -a ^ {n} u [-n-1] \,}	11-az-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|<|a|{\ Displaystyle | z | <| a | \,}
7	-noanotu[-no-1]{\ Displaystyle -na ^ {n} u [-n-1] \,}	az-1(1-az-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|<|a|{\ Displaystyle | z | <| a | \,}
8	porque⁡(ω0no)tu[no]{\ Displaystyle \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-z-1porque⁡(ω0)1-2z-1porque⁡(ω0)+z-2{\ Displaystyle {\ frac {1-z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2}}}}	|z|>1{\ Displaystyle | z |> 1 \,}
9	pecado⁡(ω0no)tu[no]{\ Displaystyle \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	z-1pecado⁡(ω0)1-2z-1porque⁡(ω0)+z-2{\ Displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2} }}}	|z|>1{\ Displaystyle | z |> 1 \,}
10	anoporque⁡(ω0no)tu[no]{\ Displaystyle a ^ {n} \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-az-1porque⁡(ω0)1-2az-1porque⁡(ω0)+a2z-2{\ Displaystyle {\ frac {1-az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2 } z ^ {- 2}}}}	|z|>|a|{\ Displaystyle | z |> | a | \,}
11	anopecado⁡(ω0no)tu[no]{\ Displaystyle a ^ {n} \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	az-1pecado⁡(ω0)1-2az-1porque⁡(ω0)+a2z-2{\ Displaystyle {\ frac {az ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2} z ^ {- 2}}}}	|z|>|a|{\ Displaystyle | z |> | a | \,}

Notas y referencias

Notas

1. Bourlès 2010 , §12.3.5
2. Según Lang 1993 , §II.2
3. Bourlès 2010 , §§12.3.5, 12.4.4; Pallu de la Barrière 1966 , Cap. II
4. Bourlès 2010 , §10.2.3
5. Invertimos en una etapa del cálculo y , lo que podemos justificar ( Schwartz 1965 , §V.5)F{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}∑{\ Displaystyle \ sum}
6. Bourlès 2010 , §12.3.2
7. Pallu de la Barrière , 1966 , Cap. 10, § 4, Lema 9.
8. Bourlès 2010 , §§12.3.3, 12.3.5

Referencias

• Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544  p. ( ISBN  978-1-84821-162-9 y 1-84821-162-7 )
• (en) Serge Lang , Análisis complejo (3.a ed.) , Nueva York / Berlín / París, etc., Springer,1993, 458  p. ( ISBN  0-387-97886-0 )
• Robert Pallu de la Barrière , curso de Automática Teórica , Dunod,1966
• Laurent Schwartz , Métodos matemáticos para las ciencias físicas , Hermann,1965

Ver también

• Filtro digital
• Transformación de Laplace # Valor final
• Función de transferencia

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