Espacio medible

Un espacio medible (en teoría de la medición ), también llamado un espacio de probabilidad (en teoría de la probabilidad ), es un par donde es un conjunto y una tribu en . Los elementos de entonces se denominan conjuntos medibles de . (X,A){\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}X{\ Displaystyle X}A{\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}X{\ Displaystyle X}A{\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}X{\ Displaystyle X}

Un espacio medible rara vez se usa solo: la mayoría de las veces se complementa con una medida para construir un espacio medido . μ{\ Displaystyle \ mu} (X,A,μ){\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}

Caso de probabilidades

En la teoría de la probabilidad , se utiliza terminología específica. Un espacio medible se llama espacio de probabilidad , el todo se llama universo y los elementos de la tribu se llaman eventos . (Ω,A){\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}Ω{\ Displaystyle \ Omega}A{\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}

El espacio de probabilidad , una vez completado con una medida de probabilidad (es decir, una medida tal que ) forma un espacio de probabilidad . (Ω,A){\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})} PAG{\ Displaystyle P}PAG(Ω)=1{\ Displaystyle P (\ Omega) = 1} (Ω,A,PAG){\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}

Ejemplos de

Si hay alguno: X{\ Displaystyle X}

• (X,PAG(X)){\ Displaystyle \ left (X, {\ mathcal {P}} (X) \ right)}, donde es el conjunto de partes de es un espacio medible.PAG(X){\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}X{\ Displaystyle X}
• (X,{∅,X}){\ Displaystyle \ left (X, \ {\ varnothing, X \} \ right)}Es un espacio medible, donde está la burda tribu.{∅,Ω}{\ Displaystyle \ {\ varnothing, \ Omega \}}

Si es un espacio topológico , donde está la tribu de Borel de , es un espacio medible. X{\ Displaystyle X}(X,B(X)){\ Displaystyle (X, {\ mathcal {B}} (X))}B(X){\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (X)}X{\ Displaystyle X}

Definiciones alternativas

Algunas fuentes relativamente antiguas ofrecen definiciones ligeramente diferentes: para Paul Halmos , Measure Theory , Van Nostrand,1950, pag. 73, un espacio medible es un conjunto provisto de una unidad de anillo σ ; para Sterling Berberian, Measure and Integration , MacMillan,1965, pag. 35 es un conjunto dotado de un anillo σ (sin condición de existencia de una unidad). Las relaciones entre las tres definiciones se explican en el trabajo de S. Berberian, p. 35-36.