Intervalo espacio-tiempo

El cuadrado del intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos en el espacio-tiempo de relatividad especial o general es equivalente al cuadrado de la distancia geométrica entre dos puntos en el espacio euclidiano . Esta cantidad es invariante por el cambio de marco de referencia del observador .

Cuando el cuadrado del intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos es positivo o cero (el término cuadrado solo se usa aquí formalmente), entonces los dos eventos pueden estar conectados por un vínculo de causa y efecto , y el intervalo de espacio-tiempo (definido por tomando la raíz cuadrada ) permite definir el tiempo adecuado entre estos dos eventos.

Cuando el cuadrado del intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos es estrictamente negativo, entonces ninguno puede ser la causa del otro, y el intervalo de espacio-tiempo no está definido (o en el mejor de los casos como un número imaginario ), pero tomando el cuadrado raíz del opuesto del cuadrado obtenemos la distancia adecuada entre estos eventos.

El cuadrado del intervalo espacio-tiempo sirve como definición de la pseudométrica del espacio de Minkowski en la relatividad especial, así como la pseudométrica infinitesimal en el espacio curvo de la relatividad general.

Expresión de relatividad especial

En el espacio euclidiano tridimensional, el cuadrado de la distancia entre dos puntos A y B de coordenadas ( x A , y A , z A ) y ( x B , y B , z B ) con respecto a un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal es expresado en la forma: Δl{\ Displaystyle \ Delta l}

(Δl)2=(XB-XA)2+(yB-yA)2+(zB-zA)2,{\ Displaystyle \, (\ Delta l) ^ {2} = (x _ {\ text {B}} - x _ {\ text {A}}) ^ {2} + (y _ {\ text {B} } - y_ {\ text {A}}) ^ {2} + (z _ {\ text {B}} - z _ {\ text {A}}) ^ {2} \ ,,}

lo que comúnmente se escribe de una manera más condensada

Δl2=ΔX2+Δy2+Δz2.{\ Displaystyle \ Delta l ^ {2} = \ Delta x ^ {2} + \ Delta y ^ {2} + \ Delta z ^ {2} \,.}

Es obvio que en la física clásica , esta cantidad es invariable por cambio de marco de referencia. Pero este ya no es el caso de la física relativista.

En la geometría del espacio-tiempo de la relatividad especial , escribimos el "cuadrado del intervalo espacio-tiempo", anotado , entre dos eventos A y B de coordenadas ( t A , x A , y A , z A ) y ( t B , x B , y B , z B ) en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones (uno de tiempo, es decir , t , y tres de espacio) en la forma Δs2{\ Displaystyle \ Delta s ^ {2}}

(Δs)2=vs2(tB-tA)2-(XB-XA)2-(yB-yA)2-(zB-zA)2{\ Displaystyle (\ Delta s) ^ {2} = \, c ^ {2} (t _ {\ text {B}} - t _ {\ text {A}}) ^ {2} - (x _ { \ text {B}} - x _ {\ text {A}}) ^ {2} - (y _ {\ text {B}} - y _ {\ text {A}}) ^ {2} - (z _ {\ text {B}} -z _ {\ text {A}}) ^ {2}}

o

Δs2=vs2Δt2-Δl2{\ Displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} \,}

expresión en la que el factor c 2 ( velocidad de la luz al cuadrado) se impone mediante transformaciones de Lorentz o los principios de la relatividad especial, según el método utilizado para justificar su invariancia por cambio de marco de referencia inercial .

La pseudo-métrica , indicada , se define por o de acuerdo con la convención de signos o elegida.  Δs{\ Displaystyle \ \ Delta s} Δs2=-vs2(Δt)2+(ΔX)2+(Δy)2+(Δz)2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = - c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} + (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}} Δs2=vs2(Δt)2-(ΔX)2-(Δy)2-(Δz)2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}}(-;+;+;+){\ Displaystyle (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ Displaystyle \ (+; -; - ;-)}

Invariancia

La invariancia, por cambio de marco de referencia inercial , del cuadrado del intervalo espacio-tiempo es una propiedad central de la relatividad especial . Dependiendo de la presentación elegida, esta invariancia puede plantearse como el axioma fundacional de la teoría, o deducirse directamente de los axiomas originales de la relatividad, a saber, el principio de relatividad y la invariancia de la velocidad de la luz por cambio de marco de referencia inercial , o aún se deduce de las transformaciones de Lorentz que transforman las coordenadas durante un cambio de marco de referencia inercial (estas transformaciones se pueden deducir de los dos principios originales de la relatividad especial). Desde Hermann Minkowski , algunas presentaciones de la teoría eligen una de las dos primeras opciones, adoptando un punto de vista puramente geométrico en la dimensión cuatro (tres del espacio y una del tiempo). La tercera opción corresponde mejor al desarrollo histórico de la teoría.

Una prueba de invariancia de los dos axiomas de la relatividad especial

Los dos axiomas son: el principio de relatividad y la invariancia de la velocidad de la luz por cambio de marco de referencia (inercial, como todos los marcos de referencia aquí considerados).

• Si, en un repositorio, dos eventos están separados de la distancia espacial y la distancia temporal de tal manera que la velocidad de la luz, entonces tenemos: . Δl{\ Displaystyle \ \ Delta l} Δt{\ Displaystyle \ \ Delta t}|Δl/Δt|=vs{\ Displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | \, = c} Δs2=vs2Δt2-Δl2=0{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} = 0}

Si se ven los mismos dos eventos desde otro marco de referencia, entonces las distancias espaciales y temporales están ahí y , con la velocidad de la luz, que tiene el mismo valor en este otro marco, según el segundo axioma. Deducimos que en este marco de referencia también tenemos Δl′{\ Displaystyle \ \ Delta l '} Δt′{\ Displaystyle \ \ Delta t '}|Δl′/Δt′|=vs{\ Displaystyle | \ Delta l '/ \ Delta t' | \, = c} Δs′2=vs2Δt′2-Δl′2=0{\ Displaystyle \ \ Delta s '^ {2} = c ^ {2} \ Delta t' ^ {2} - \ Delta l '^ {2} = 0} Así, si en un marco de referencia, es igual en cualquier otro. Δs2=0{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = 0}

• En cada marco de referencia y para cualquier par de eventos suficientemente cercanos, y son infinitamente pequeños del mismo orden de magnitud porque los cambios de marcos de referencia son funciones afines con coeficientes constantes, por lo tanto las relaciones entre ellos , desde un marco de referencia hasta otros son lineales o afines. y se cancelan entre sí simultáneamente, por lo que existe un número tal que . Este número no puede depender de la posición relativa de los dos marcos de referencia porque se supone que el espacio-tiempo es homogéneo , por lo que solo depende de la velocidad relativa de los dos marcos de referencia. Pero no puede depender de la dirección de esta velocidad porque se supone que el espacio-tiempo es isótropo . Así que depende sólo del valor absoluto de la velocidad relativa, o su plaza: . Δs2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2}} Δs′2{\ Displaystyle \ \ Delta s '^ {2}} Δl,Δt{\ Displaystyle \ \ Delta l \ ;, \ Delta t} Δs2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2}} Δs′2{\ Displaystyle \ \ Delta s '^ {2}}a{\ Displaystyle a} Δs2=a.Δs′2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a. \ Delta s '^ {2}} a=a(v2){\ Displaystyle \ a = a (v ^ {2})}
• Considerando tres marcos de referencia, el principio de relatividad imponiendo que las leyes son las mismas allí, tenemos: y . Así . Ahora depende del ángulo entre y , ángulo que no interviene . Entonces, es un número constante, que no depende de la velocidad relativa de los marcos de referencia. Δs2=a(v2).Δs′2,{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a (v ^ {2}). \ Delta s '^ {2} \ ,,}  Δs′2=a(v′2).Δs″2{\ Displaystyle \ \ Delta s '^ {2} = a (v' ^ {2}). \ Delta s '' ^ {2}} Δs2=a(v″2).Δs″2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a (v '' ^ {2}). \ Delta s '' ^ {2}} a(v″2)=a(v2).a(v′2){\ Displaystyle \ a (v '' ^ {2}) = a (v ^ {2}). a (v '^ {2})} v″2{\ Displaystyle \ v '' ^ {2}} v{\ Displaystyle \ v} v′{\ Displaystyle \ v '}a(v2).a(v′2){\ Displaystyle a (v ^ {2}). a (v '^ {2})} a(v2)=a{\ Displaystyle \ a (v ^ {2}) = a}
• Como , tenemos . Δs2=1.Δs2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = 1. \ Delta s ^ {2}} a=1{\ Displaystyle \ a = 1}

Conclusión . El cuadrado del intervalo espacio-tiempo es invariante por cambio de marco de referencia. Δs2=Δs′2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = \ Delta s '^ {2}}   Una prueba de la invariancia de las transformaciones de Lorentz escritas en la forma clásica

Reducimos el problema a dos dimensiones para una mayor legibilidad, por lo que descuidamos los detalles de las rotaciones espaciales.

Al considerar dos marcos de referencia y en traslación rectilínea uniforme uno comparado con el otro a la velocidad , las transformaciones de Lorentz utilizadas son: R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}R′{\ Displaystyle \ mathbb {R} '} v{\ Displaystyle \ v}

 {vsΔt′=γ(vsΔt-βΔX)ΔX′=γ(ΔX-β.vsΔt)Δy′=ΔyΔz′=Δz {\ Displaystyle \, ~ \ left \ {{\ begin {matrix} c \ Delta t '= \ gamma \ left (c \ Delta t- \ beta \ Delta x \ right) \\\ Delta x' = \ gamma \ izquierda (\ Delta x- \ beta .c \ Delta t \ right) \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {matriz}} \ right. \, ~}con y ,β=vvs{\ Displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}}γ=1/1-β2{\ Displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} Mediante algunos cálculos algebraicos simples, mostramos que tenemos vs2Δt′2-ΔX′2-Δy′2-Δz′2=vs2Δt2-ΔX2-Δy2-Δz2,{\ Displaystyle c ^ {2} \ Delta t '^ {2} - \ Delta x' ^ {2} - \ Delta y '^ {2} - \ Delta z' ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} - \ Delta y ^ {2} - \ Delta z ^ {2} \ ,,}   Una prueba de invariancia por transformaciones de Lorentz expresadas usando funciones hiperbólicas

El siguiente cálculo ilustra la estrecha relación entre las fórmulas de transformación de Lorentz y la invariancia del cuadrado del intervalo espacio-tiempo y la posibilidad de cambiar de un formalismo a otro.

En geometría euclidiana, una rotación del ángulo θ del sistema de coordenadas alrededor del eje Oz deja invariable la distancia entre dos puntos. Se escriben las fórmulas de cambio de ejes de coordenadas correspondientes a esta rotación y dando las nuevas coordenadas de acuerdo a las antiguas:

{X′=Xporqueθ+ypecadoθy′=-Xpecadoθ+yporqueθz′=z.{\ Displaystyle {\ begin {cases} x '= x \ cos \, \ theta + y \ sin \, \ theta \\ y' = - x \ sin \, \ theta + y \ cos \, \ theta \\ z '= z \ ,. \ end {casos}}}

Por lo tanto, las diferencias de coordenadas entre los dos puntos A y B se vuelven

{ΔX′=ΔXporqueθ+ΔypecadoθΔy′=-ΔXpecadoθ+ΔyporqueθΔz′=Δz.{\ Displaystyle {\ begin {cases} \ Delta x '= \ Delta x \ cos \, \ theta + \ Delta y \ sin \, \ theta \\\ Delta y' = - \ Delta x \ sin \, \ theta + \ Delta y \ cos \, \ theta \\\ Delta z '= \ Delta z \ ,. \ End {cases}}}

Podemos deducir

(ΔX′)2+(Δy′)2+(Δz′)2=(ΔXporqueθ+Δypecadoθ)2+(-ΔXpecadoθ+Δyporqueθ)2+(Δz)2≡(ΔX)2+(Δy)2+(Δz)2,{\ Displaystyle (\ Delta x ') ^ {2} + (\ Delta y') ^ {2} + (\ Delta z ') ^ {2} = (\ Delta x \ cos \, \ theta + \ Delta y \ sin \, \ theta) ^ {2} + (- \ Delta x \ sin \, \ theta + \ Delta y \ cos \, \ theta) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ equiv (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ ,,}

fórmula que muestra claramente la invariancia de esta suma de cuadrados.

En relatividad especial, las transformaciones de Lorentz permiten pasar del sistema "fijo" a un sistema animado por una velocidad v a lo largo del eje Ox . Usando el parámetro angular θ definido por

β=v/vs, β=tanh⁡θ{\ Displaystyle \ beta = v / c \ ,, \ \ beta \, = \, \ tanh \ theta}   es   θ=atanohβ{\ Displaystyle \ theta \, = \, \ mathrm {atanh} \ beta}

Las fórmulas de Lorentz se escriben como fórmulas de rotación de ejes, excepto que las funciones trigonométricas se reemplazan por funciones hiperbólicas. Tenemos las expresiones  :

{vst′= vstaporrearθ-XpecadoθX′=-vstpecadoθ+Xaporrearθy′=yz′=z{\ Displaystyle {\ begin {cases} ct '= \ ct \ cosh \, \ theta -x \ sinh \, \ theta \\ x' = - ct \ sinh \, \ theta + x \ cosh \, \ theta \ \ y '= y \\ z' = z \ end {casos}}}

Por lo tanto, si consideramos dos eventos, las diferencias de coordenadas se transformarán como

{vsΔt′= vsΔtaporrearθ-ΔXpecadoθΔX′=-vsΔtpecadoθ+ΔXaporrearθΔy′=ΔyΔz′=Δz{\ Displaystyle {\ begin {cases} c \ Delta t '= \ c \ Delta t \ cosh \, \ theta - \ Delta x \ sinh \, \ theta \\\ Delta x' = - c \ Delta t \ sinh \, \ theta + \ Delta x \ cosh \, \ theta \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {cases}}}

Podemos deducir:

(vs.Δt′)2-(ΔX′)2-(Δy′)2-(Δz′)2=(vsΔtaporrearθ-ΔXpecadoθ)2-(-vsΔtpecadoθ+ΔXaporrearθ)2-(Δy)2-(Δz)2.{\ Displaystyle \, (c. \ Delta t ') ^ {2} - (\ Delta x') ^ {2} - (\ Delta y ') ^ {2} - (\ Delta z') ^ {2} = (c \ Delta t \ cosh \, \ theta - \ Delta x \ sinh \, \ theta) ^ {2} - (- c \ Delta t \ sinh \, \ theta + \ Delta x \ cosh \, \ theta ) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2} \,.}

Como

(aporrear⁡θ)2-(pecado⁡θ)2=1{\ Displaystyle \, (\ cosh \ theta) ^ {2} - (\ sinh \ theta) ^ {2} = 1}

terminamos con la fórmula de invariancia anunciada

(vs.Δt′)2-(Δl′)2=(vs.Δt)2-(Δl)2.{\ Displaystyle \, (c. \ Delta t ') ^ {2} - (\ Delta l') ^ {2} = \, (c. \ Delta t) ^ {2} - (\ Delta l) ^ { 2} \,.}  

Relación entre eventos

El cuadrado del intervalo espacio-temporal entre dos eventos puede ser de tres tipos diferentes:

• como el tiempo
• tipo de espacio,
• luz amable.

El género de un cuadrado de intervalo de espacio-tiempo depende de su signo, y dado que es invariante por el cambio de marco de referencia inercial, el género de un intervalo de espacio-tiempo será el mismo para cualquier observador. Así, podremos notar que si dos eventos están separados por un intervalo espacio-tiempo cuadrado de tiempo o tipo de luz, pueden estar vinculados por un vínculo causal directo, por otro lado si están separados por uno de tipo espacial. , no pueden, y esto independientemente del observador y su marco de referencia inercial.

Buen tiempo

Si el intervalo de tiempo cΔt supera la distancia espacial Δl, se dice que el intervalo es del tipo de tiempo y el intervalo de espacio-tiempo es positivo:

Δs2=vs2Δt2-Δl2>0{\ Displaystyle \, \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2}> 0}

Este caso corresponde a la situación en la que, lo que significa que en el marco de referencia donde se realizaron las mediciones, un cuerpo en movimiento que va a velocidad constante en la dirección correcta puede estar en la ubicación exacta y al mismo tiempo que el primer evento, entonces , tras su desplazamiento, a los del segundo. En consecuencia, en el marco (inercial) de este móvil los dos eventos se ubican en el mismo lugar, pero no al mismo tiempo. En este marco de referencia particular, y de acuerdo con la invariancia del cuadrado del intervalo espacio-tiempo, la diferencia de tiempo que separa los dos eventos se llama el tiempo adecuado que los separa, y viene dada por la fórmula: |Δl/Δt|<vs{\ Displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | <c}|Δl/Δt|{\ Displaystyle | \ Delta l / \ Delta t |}Δτ{\ Displaystyle \ Delta \ tau}

Δs2=vs2Δt2-Δl2 = vs2Δτ2-0,{\ Displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2 } - \, 0 \ ,,}

lo que demuestra que el tiempo adecuado viene dado por . Δτ{\ Displaystyle \ Delta \ tau}Δτ=Δs2/vs{\ Displaystyle \ Delta \ tau = {\ sqrt {\ Delta s ^ {2}}} / c}

En este caso de un tiempo- como intervalo , los dos eventos pueden estar unidos por un enlace causal: a través de una partícula que se mueve bastante rápidamente de un evento a otro, o a través de una influencia transportada por la luz que va desde una a la otra y el efecto de que posteriormente desencadenaría el segundo evento.

En la mayoría de los casos, en la Tierra , las situaciones encontradas son de tipo temporal, ya que las dimensiones de nuestro planeta son pequeñas (del orden de los 10.000 km) y que, además, los eventos considerados por los humanos generalmente involucran duraciones del orden del segundo al menos. Esto no implica que todos los eventos tengan un vínculo causal entre sí, sino que es probable que tengan uno físicamente.

Tipo de espacio

Si el intervalo espacial Δl supera al intervalo de tiempo cΔt , se dice que el intervalo es del tipo espacial y el cuadrado del intervalo espacio-temporal es negativo:

Δs2 = vs2Δt2-Δl2<0.{\ Displaystyle \, \ Delta s ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} <0 \,.}

Este caso corresponde a la situación en la que, lo que significa que en el marco de referencia donde se realizaron las mediciones, ningún cuerpo en movimiento que vaya a una velocidad inferior a la de la luz ni ninguna señal luminosa puede estar en el lugar exacto y al mismo tiempo. que el primer evento, luego, después de su desplazamiento o propagación, a los del segundo. Por lo tanto, no puede haber un vínculo causal entre los dos eventos. Podemos mostrar que entonces hay un marco de referencia inercial en el que los eventos son simultáneos: en este marco de referencia, la diferencia de tiempo entre los dos eventos es cero, por lo tanto |Δl/Δt|>vs{\ Displaystyle | \ Delta l / \ Delta t |> c}

Δs2=vs2Δt2-Δl2 = 0-Δl2{\ Displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} ~ = ~ \, 0- \ Delta l ^ {2} \ ,}

Por lo tanto, en este marco de referencia inercial particular, la diferencia de tiempo es cero entre los eventos y su distancia espacial, llamada distancia adecuada , esΔl=-Δs2.{\ Displaystyle \ Delta l = {\ sqrt {- \ Delta s ^ {2}}}.}

Esta situación corresponde al experimento mental de la paradoja de la escalera .

Género ligero

Si el cuadrado del intervalo espacio-tiempo es cero, esto significa que la luz recorre exactamente la distancia geométrica entre los dos eventos durante el lapso de tiempo entre estos dos eventos.

Δs2 = vs2Δt2-Δl2=0.{\ Displaystyle \, \ Delta s ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} = 0 \,.}

Este caso corresponde a la situación en la que, lo que significa que en el marco de referencia donde se realizaron las mediciones, solo partículas de masa cero, por lo tanto que van a la velocidad de la luz , pueden unir los dos eventos. Siendo la velocidad de la luz la misma en todos los marcos de referencia inerciales, es la misma cuando estos eventos se ven desde cualquier otro marco de referencia inercial. Esto todavía deja la posibilidad de un vínculo causal entre los dos eventos, un vínculo que se establece a la velocidad de la luz. |Δl/Δt|=vs{\ Displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | = c}

Ejemplo: si el evento A consiste en el envío de una señal láser de la Tierra a la Luna y el evento B consiste en la recepción de esta señal en la Luna, el intervalo espacio-tiempo entre A y B será cero ya que la distancia Δl entre La Tierra y la Luna serán exactamente iguales a la distancia cΔt recorrida por la luz durante el tiempo Δt . En este último caso podemos decir que el intervalo es de tipo ligero .

Orden temporal y género

En principio, los cambios físicamente realistas de los marcos de referencia respetan la orientación del eje del tiempo: por lo tanto, se supone que, visto desde un marco de referencia u otro, las manecillas de un reloj no cambian su sentido de rotación, solo si cae una manzana desde su rama vista desde uno, entonces no vuelve a subir cuando se ve desde otro. Si están separados por un intervalo de tiempo, todos los observadores observan el mismo orden temporal entre dos eventos (pero con diferentes espacios temporales).

Por otro lado, en ciertos casos, el orden temporal observado entre dos eventos puede cambiar de un marco de referencia a otro: si los dos eventos están separados por un intervalo similar al espacio, su orden temporal observado puede cambiar de un marco de referencia a otro. otro. 'otro, y también hay repositorios para los que los dos eventos son simultáneos.

Una demostración de la invariancia del orden temporal observado para el género de tiempo

La invariancia por cambio de marco de referencia del orden temporal entre dos eventos separados por un intervalo de tipo de tiempo está en equivalencia tautológica con el principio de no inversión del eje de tiempo por cambio de marco de referencia.

Pero podemos querer convencernos a nosotros mismos, mediante algunas consideraciones matemáticas, de que esta invariancia es de hecho una consecuencia de este principio:

Los únicos cambios de marco de referencia que permite la física respetan la orientación del eje del tiempo y la orientación de los marcos de referencia tridimensionales (siendo la orientación unánimemente aceptada la de la mano derecha ), son también los cambios continuos desde el marco de referencia. referencia.inicial, y se denominan transformaciones propias y ortocrónicas .

Considere un par de eventos de tipo temporal tales que el intervalo Δ t de A a F es positivo ( t (F) es mayor que t (A) o F es posterior a A). Para que este intervalo cambie de signo (F antes que A) tendría que cruzar el valor cero, lo cual es imposible. De hecho, el cuadrado Δ t 2 del intervalo de tiempo es igual a la suma de dos cuadrados según la fórmula ,
vs2Δt2=Δs2+Δl2{\ Displaystyle c ^ {2} \, \ Delta t ^ {2} \, = \, \ Delta s ^ {2} + \ Delta l ^ {2}}

donde el primer término del segundo miembro es estrictamente positivo (e invariante por cambio de marco de referencia) y el segundo término, el cuadrado de una distancia euclidiana, es positivo o cero. En consecuencia, este cuadrado Δ t 2 no se puede cancelar. Lo mismo ocurre con el intervalo de tiempo Δ t en sí mismo, que, al no ser capaz de cancelarse, no puede cambiar de signo continuamente. Por tanto, si A precede a F para un determinado observador, siempre será igual para cualquier observador físicamente admisible. Si A era anterior a F, F no puede actuar sobre A convirtiéndose en sí mismo antes de A.   Una demostración de que el orden temporal observado se puede invertir para el género espacial.

Dados dos eventos A y B como en el marco de referencia del observador , y asumiendo con una buena elección de eje . (R){\ Displaystyle (R)} Δt=tB-tA>0{\ Displaystyle \ \ Delta t = t_ {B} -t_ {A}> 0} ΔX=XB-XA>0{\ Displaystyle \ \ Delta x = x_ {B} -x_ {A}> 0} X{\ Displaystyle \ x}

Considere un marco de referencia en traslación con respecto al sistema de coordenadas (R), a la velocidad a lo largo del eje x, con . (R′){\ Displaystyle (R ')}v→=tumi→X{\ Displaystyle {\ vec {v}} = u \, {\ vec {e}} _ {x}}0<tu<vs{\ Displaystyle 0 <u <c}

De acuerdo con transformaciones de Lorentz , el tiempo entre los dos eventos, ver el repositorio es: con: . siendo positivo, ¿qué pasa con el caso negativo? Oro: . Por lo tanto:, por lo tanto, los dos eventos están separados por un intervalo de espacio. Una flecha unidireccional bloquea lo contrario, pero tenemos: existe un número positivo tal que . Al plantear , se obtiene y siempre se puede construir un referencial en traducción a la velocidad para la que . (R′){\ Displaystyle (R ')}
Δt′=γ(Δt-tu.ΔXvs2),{\ Displaystyle \ Delta t '= \ gamma (\ Delta t - {\ frac {u. \ Delta x} {c ^ {2}}}) \ ,,}γ=(1-tu2/vs2)-1/2>0{\ Displaystyle \, \ gamma = \ left (1-u ^ {2} / c ^ {2} \ right) ^ {- 1/2}> 0}
Δt{\ Displaystyle \ Delta t}Δt′{\ Displaystyle \ Delta t '}
Δt′<0⟺Δt<tuvs2ΔX⟺vs2tu<ΔXΔt.{\ Displaystyle \ Delta t '<0 \ Longleftrightarrow \ Delta t \, <\, {\ frac {u} {c ^ {2}}} \ Delta x \ Longleftrightarrow {\ frac {c ^ {2}} {u }} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \;.}
0<tu<vs⟺vs<vs2tu{\ Displaystyle 0 <u <c \ Longleftrightarrow c <{\ frac {c ^ {2}} {u}}}
Δt′<0⟺Δt<tuvs2ΔX⟺vs2tu<ΔXΔt⇒vs<ΔXΔt⟺vs2.Δt2-ΔX2<0{\ Displaystyle \ Delta t '<0 \ Longleftrightarrow \ Delta t \, <\, {\ frac {u} {c ^ {2}}} \ Delta x \ Longleftrightarrow {\ frac {c ^ {2}} {u }} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Rightarrow c <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Longleftrightarrow c ^ {2}. \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} <0}
⇒{\ Displaystyle \ Rightarrow}vs<ΔXΔt⇒{\ Displaystyle c <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Rightarrow}ϵ<1{\ Displaystyle \ epsilon <1}vs<ϵ.ΔXΔt<ΔXΔt{\ Displaystyle c <\ epsilon. {\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}}} tu=vs.ϵ<vs{\ Displaystyle \ u = c. \ epsilon <c}vs2tu<ΔXΔt{\ Displaystyle {\ frac {c ^ {2}} {u}} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}}}(R′){\ Displaystyle (R ')}v→=tumi→X{\ Displaystyle {\ vec {v}} = u \, {\ vec {e}} _ {x}} Δt′<0{\ Displaystyle \ \ Delta t '<0}

Tenga en cuenta que de esta manera también podemos determinar un marco de referencia para el cual los dos eventos son simultáneos.  

El cono de luz

Si fijamos un evento particular O como objeto de estudio, podemos dividir el espacio-tiempo en regiones agrupando los eventos que están separados de O por un intervalo espacio-tiempo similar al tiempo, aquellos que están separados de O por un género ligero. y los que están separados de O por un género espacial. Esta partición espacio-temporal tetradimensional adopta la forma de un cono tridimensional: el interior corresponde al primer caso, el borde al segundo y el exterior al tercero. Estas regiones corresponden a las diferentes posibilidades de vínculo causal con el evento O.

Por supuesto, cada evento tiene su propio cono de luz.

La dificultad de representación es que cuatro coordenadas, una de tiempo y tres de espacio, son necesarias para caracterizar un evento y que es imposible representar un punto con cuatro coordenadas en nuestro espacio tridimensional. Para el gráfico, por lo tanto, reducimos el número de dimensiones espaciales a 2.

Métrico

La relatividad especial espacio-tiempo está dotada por el cuadrado del intervalo espacio-tiempo con una especie de distancia que es invariante por cambio de marco de referencia. Visto así, el intervalo espacio-tiempo puede considerarse como una métrica del espacio, a partir de la cual se demuestran una serie de propiedades matemáticas del espacio y de la teoría relativista.

Cuando los dos eventos A y B entre los cuales calculamos el cuadrado del intervalo espacio-tiempo están muy cerca, sus coordenadas por lo tanto difieren solo en cantidades infinitesimales . Esta consideración es superflua en la relatividad especial cuyo espacio es afín , pero es esencial en la relatividad general cuyo espacio es una variedad curva donde el no se puede definir con rigor, pero donde los elementos infinitesimales son definibles y pertenecen al espacio tangente . (DXμ)=(vsDt,DX,Dy,Dz){\ Displaystyle \ scriptstyle (dx ^ {\ mu}) \, = \, (c \, dt, dx, dy, dz)} (ΔXμ){\ Displaystyle \ scriptstyle (\ Delta x ^ {\ mu}) \,}(DXμ){\ Displaystyle (dx ^ {\ mu})}

En la relatividad especial, la plaza del intervalo infinitesimal espacio-tiempo es entonces: . Ds2=vs2Dt2-DX2-Dy2-Dz2{\ Displaystyle \, ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}}

La métrica de la relatividad general se puede definir a partir de la de la relatividad especial, teniendo en cuenta el principio de equivalencia y el principio de relatividad generalizado a todos los marcos de referencia, y es un elemento básico (desde un punto de vista matemático) para la construcción. de esta teoría. Permite la definición del elemento infinitesimal del cuadrado del intervalo espacio-tiempo en esta teoría.

En relatividad general, la fórmula para el cuadrado del intervalo espacio-tiempo infinitesimal es , donde los coeficientes de la métrica ,, varían de un punto a otro en el espacio-tiempo, dependiendo de la curvatura del espacio. Ds2=∑μ=03∑ν=03gramoμν DXμ DXν{\ Displaystyle ds ^ {2} = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} \ sum _ {\ nu = 0} ^ {3} g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d} } x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}gramoμν{\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

También escribimos con la convención de Einstein de las sumatorias: . Ds2=gramoμν DXμ DXν{\ Displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}

Pero esta definición a partir de elementos infinitesimales y la curvatura del espacio-tiempo dificultan la justificación de propiedades similares a las expuestas en los párrafos anteriores, excepto a nivel local. Sin embargo, a partir de un evento O, siempre podemos hacer la partición del espacio-tiempo como un todo en eventos vinculados a O por una geodésica del tipo de tiempo, luz o espacio (el tipo correspondiente al signo constante de la geodésica larga). . Ds2{\ displaystyle ds ^ {2}}

Caso de invariancia como hipótesis

Si la invariancia del cuadrado del intervalo espacio-tiempo, por cambio de marco de referencia, se plantea como una hipótesis inicial en la teoría de la relatividad, las deducciones hechas a partir de ella son entonces matemáticamente consistentes con la teoría, pero algunas deben descartarse. por razones físicas.

En relatividad especial

Identificar el espacio físico con un espacio matemático tetradimensional dotado de una distancia similar (también decimos pseudo-norma ) conduce a identificar los puntos de referencia del espacio tetradimensional afín y los marcos de referencia inerciales de la física, y buscar todos los cambios. del marco de referencia que tiene la propiedad de dejar invariante el intervalo espacio-tiempo, encontramos algunos que, aunque son consistentes con las matemáticas de la teoría relativista, no pueden ser retenidos como cambios físicamente realistas del marco de referencia porque no respetan la convención de orientación de hitos tridimensionales (siendo la orientación unánimemente aceptada la de la mano derecha ) o la de la orientación del eje del tiempo (hacia el futuro ).

Las transformaciones que preservan las orientaciones del espacio y el tiempo son las transformaciones de Lorentz establecidas desde el principio por Lorentz, y se denominan, en el marco de esta problemática, transformaciones de Lorentz propias y ortocrónicas . Las otras transformaciones no se utilizan en física relativista, pero se utilizan en física cuántica relativista para explotar las simetrías matemáticas de las ecuaciones. Por ejemplo, la simetría y la paridad T se interpretan como simples cambios en la convención de las orientaciones de los ejes de coordenadas espaciales y temporales. Así, la simetría P cambia la convención de la elección de marcos de referencia por la mano derecha en la convención de la elección de la mano izquierda.

En relatividad general

En la relatividad general , siendo el espacio-tiempo esencialmente estructurado por el álgebra, se debe tener cuidado de descartar hipótesis o resultados que sean matemáticamente correctos pero físicamente irreales. Esto es cierto en particular para el cuadrado del intervalo espacio-tiempo que es un elemento fundamental de la teoría (desde un punto de vista matemático) debido a su invariancia por cambio de marco de referencia y su vínculo con la gravedad (que es una manifestación de curvatura). Ya forman una matriz que debe tener un determinante negativo para tener un significado físico. Ds2=gramoμν DXμ DXν{\ Displaystyle \ textstyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}gramoμν{\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Así, en un marco de referencia realista para un observador, si la coordenada corresponde a la medida del tiempo y las coordenadas corresponden a cualquier marco de referencia espacial, los términos deben verificar , así como para k = 1, 2, 3 (en breve: la firma debe permanecer sin cambios de la de la métrica de Minkowski). X0{\ Displaystyle x_ {0}}X1;X2;X3{\ Displaystyle x_ {1}; x_ {2}; x_ {3}}gramoμν{\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu}}gramo00>0{\ Displaystyle g_ {00}> 0}gramokk<0{\ Displaystyle g_ {kk} <0}

Sin embargo, para determinar las propiedades del espacio-tiempo, las matemáticas de la relatividad general permiten el uso de cualquier sistema de referencia en este espacio tetradimensional, sin la obligación de preocuparse por el realismo y en este caso los coeficientes no están sujetos a estas restricciones. gramoμν{\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Notas y referencias

1. La convención corresponde a la elección realizada en los textos anglosajones; la convención corresponde a la elección hecha en los famosos textos pedagógicos de Lev Landau , por ejemplo. Roger Penrose considera esta última opción "más física" porque la métrica es positiva para las líneas del universo de tipo tiempo, que son las únicas admitidas para las partículas masivas. (-;+;+;+){\ Displaystyle \ (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ Displaystyle \ (+; -; - ;-)}
2. Ver, por ejemplo, Lev Landau y Evgueni Lifchits , Theoretical Physics [ detalle de ediciones ], volumen 2 "teoría de campos", capítulo 1, §2.
3. ver, por ejemplo, (en) EF Taylor, JA Wheeler, Spacetime Physics, Introducción a la relatividad especial, segunda edición, Freeman 1992
4. Ver Lev Landau y Evgueni Lifchits , Theoretical Physics [ detalle de ediciones ] Volumen 2, §2
5. En dimensión geométrica del sistema de unidades geométricas de la relatividad general, se dice que el intervalo cΔt es temporal.
6. Dado que el tiempo es un espacio matemático de una sola dimensión, la dirección y la unidad de tiempo se pueden definir a partir de dos eventos cualesquiera de tipo tiempo y cualquier sucesivo (las posiciones sucesivas de las manecillas de un reloj, el comienzo y el final de la caída de una manzana, o ...). Siendo cualquier duración de tiempo medible por hipótesis por esta unidad, la no reversión del eje del tiempo es equivalente a la no reversión de esta unidad orientada, y esto impone la no reversión de cualquier duración utilizable como una unidad de tiempo orientada, por lo tanto, no hay inversión de tiempo entre dos eventos de tipo temporal .
7. En esta teoría, la curvatura es la expresión geométrica de la gravedad .
8. El universo de Gödel es un ejemplo de una teoría compatible con la relatividad general y donde las propiedades de la relatividad especial son válidas solo localmente: por ejemplo, la distinción entre el pasado y el futuro.
9. La conservación de estas orientaciones como motivo de esta selección se presenta en el capítulo 1, §1.3 de (en) La geometría del espacio-tiempo de Minkowski por Gregory L. Naber, Springer-Verlag ( ISBN  3540978488 ) , 1992.
10. Esto se debe a que esta matriz es diagonalizable y que su forma diagonal debe corresponder a la matriz de una métrica equivalente a la de Minkowski .
11. El realismo de un marco de referencia se puede entender como: hay un observador para el cual una coordenada da el tiempo medido y tres da el espacio, con las orientaciones válidas ya en la relatividad especial.
12. que forman lo que se llama el tensor métrico y que reflejan la curvatura del espacio-tiempo
13. Lev Landau y Evgueni Lifchits , Theoretical Physics [ detalle de las ediciones ], Volumen 2 "Teoría de campos", §82 a §84
14. Un ejemplo de un marco de referencia no realista se obtiene reemplazando la coordenada temporal por una coordenada que sigue una geodésica del tipo de luz.

Ver también

• Tensor métrico
• Tiempo limpio
• Paradoja del tren
• Paradoja de los gemelos