La relatividad especial es la teoría desarrollada por Albert Einstein en 1905 para extraer todas las consecuencias físicas de la relatividad galileana y el principio de que la velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valor en todos los marcos de referencia galileanos (o inerciales ) . implícitamente expresado en las ecuaciones de Maxwell (pero interpretado de manera muy diferente hasta entonces, con el "espacio absoluto" de Newton y el éter ).
La relatividad galileana afirma, en lenguaje moderno, que cualquier experimento realizado en un marco de referencia inercial procede de una manera perfectamente idéntica en cualquier otro marco de referencia inercial. Habiéndose convertido en " principio de relatividad ", su enunciado será modificado por Einstein para extenderlo a marcos de referencia no inerciales : de "restringido", la relatividad pasará a ser " general ", y también se ocupará de la gravitación , que la relatividad especial hace. no hacer.
La teoría especial de la relatividad ha establecido nuevas fórmulas para pasar de un marco de referencia galileano a otro. Las ecuaciones correspondientes conducen a predicciones de fenómenos que chocan con el sentido común (pero ninguna de estas predicciones ha sido invalidada por la experiencia ), siendo una de las más sorprendentes la desaceleración de los relojes en movimiento , que permitió diseñar el experimento mental a menudo referido. a como la paradoja de los gemelos . Este fenómeno se utiliza habitualmente en ciencia ficción .
La relatividad especial también tuvo un impacto en la filosofía al eliminar cualquier posibilidad de la existencia de tiempos y duraciones absolutos en todo el universo (Newton). Siguiendo a Henri Poincaré , obligó a los filósofos a plantear la cuestión del tiempo y el espacio de manera diferente .
En la mecánica newtoniana , las velocidades se suman durante un cambio de marco de referencia : estas son las transformaciones de Galileo . Por ejemplo, si desde un cohete alejándose de la Tierra a una velocidad de 7 km / s , se dispara una bala de cañón hacia adelante a una velocidad de 1 km / s con respecto al cohete, la velocidad del proyectil visto desde la Tierra será 8 km / s ; si la bola se retira, su velocidad observada desde la Tierra será de 6 km / s .
Al final del XIX ° siglo , James Clerk Maxwell establece las ecuaciones que rigen las ondas electromagnéticas, incluyendo las ondas de luz. Según esta teoría, la velocidad de la luz debería depender únicamente de las propiedades eléctricas y magnéticas del medio, lo que planteó un problema en el caso en el que este medio es el vacío porque esto sugiere una independencia de la velocidad de la luz con respecto al marco de referencia. del instrumento de medición: si un rayo de luz se emite desde el cohete en el ejemplo anterior, hacia adelante o hacia atrás, la velocidad de la luz medida con respecto a la Tierra será la misma, a diferencia de la de la bola. La hipótesis del éter , medio de propagación de la luz, por tanto hipótesis bastante natural, era quitar esta propiedad de la luz y hacer compatible su propagación con la relatividad galileana. En 1887, un experimento fue realizado por Michelson y Morley para medir la velocidad de la Tierra en relación con este éter: un experimento similar a la del cohete se mencionó anteriormente, y donde la Tierra misma desempeña el papel del cohete. Querían medir esta velocidad destacando la diferencia en la velocidad de la luz entre las diferentes direcciones posibles de propagación. Al no haber detectado una diferencia significativa, el resultado de este experimento resultó difícil de interpretar, tanto que sus autores llegaron a imaginar una contracción inexplicable de los instrumentos de medida en determinadas direcciones: la relatividad especial lo justificará posteriormente.
Las fórmulas de transformación para pasar de un observador a otro fueron establecidas por Hendrik Lorentz antes de 1904; eran ecuaciones de compatibilidad cuyo significado no estaba claro para su autor. Otros físicos, como Woldemar Voigt (1887), habían adoptado un enfoque similar incluso antes. Henri Poincaré ha publicado artículos para presentar la teoría de la relatividad especial. . La distribución de los roles de tal o cual académico en el surgimiento de la teoría especial de la relatividad fue objeto de controversia , particularmente en la década de 2000.
En 1905 , en su artículo On Electrodynamics of Moving Bodies , Albert Einstein popularizó los conceptos y presentó la relatividad de la siguiente manera:
Las ecuaciones de Lorentz resultantes se ajustan a la realidad física. Tienen consecuencias no deseadas. Así, un observador atribuye a un cuerpo en movimiento una longitud menor que la longitud atribuida a este mismo cuerpo en reposo y la duración de los fenómenos que afectan al cuerpo en movimiento se alarga en relación con esta "misma" duración medida por observadores estacionarios en relación con este cuerpo.
Einstein también reescribió las fórmulas que definen el impulso y la energía cinética para que su expresión sea invariable en una transformación de Lorentz.
El tiempo y las tres coordenadas espaciales que juegan un papel inseparable en las ecuaciones de Lorentz, Hermann Minkowski las interpretó en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Tenga en cuenta, sin embargo, que el tiempo y el espacio siguen siendo de diferente naturaleza y que, por tanto, no podemos asimilarnos el uno al otro. Por ejemplo, podemos dar un giro en U en el espacio cuando esto es imposible en el tiempo.
En 1912, Lorentz y Einstein fueron nominados para un premio Nobel conjunto por su trabajo sobre la teoría. La recomendación fue del laureado Wien en 1911, quien afirma que “aunque Lorentz debería ser considerado el primero en encontrar el contenido matemático del principio de relatividad, Einstein logró reducirlo a un principio simple. Por tanto, deberíamos considerar el mérito de los dos investigadores como comparable ” . Einstein nunca recibió un premio Nobel de relatividad, premio que, en principio, nunca se concedió a una teoría pura. Por lo tanto, el comité esperó la confirmación experimental. Cuando llegó este último, Einstein había pasado a otro trabajo importante.
Einstein será finalmente galardonado con el Premio Nobel de Física en 1921 "por sus contribuciones a la física teórica , y especialmente por su descubrimiento de la ley del efecto fotoeléctrico " .
La teoría de Einstein se centra en el principio de relatividad que concierne a la observación y medición de fenómenos de acuerdo con el marco de referencia desde el cual el observador (o el dispositivo de medición) toma medidas en el experimento.
La relatividad especial solo considera el caso en el que el observador se encuentra en un marco de referencia inercial , los otros marcos de referencia son objeto de la relatividad general . Recordemos que se dice que un marco de referencia es inercial si cualquier objeto aislado de este marco de referencia (sobre el cual no se ejerce ninguna fuerza o sobre el cual la resultante de las fuerzas es cero) está estacionario o en un movimiento de traslación rectilíneo uniforme. Por ejemplo: un cohete en el espacio lejos de cualquier masa constituye un marco de referencia inercial si no hay ningún motor encendido.
Los dos postulados de la relatividad especial son:
El primer postulado es el principio de relatividad propiamente dicho, en su concepción restringida a la clase de marcos de referencia inerciales. Formaliza un hallazgo de Galileo según el cual el movimiento rectilíneo uniforme es "como nada" para el observador perteneciente al marco de referencia móvil.
El segundo postulado formaliza la interpretación de las ecuaciones de Maxwell según la cual no hay éter , y es consistente con los experimentos (en primer lugar el de Michelson y Morley ). Es equivalente al postulado de que la velocidad de la luz no depende de la velocidad de la fuente de luz en el marco de referencia del observador. Una de las consecuencias es que la luz puede utilizarse, de manera idéntica en cualquier marco de referencia inercial, como medio de comunicación para sincronizar los relojes que allí están estacionados.
Podemos prescindir del segundo postulado para determinar las ecuaciones de las transformaciones de Lorentz a condición de introducir una hipótesis adicional al primer postulado: el espacio-tiempo es homogéneo e isotrópico. Este hecho fue descubierto ya en 1910 por Kunz e independientemente por Comstock. La hipótesis adicional conduce a un grupo de transformaciones, dependiendo de un parámetro c 2 , físicamente homogéneo al cuadrado de una velocidad. Estas transformaciones se identifican con las transformaciones de Galileo si c 2 es infinito y con las transformaciones de Lorentz si c 2 es positivo finito. La identificación de c a la velocidad de la luz, establecida como finita por las observaciones, da como resultado el segundo postulado. Jean-Marc Lévy-Leblond señala que este enfoque solo implica la existencia de un límite de velocidad c , que es el de todas las partículas sin masa, y por lo tanto de luz en nuestras teorías actuales. Si el fotón resultara tener una masa (ver sobre este tema las propiedades físicas del fotón ), la relatividad (o más exactamente su descripción matemática) no se cuestionaría, pero la luz tendría una velocidad ligeramente menor que c , y que dependería de los marcos de referencia, así como de la energía de los fotones que lo constituyen y, por tanto, de su longitud de onda.
La sincronización de los relojes estacionarios dentro de un mismo marco de referencia inercial permite fechar los eventos allí observados y definir una simultaneidad para este marco de referencia, mientras que la información solo llega al observador de manera retardada porque viajan tan lejos como sea posible. posible. a la velocidad de la luz .
Pero dos relojes que se mueven uno con respecto al otro no pueden sincronizarse, la simultaneidad no es la misma para dos marcos de referencia inerciales que se mueven uno con respecto al otro.
Dados dos marcos de referencia inerciales, en traslación rectilínea uniforme entre sí, ¿cómo podemos estar seguros de que tienen el mismo sistema para medir el tiempo y las longitudes?
El fenómeno de " ralentización de los relojes en movimiento " no permite sincronizar los relojes en movimiento con los que están estacionarios en el marco de referencia del observador .
Consideramos dos marcos de referencia y el primer marco de referencia es impulsado por la velocidad con respecto al marco de referencia . Para simplificar el cálculo, primero trabajamos en el marco de las llamadas transformaciones "especiales", caracterizadas por el hecho de que los sistemas de ejes x, y, z y x ′, y ′, z ′ son paralelos, que los ejes O ′ X ′ y Ox son comunes y paralelos a la velocidad , y suponiendo que cuando los orígenes espaciales de los dos marcos de referencia se fusionaron, los relojes (fijados en los respectivos marcos de referencia, en O y O ′) indicaron t = 0 y t ′ = 0 (inicialización de los relojes). Esta restricción de ninguna manera resta valor a la generalidad de los resultados. Escribiremos a continuación las fórmulas relativas a una velocidad que apunta en cualquier dirección.
Las hipótesis de Einstein conducen a las llamadas transformaciones de “ Lorentz ”. Las fórmulas de Lorentz permiten expresar las coordenadas ( x , y , z , t ) de un evento dado en la referencia "fija" (digamos la Tierra) en base a las coordenadas ( x ' , y' , z ' , t ′ ) de la mismo evento en el repositorio "móvil" (digamos un cohete). Están escritos:
donde y son factores adimensionales definidos por
Estas expresiones se simplifican y toman una forma cercana a una rotación si se ponen en juego las funciones hiperbólicas del parámetro θ , llamado rapidez , que es un ángulo de "rotación" en el espacio de Minkowski , definido por
Con estas notaciones obtenemos y
Para obtener las fórmulas correspondientes a la transformación inversa, basta con cambiar β por - β , y por tanto θ por - θ .
Una receta: para encontrar el signo para poner delante de sinh θ , basta con considerar un punto en reposo en uno de los marcos de referencia (digamos el del cohete, con x ′ = 0 por ejemplo) y ver cuál debe ser el signo de la coordenada espacial en el otro marco de referencia (digamos el marco de referencia fijo en el que x crece si el cohete tiene una velocidad positiva).
Transformaciones de Lorentz para una dirección arbitraria de la velocidad
Si las transformaciones especiales simplifican el estudio analítico, no restan valor a la generalidad. Se puede pasar fácilmente al caso en el que los marcos de referencia móviles no son paralelos entre sí y tienen alguna orientación con respecto a su velocidad relativa . Siempre es posible descomponer el vector según dos direcciones: la paralela al desplazamiento y la ortogonal a ésta . Entonces tenemos :
Preguntando
las transformaciones de Lorentz dan:
Lo que lleva a
Como
tenemos (multiplicando vectorialmente por )
Se obtiene así la expresión de las transformaciones generales de Lorentz en la forma:
Las transformaciones de Lorentz conducen a una visión revolucionaria de la física y revelan fenómenos que chocan con el sentido común.
En los ejemplos que siguen se nos llevará a considerar dos eventos sucesivos. Por lo tanto, reescribiremos las fórmulas anteriores reemplazando x y t por Δx y Δt que representan la diferencia espacial o temporal entre el primer evento y el segundo.
Relatividad de la simultaneidadLa relatividad limita la noción de simultaneidad a eventos vistos desde un único marco de referencia galileano: si dos eventos son simultáneos en , en dos puntos diferentes de , entonces, en general, ya no son simultáneos en otro marco de referencia que se mueve con respecto a. .
Las transformaciones de Lorentz permiten asegurar esto: en general sabemos que , por lo tanto, si en el marco de referencia , entonces en el marco de referencia tenemos si .
Podemos notar que si en el segmento de recta que conecta los dos puntos es perpendicular a la velocidad relativa entre los dos marcos de referencia, es decir , pero y / o , entonces los dos eventos son simultáneos también en uno que en el otro. repositorio. Este es un ejemplo que muestra que en la relatividad de las medidas al pasar de un marco de referencia a otro, existen diferencias en los efectos entre la dirección de la velocidad relativa entre estos dos marcos de referencia y las direcciones perpendiculares.
Ampliación de duracionesEl intervalo de tiempo entre dos eventos en un marco de referencia se mide por una cantidad diferente en otro marco de referencia si este último está en movimiento con respecto al primero. Por lo tanto, un reloj que se mueve en un marco de referencia parecerá estar más lento en comparación con un reloj idéntico pero aún en este marco de referencia.
En 1960, los físicos Robert Pound y Glen Rebka llevaron a cabo una verificación experimental al acelerar los átomos, a partir de un cristal radiactivo que vibra alrededor de su posición de equilibrio, al aumentar el calor, lo que dio una medida más pequeña de la frecuencia de los rayos gamma emitidos (es decir, a digamos una expansión de su período), estando las mediciones de acuerdo con las previsiones con un margen de error del 10%.
Entonces parece surgir una paradoja: ¿cómo puede ser que los relojes se ralenticen cuando se ven desde y que, por simetría, los relojes se ralenticen cuando se ven desde ? Esto no plantea ningún problema: cada marco de referencia ve al otro operando a cámara lenta y, si hay una puesta a cero común de los relojes de los dos marcos de referencia, cada uno ve lo que viene del pasado del otro en relación con el tiempo. transcurrido en su propio reloj inmóvil. El caso en el que entre dos relojes hay un encuentro, luego una distancia y luego un nuevo encuentro, que permite comparar de cerca el tiempo transcurrido entre los dos encuentros en uno y el otro, es el objeto de la paradoja de los gemelos .
Contracción de longitudesSupongamos que una longitud de la barra L es inmóvil en el repositorio , orientada en la dirección de la velocidad relativa entre la referencia y , y si se mide, de paso , utilizando una regla estacionaria en el repositorio . Esta medida dará un resultado menor que L : en el marco de referencia , la barra está en movimiento y se mide más corta que su propia longitud.
Las transformaciones de Lorentz son, asumiendo la velocidad paralela al eje (ox) y estableciendo y :
Para la medición realizada en el marco de referencia , tenemos y obtenemos .
Tenga en cuenta que y : las medidas de las longitudes perpendiculares a la velocidad relativa entre los marcos de referencia no se modifican.
También mostramos la no simultaneidad de la determinación de los extremos vistos desde el otro marco de referencia :, lo que permite decir que visto desde el marco de referencia en movimiento, la medición realizada en aquél donde la regla es estacionaria no está bien. hecho.
Al igual que con la desaceleración de los relojes en movimiento, podemos encontrarnos con muchas paradojas. Uno de los más conocidos relacionados con esta contracción relativista de longitudes es el del automóvil que se supone que cabe en un garaje más corto que él, siempre que se conduzca lo suficientemente rápido: la paradoja del tren .
Ilustración simpleEn el siguiente experimento, que ilustra de forma sencilla la dilatación del tiempo predicha por la relatividad especial, consideramos un reloj de fotones en el que un grano de luz va y viene entre dos espejos a la velocidad c de la luz.
La duración de un viaje de ida y vuelta en un marco de referencia es igual al cociente del viaje realizado en este marco de referencia por la velocidad de la luz, que no depende del marco de referencia. Si el reloj está fijo con respecto al observador, la trayectoria corresponde a la distancia en reposo entre los dos espejos y dura un tiempo de 2 t . Si el reloj se mueve en relación con el observador, este último verá que el fotón sigue una línea discontinua más larga que el segmento recorrido en el marco de referencia anterior. La duración de 2 t 'del viaje es superior a 2 t : el reloj en movimiento se retrasa (hay dilatación del tiempo ).
La longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo ABH en la figura es ct ', la de la altura es ct y la de la base es vt ' si denotamos v la velocidad de traslación del reloj en el marco "fijo" de referencia. Por lo tanto, tenemos ( teorema de Pitágoras ):
de donde sacamos inmediatamente
Así encontramos de forma sencilla la fórmula anterior que da la dilatación del tiempo .
Dado que la velocidad de la luz es de aproximadamente 300.000 km / s, un avión que vuela a 0,3 km / s (es decir, 1.000 km / h ) tiene una velocidad cercana a una millonésima parte de la de la luz, por lo que el error cometido utilizando la aproximación de Galileo es menor que una millonésima de millonésima (o 10-12 ), bastante insignificante en la práctica actual. Sin embargo, para mediciones muy precisas de los tiempos de viaje utilizados en experimentos espaciales y también por GPS , es imperativo tener en cuenta las correcciones relativistas (tanto las de la relatividad especial como las de la relatividad general para el caso).
Para un cuerpo que se mueve a una velocidad igual a una décima parte de la de la luz, el efecto relativista es del orden del uno por ciento. Así, los efectos relativistas solo se vuelven significativos para velocidades cercanas a la velocidad de la luz, imposibles de alcanzar en la vida cotidiana (pero no en el laboratorio: por el contrario, los aceleradores de partículas permiten alcanzar velocidades de hasta unos pocos metros por segundo menos). que c solamente). Ésta es una de las razones por las que tenemos dificultades para aprehender concretamente el funcionamiento de la relatividad especial.
La teoría relativista puede dar la impresión (aunque sólo sea por su nombre) de hacer que las cosas dependan totalmente del marco de referencia (inercial) a partir del cual se realizan las mediciones. Sin embargo, la relatividad especial, por el contrario, busca identificar lo invariante por cambio de coordenadas. Desde esta perspectiva, la invariancia del intervalo espacio-temporal entre dos eventos es un elemento fundamental de la teoría relativista.
En un marco de referencia, un evento se caracteriza por sus coordenadas espacio-temporales : “tal y tal lugar, tal instante”. Dos eventos ubicados respectivamente en x 1 , y 1 , z 1 , t 1 y en x 2 y 2 , z 2 , t 2 están separados por un "intervalo de espacio-tiempo" cuyo cuadrado está definido por
Escribiremos de forma más sencilla
Esta cantidad , denominada “cuadrado del intervalo espacio-tiempo”, es un invariante relativista : su valor no depende del marco de referencia inercial en el que se evalúa, lo que demuestran las transformaciones de Lorentz .
Como resultado de la presencia del signo "-" en la fórmula de este "cuadrado", puede resultar positivo o negativo: el nombre "cuadrado" es solo convencional . Esto es lo que marca la diferencia con el cuadrado de la distancia euclidiana, que siempre es positiva: las cantidades y son cuadrados "reales", y como tal positivos.
El signo de la invariante espacio-tiempo Δ s 2 permite clasificar dos eventos entre sí, representados por el cono de luz , esta clasificación tiene un carácter absoluto y corresponde a su posibilidad o no de d 'estar ligados por un vínculo causal .
El tiempo y el espacio juegan roles simétricos en el intervalo espacio-tiempo, por lo que tiene sentido medirlos de la misma manera. Este es el punto de vista adoptado por la nueva definición de la velocidad de la luz , que al ser fijada arbitrariamente, establece una equivalencia de facto entre longitud y tiempo, redefiniendo el metro a partir del segundo . Concretamente, debido a que la velocidad de la luz es idéntica en cualquier marco de referencia inercial, es posible medir una distancia o un tiempo en centímetros o en segundos.
El tiempo adecuado de un reloj es el tiempo que pasa a la velocidad a la que lo muestra. El tiempo apropiado de una partícula es el tiempo apropiado de un reloj que estaría en su lugar, es el tiempo que pasa en un marco de referencia donde está inmóvil. Debido a la "ralentización de los relojes en movimiento", un observador (al menos en un marco de referencia inercial) considera que el propio tiempo del reloj se ralentiza en relación con su propio tiempo, a menos que el observador esté inmóvil en relación con él. . Generalmente se indica el momento adecuado de un marco de referencia .
En el marco de referencia (supuestamente inercial) donde está estacionaria, la partícula tiene un flujo de su propio tiempo y las variaciones de sus coordenadas espaciales son cero , y visto desde otro marco de referencia inercial estas variaciones son y . Debido a la invariancia del cuadrado del intervalo espacio-tiempo, tenemos , así : el tiempo propio y el intervalo espacio-temporal son iguales, hasta el coeficiente . Al menos debido a esto, el tiempo adecuado es invariable por el cambio de marco de referencia.
Y como , entonces, ¿ dónde está la velocidad relativa y constante entre los dos marcos de referencia, fórmula que se encuentra directamente por las transformaciones de Lorentz?
Como , el tiempo adecuado es más corto que el tiempo del marco de referencia donde el observador realiza las mediciones: es la desaceleración de los relojes en movimiento .
Por lo tanto se observó que una partícula que se mueve a la velocidad de la luz no está en un momento adecuado, o que su propio tiempo no fluye: . El movimiento a la velocidad de la luz y, por tanto, la ausencia de un tiempo adecuado, de hecho, sólo se refiere a partículas de masa cero.
En la mecánica newtoniana, el espacio está separado del tiempo y estudiamos el movimiento de una partícula en función del tiempo absoluto. Representamos gráficamente la trayectoria en el espacio, pero nunca en el tiempo, y esta trayectoria puede tener por ejemplo la forma de una línea recta o una elipse .
En la relatividad especial, los eventos se siguen en un espacio de 4 dimensiones, tres en el espacio y uno en el tiempo, por lo que es imposible en el caso más general visualizar la curva que representa la sucesión de eventos que reflejan el desplazamiento de la partícula tanto en el tiempo. y en el espacio . Esta curva se llama línea del universo de la partícula. Para superar la dificultad de representar 4 dimensiones, a menudo nos limitamos a 2 dimensiones, una de espacio y otra de tiempo. En otras palabras, consideramos solamente los movimientos a lo largo del x- eje , la Y y Z coordenadas restantes sin cambios. Entonces sólo las variables x y t permanecen , que hacen posible dibujar en un sistema cartesiano de coordenadas bidimensional la trayectoria de una partícula en el espacio-tiempo: su línea de universo.
Lo notable es que la línea del universo de la partícula en reposo ya no es un solo punto, sino el segmento de línea de tiempo. De hecho, si la partícula no se mueve ( x = constante), ¡el tiempo continúa pasando durante el período considerado!
Diagrama de Minkowski de un marco de referencia inercial. En amarillo la trayectoria de un fotón x = ct, con c = velocidad de la luz .
Se representan tres marcos de referencia: una coordenada espacial y una coordenada temporal para cada uno.
El tiempo propio de un viaje se dibuja mayor que el tiempo del marco de referencia, mientras que es más corto: es un límite de esta representación gráfica.
Si un segmento de línea representa en este diagrama un movimiento a velocidad constante, en el caso general es una curva que traducirá el movimiento de una partícula.
El segmento de línea entre "salida" y "llegada" a lo largo del eje del tiempo representa la línea del universo de la Tierra, cuya coordenada espacial, igual a 0, no varía. La línea curva representa la secuencia de eventos que constituyen el viaje del cohete. La coordenada curvilínea que permite ubicar un punto en esta curva es el tiempo propio del cohete, el que mide el reloj de a bordo.
Las fórmulas relativistas muestran que el tiempo adecuado a lo largo del camino curvilíneo es más corto que el tiempo adecuado a lo largo del camino rectilíneo (aquí el que representa el tiempo terrestre). Este fenómeno es la base de la paradoja de los gemelos . Uno de los hermanos realiza un viaje de ida y vuelta a una velocidad cercana a la de la luz (que también es imposible de lograr, pero es una experiencia imaginaria ) mientras su hermano permanece en la Tierra. En el camino de regreso, el viajero se encuentra más joven que su hermano.
En un cohete que se mueve a una velocidad relativa a la Tierra, se dispara una bala de cañón a la velocidad medida en el cohete. ¿Cuál es la velocidad de la pelota medida en la Tierra?
En la cinemática galileana se suman las velocidades y tendríamos
En cinemática relativista, la ley de composición de la velocidad es diferente:
Suponiendo que escribimos y O en notación vectorial, podemos descomponer la velocidad de la bala de cañón en una velocidad paralela y una velocidad ortogonal , obteniendo . O en notación vectorial:
En el cohete, la distancia Δ x recorrida por la pelota durante el tiempo Δ t es
Usando las fórmulas de Lorentz
y al reemplazar Δ x por su valor, podemos encontrar fácilmente la velocidad de la pelota en el marco de referencia terrestre en la forma:
De ahí las fórmulas.Esta relación muestra que la ley de composición de velocidades en relatividad especial ya no es una ley aditiva y que la velocidad c es una velocidad límite cualquiera que sea el marco de referencia considerado (se verifica fácilmente que la composición de dos velocidades menor o igual a c sigue siendo menor o igual que c ).
Sin embargo, en el caso de que las dos velocidades y sean paralelas , existe un ajuste de parámetros que permite obtener una ley aditiva. Para ello, basta con pasar de la velocidad v al parámetro de velocidad angular θ introducido anteriormente , y llamado velocidad .
Demostremos que en una composición de velocidades se suman los parámetros angulares de velocidad.
Posando , , y el uso de la fórmula de la suma de las funciones hiperbólicas , encontramos
El parámetro angular correspondiente a la velocidad c es infinito ya que artanh ( x ), el argumento de la tangente hiperbólica de x , tiende hacia el infinito cuando x tiende hacia 1. Por lo tanto, encontramos el hecho de que c es una velocidad límite independiente del marco de referencia elegido. . Este límite de velocidad es imposible de alcanzar para una partícula masiva, solo las partículas de masa cero, como el fotón , pueden moverse a la velocidad de la luz.
Aplicación digitalImaginemos que se dispara una bola con la velocidad w ' = 0,75 c en el marco de referencia de un cohete que se mueve a la velocidad v = 0,75 c con respecto a la Tierra. ¿Cuál es la velocidad de la pelota medida en la Tierra? Claramente el valor de 1,5 c que nos daría la fórmula de Galileo es falso ya que la velocidad obtenida superaría a la de la luz. Las fórmulas relativistas nos invitan a proceder de la siguiente manera. El ángulo paramétrico de la velocidad del proyectil en relación con el cohete es El ángulo paramétrico de la velocidad del cohete en relación con la Tierra tiene el mismo valor La rapidez del proyectil en relación con la Tierra es , por tanto , la que corresponde a la velocidad
Obviamente, podemos encontrar este resultado directamente en la fórmula que da w en función de w ' y v .
En la mecánica newtoniana estudiamos el movimiento de un móvil siguiendo su posición en función del tiempo t , asumiéndose este tiempo de naturaleza absoluta, independiente del reloj que lo mide. En relatividad abandonamos esta visión de las cosas para considerar el movimiento de una partícula como una sucesión de eventos , la curva descrita por este evento en un espacio de cuatro dimensiones (tres para el espacio, una para el tiempo) luego toma el nombre de "fila del universo ".
Como en la mecánica clásica, definimos la velocidad de una partícula tomando la derivada
de la posición con respecto al tiempo, de la misma forma en la mecánica relativista definimos el vector velocidad en cuatro dimensiones (o velocidad cuadrivector)
donde es el momento adecuado de la partícula.
Al explicar los componentes de este cuadrivector en un marco de referencia dado, podemos escribir
expresión en la que hemos introducido el factor c para trabajar con coordenadas homogéneas.
Debido a la invariancia del cuadrado del intervalo espacio-tiempo por cambio de marco de referencia inercial, el cuadrado de la pseudo-norma de la velocidad cuádruple es también invariante por cambio de marco de referencia. Y como en el marco de referencia inercial específico (tangencial e instantáneo) de la partícula, solo la parte temporal de la velocidad cuádruple de la partícula no es cero y vale c (porque el tiempo de este marco de referencia es su propio tiempo y su velocidad es cero): el cuadrivector de velocidad tiene componentes (c, 0, 0, 0). En consecuencia, en cualquier marco de referencia galileo tendremos la relación
cuadrado de la pseudo-norma de = (parte temporal de ) 2 - (parte espacial de ) 2 = c 2 .Es la invariancia de esta norma la que permite hablar del cuadrivector de una partícula independientemente de cualquier sistema de coordenadas.
Así como el momento de una partícula, cuya variación a menudo se llama erróneamente "impulso" por el anglicismo, era el producto " " de la masa por la velocidad, también lo era el producto "m " de la velocidad del cuadrivector "por la masa". m "de la partícula se convierte en un momento cuadrivector. A menudo se le llama vector " energía-momento ", expresando así el hecho de que la energía y el momento (al menos el momento ) están unidos en un concepto físico de manera inseparable, de la misma manera que el espacio y el tiempo. Componen el espacio-tiempo . De hecho, si los componentes espaciales de este cuadrivector se identifican de manera obvia con los de un impulso clásico, Einstein llevó a los físicos a identificar el componente temporal de este cuadrivector con la energía de la partícula considerada.
En un marco de referencia de inercia (por ejemplo, el marco de referencia terrestre como primera aproximación, en lo sucesivo denominado marco de referencia de laboratorio ), las coordenadas de los eventos vinculados a la partícula monitoreada son ( t , x , y , z ) y Los componentes en este marco de referencia del cuadrivector de impulso de energía móvil son:
; con :Como este cuadrivector es proporcional a las cuatro velocidades (que es la pseudo-norma c) por coeficientes invariantes por cambio de marco de referencia inercial, tenemos, en cualquier marco de referencia inercial:
La definición del cuadrivector energía-momento , utilizando los elementos y el tiempo natural invariante por cambio de marco de referencia, permite aplicarle fácilmente las transformaciones de Lorentz para un cambio de marco de referencia inercial en el caso en que sea paralelo a la velocidad relativa entre los dos repositorios:
Debido a la definición del cuadrivector energía-momento, en particular de su coordenada temporal, terminamos con la expresión de la energía total de la partícula en el marco de referencia del laboratorio , con respecto al cual se acelera la partícula ( ¡porque la energía depende del marco de referencia en el que se calcula!) en forma de:
Por otro lado, como componentes de la velocidad de la partícula en el sistema de referencia de laboratorio son:
Teniendo en cuenta el factor de dilatación del tiempo entre d t y d , llegamos a la otra fórmula importante que proporciona el valor del impulso en el marco de referencia del laboratorio :
El cuadrivector energía-impulso tiene la característica de tener su norma , o su cuadrado escalar (en el sentido del cuadrado del intervalo espacio-tiempo ), invariante durante un cambio de marco de referencia. En resumen la cantidad:
es independiente del marco de referencia en el que se calcula. Sin embargo, en el marco de referencia de la partícula, la velocidad es cero, al igual que el momento, de modo que la norma de esta cantidad invariante vale (m c ) 2 . En cualquier marco de referencia, tenemos, por tanto, la siguiente relación de capital:
o :
(Los factores c que se introducen en estas fórmulas aseguran su homogeneidad, pa la magnitud de ( m v ), E la de ( m v 2 ).)
Podemos hacer varias observaciones:
(i) El valor de la energía total de la partícula depende del marco de referencia del observador. Sin embargo, el valor de la energía de la masa es idéntico en todos los marcos de referencia y, en particular, en el marco de referencia específico de la partícula. Por tanto, es una característica intrínseca de la partícula. (ii) Cuando v tiende ac , tiende a infinito, lo que significa que se necesita energía infinita para acelerar una partícula hasta que alcanza la velocidad de la luz . Evidentemente, esto es imposible. Sin embargo, es posible acelerar las partículas a velocidades muy cercanas a c. (iii) La relatividad especial aparece en todos los fenómenos físicos, incluso cuando las velocidades intermedias no son "relativistas". Un ejemplo evidente es el defecto de masa atómica más simple: la masa del átomo de hidrógeno es menor que la suma de las masas del electrón y el protón en una cantidad exactamente igual al equivalente en masa de la energía de ionización del átomo. Defecto de masa del orden de una décima de mil millonésima. Esta realidad del defecto de masa aparece, por supuesto, para todos los demás átomos, así como en sus enlaces moleculares.La equivalencia de masa y energía viene dada por la famosa relación E = mc 2 . Plantear esta equivalencia fue un paso revolucionario, porque los conceptos de materia y energía eran distintos hasta entonces, aunque ciertos científicos, como Poincaré y Lorentz , habían intentado independientemente la aproximación en el campo del electromagnetismo. Hoy en día, tampoco se debe sobreestimar esta equivalencia, porque si bien la masa es la norma del cuadrivector energía-momento, la energía es solo uno de los componentes de este cuadrivector. La misa dada por:
es invariante por cambio de marco de referencia (es igual en cualquier marco de referencia). La energía por el contrario depende del marco de referencia elegido, es obvio ya que la velocidad cambia, la energía cinética también cambia.
En la física clásica, el impulso general y la energía cinética de un sistema aislado se conservan con el tiempo, al menos cuando los choques son elásticos . Es una propiedad compatible pero independiente del principio de relatividad galileano. Un cambio del marco de referencia galileano da nuevos valores a la energía cinética y a las coordenadas del momento del sistema, pero estos valores también se conservan en el tiempo, en este marco de referencia.
En relatividad especial, lo que se conserva es el cuadrivector global de energía-momento de un sistema aislado, y también es una propiedad compatible e independiente del principio de relatividad de Einstein . Las coordenadas de este vector de cuatro dimensiones ( cuadrivector ) agrupan la energía y el momento, y se mantienen independientemente de las interacciones entre los elementos del sistema aislado . Como en la física no relativista, un cambio de marco de referencia da nuevos valores a la energía (coordenada temporal) y a las coordenadas del impulso (coordenadas espaciales), y en este nuevo marco de referencia la conservación de los valores. De estas coordenadas, a lo largo del tiempo, sigue siendo válida.
El principio de constancia es el siguiente:
Independientemente de los detalles del experimento, el cuadrivector de un sistema aislado de partículas se conserva en cualquier interacción interna.En otras palabras, podemos escribir:
Dado que el cuadrivector se conserva, cada uno de sus componentes en un sistema de referencia dado (cuyos valores dependen del sistema elegido) también se conserva en colisiones. El componente temporal que representa la energía E del sistema y el componente espacial que representa su impulso , por lo tanto, terminamos para cada marco de referencia con dos leyes de conservación, una para la energía y otra para la cantidad de movimiento (o impulso).
Un ejemplo (académico)En la figura opuesta se muestra una colisión de dos partículas. Una partícula A de masa 8 (en unidades arbitrarias) animada con una velocidad v / c de 15/17 dirigida hacia la derecha golpea una partícula de masa 12 que llega en la dirección opuesta con una velocidad v / c de 5/13 (las figuras fueron elegidos para que los cálculos "sean correctos"). Después de la colisión, A rebota en la otra dirección, habiendo comunicado a B parte de su impulso. La energía total, suma de las energías de las partículas A y B se conserva, al igual que el momento total. Las cantidades E y p indicadas realmente representan (E / c 2 ) y (p / c) y se expresan en unidades de masa arbitrarias. Con estas cantidades tenemos la relación E 2 = p 2 + m 2 . El factor γ siempre está definido por γ = [1 - (v / c) 2 ] -1/2 .
En un acelerador de partículas, sucede que una partícula de muy alta energía choca con una partícula en reposo y se comunica con la última parte de su energía cinética. Si los únicos intercambios de energía conciernen precisamente a esta energía cinética (conservación de la cantidad de movimiento del sistema), decimos que el choque es elástico . Las fórmulas que reflejan la conservación del cuadrivector del sistema formado por estas dos partículas permiten analizar la colisión. En la mecánica newtoniana, la dirección de dos partículas de la misma masa después de un choque forma un ángulo recto. Este no es el caso en el caso de choques entre partículas relativistas donde sus direcciones forman un ángulo agudo. Este fenómeno es perfectamente visible en las grabaciones de colisiones realizadas en cámaras de burbujas .
Considere un electrón de masa my muy alta energía que choca con otro electrón inicialmente en reposo. Los vectores de pulso de las dos partículas se representan en la figura opuesta. Antes del choque es el impulso del electrón incidente . Después del choque, los impulsos de los dos electrones son y . Al escribir la energía de un electrón como la suma de su energía en reposo mc 2 y su energía cinética K , podemos escribir la energía total del sistema antes de la colisión como:
Igualmente,
La ley de conservación de la energía dice que E = E 1 + E 2 y por lo tanto
fórmula que indica que la energía cinética también se conserva (colisión elástica).
La ley de conservación de la cantidad de movimiento dice que
y por lo tanto si llamamos θ al ángulo entre los dos vectores y , tenemos la relación
de donde sacamos
Expresando el cuadrado del impulso de los diversos electrones según su energía y su masa utilizando las fórmulas indicadas anteriormente obtenemos
para el electrón incidente y
para electrones después del choque.
Como K = K 1 + K 2, terminamos fácilmente con la fórmula en última instancia simple
Esta fórmula muestra que cos θ es positivo y por lo tanto que las direcciones de los electrones del estado final forman un ángulo agudo entre ellos.
Uno encuentra fácilmente en la literatura el tratamiento del caso donde el choque es simétrico, los dos electrones tienen cada uno la misma energía K 1 = K 2 = K / 2. En esta situación particular, la fórmula general se convierte en
para una colisión simétrica.Obviamente, las fórmulas se aplican al caso de la colisión entre dos protones.
Una aplicación física de las fórmulas de conservación de energía y momento de un sistema de partículas es proporcionada por el análisis de la colisión entre un fotón de alta energía y un electrón en reposo, choque que constituye lo que llamamos dispersión de Compton .
Supongamos que un sistema aislado es conocido y está formado por partículas sin interacción, en un marco de referencia R : y son conocidas y permanecen inalteradas en el tiempo, en este marco de referencia.
En física clásica, las definiciones de centro de inercia , y de un marco inercial donde este centro es estacionario, no plantean ningún problema: se utilizan los vectores de distancia y las masas de los cuerpos. En la física relativista, una definición similar se enfrenta a una dificultad de elección (¿deberíamos elegir las masas o las energías?) Sin un criterio decisivo.
La definición empleada es la que permite utilizar las igualdades relativistas de la forma más sencilla: el marco de referencia conocido como “del centro de inercia” es el marco de referencia R * en el que el impulso total es cero, es decir .
En este marco de referencia, la energía E * del sistema verifica la igualdad porque es solo un cambio de marco de referencia, por lo tanto .
La velocidad relativa entre los marcos de referencia R y R * , anotada , verifica , pero esta velocidad rara vez se usa en los cálculos.
El valor de la masa total M * del sistema así obtenido es independiente del marco de referencia en el que se evalúa: Esta invariancia frente a los cambios de marco de referencia, y la verificación de las fórmulas del impulso cuadrivector del sistema hacen que esta definición cumple con todas las propiedades esperadas para una masa .
Por la conservación de la energía y la ausencia de interacción (por lo tanto, no hay energía en el sistema dedicada a ella), tenemos:
Ahora la energía E j * de cada partícula j (en la referencia R * ) es la suma de la energía m j c 2 correspondiente a su masa en reposo m j sumada a su energía cinética K j * (siempre en la referencia R * ), es decir: . De donde :
Esto muestra que: la masa total de un sistema de partículas independientes es mayor que la suma de las masas individuales de las partículas .
La conservación del cuadrivector impulso-energía explica que en una reacción no se puede conservar la masa de un sistema para transformarse en energía, en parte o en su totalidad. Esto es lo que sucede en las reacciones de fisión , fusión y aniquilación de partículas .
Supongamos que un cuerpo en reposo, de masa M , se desintegra espontáneamente en dos partes de masas respectivas (masas en reposo ) y : mostramos que entonces la masa M es mayor que y que la diferencia toma la forma de una energía cinética.
La ley de conservación de la energía da porque , y por lo tanto .
En el caso de que esta desintegración no pueda ser espontánea, solo puede tener lugar después de suministrar una energía al menos igual a su “energía de enlace” igual a .
La ley de conservación de la cantidad de movimiento da , por tanto , de dónde se extrae .
Finalmente, las igualdades y permiten determinar las energías de las dos nuevas partículas: y . La diferencia de masas se convierte en energía cinética para las dos nuevas partículas, energía que se encuentra en y .
También podemos calcular la norma de los impulsos de las dos partículas y, por tanto, también de sus velocidades.
La fisión de partículas también implica la conservación de números cuánticos : carga eléctrica , espín , etc.
Las expresiones que dan y en función de y conducen a la fórmula
.Si la velocidad de la partícula es igual a la velocidad de la luz (es decir, si ), entonces , calculando vemos que la masa de la partícula es necesariamente cero. Por el contrario, si la masa de la partícula es cero, entonces , y en consecuencia .
Entonces, "una partícula tiene masa cero" es equivalente a "su velocidad es la velocidad de la luz".
En astronomía se detectan partículas portadoras de una energía colosal: rayos cósmicos . Aunque su mecanismo de producción sigue siendo un misterio, podemos medir su energía. Los considerables números obtenidos muestran que su análisis requiere el uso de fórmulas especiales de relatividad. Por tanto, los rayos cósmicos proporcionan una ilustración ideal de la teoría de Einstein.
Las partículas se detectan hasta energías inverosímiles del orden de 10 20 electronvoltios , o cien EeV . Entonces suponga que un rayo cósmico es un protón de 10 20 eV. ¿Cuál es la rapidez de esta partícula?
En la expresión que da la energía E , el término m c 2 representa la energía de la masa en reposo de la partícula. La del protón es de aproximadamente 1 GeV, o 10 9 eV. La relación entre E y m c 2 es igual a 10 20 /10 9 = 10 11 y es otro que el factor de estiramiento del tiempo . ¿Cuál es la velocidad de este protón? Al escribir encontramos que
En otras palabras, la velocidad del protón considerada es casi igual a la velocidad de la luz. Se diferencia de él solo en menos de 10 -22 (pero en ningún caso puede igualarlo).
Veamos qué implican estas cifras para los factores relativistas que existen entre el marco de referencia específico de la partícula y el marco de referencia terrestre. Nuestra galaxia , con un diámetro de unos 100.000 años luz , es atravesada por la luz en 100.000 años. Para un observador terrestre, el protón cruza la galaxia al mismo tiempo. En el marco de referencia del protón relativista, el tiempo correspondiente es 10 11 veces menor y, por lo tanto, vale 30 segundos (un año es 3 × 10 7 segundos). Atraviesa nuestra Galaxia en 30 segundos de su propio tiempo, pero en 100.000 años de nuestro tiempo terrestre.
Cuando este rayo cósmico incide en un átomo de oxígeno o nitrógeno en la atmósfera terrestre a una altitud del orden de 20 a 50 kilómetros sobre el suelo, se desencadena una lluvia de partículas elementales, en particular que contienen muones . Algunos de ellos se mueven hacia el suelo con una velocidad prácticamente igual a la de la luz, de 300.000 kilómetros por segundo en el marco de referencia terrestre. Por lo tanto, estas partículas atraviesan los aproximadamente 30 kilómetros de atmósfera en 10 -4 segundos (o 100 microsegundos).
En el marco de referencia en el que está en reposo, un muón tiene una vida media de 2 μs (2 microsegundos o 2 × 10 -6 s). Esto significa que entre un conjunto de muones producidos en la parte superior de la atmósfera, la mitad habrá desaparecido después de 2 microsegundos, transformados en otras partículas. La mitad de los muones restantes desaparecerán después de otros 2 microsegundos y así sucesivamente. Si la vida media fuera la misma (2 microsegundos) en el marco de referencia terrestre, en 10 -4 segundos cruzando la atmósfera los muones habrían contado 10 -4 / 2 × 10 -6 = 50 vidas medias. En consecuencia, su número se reduciría al llegar al suelo en un factor de (1/2) 50 o aproximadamente 10-15, de modo que en la práctica ningún muón lo alcanzaría.
Sin embargo, las mediciones indican que aproximadamente 1/8, o (1/2) 3 , de los muones iniciales llegan a la superficie de la Tierra, lo que prueba que solo han experimentado 3 divisiones de su número por 2 y no 50. En otras palabras, el tiempo de paso de la atmósfera en su propio marco de referencia es de 3 vidas medias y no 50, o solo 6 microsegundos (y no 100 microsegundos). Este resultado constituye una prueba contundente de la corrección de la relatividad especial y, en particular, del fenómeno de estiramiento del tiempo natural (aquí el del muón) cuando las mediciones se realizan en un marco de referencia externo (aquí el de la Tierra). En el ejemplo numérico elegido, el factor de dilatación del tiempo es 100/6.
Podemos deducir la velocidad y la energía de los muones. De hecho, tenemos como en el cálculo anterior
Lo que lleva a
Dado que la masa de un muón es de aproximadamente 100 MeV , la energía de la partícula es 100/6 veces mayor, o aproximadamente 2000 MeV o 2 GeV .
En el espacio newtoniano tridimensional, una partícula de carga q colocada en un campo eléctrico y un campo magnético se somete a la fuerza de Lorentz y la ecuación que gobierna su movimiento es
Para trasponer esta fórmula a la mecánica relativista, tendremos que considerar el cuadrivector energía-momento en lugar del vector y evaluar la tasa de variación de este cuadrivector no en el marco de referencia de cualquier observador galileano sino en el marco de referencia específico del partícula. Por lo tanto, el miembro de la izquierda tendrá la forma donde está el tiempo adecuado de la partícula cargada. A la derecha, encontraremos un objeto independiente del marco de referencia elegido y que también será necesariamente una función lineal de la velocidad de la partícula. De hecho, la parte espacial de la ecuación de la dinámica es lineal, ya que está escrito
En esta expresión y son los componentes en un marco de referencia Lorentziano del cuadrivector de velocidad , que por lo tanto se puede escribir:
Explícitamente, la ecuación anterior se desglosa en los tres ejes de la siguiente manera:
Por su parte se escribe el componente temporal de la ecuación de dinámica (que corresponde a la ley que da la variación de energía)
donde W es el trabajo de la fuerza
Al reunir las ecuaciones escritas anteriormente en el marco de un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, la tasa de cambio del cuadrivector energía-momento viene dada por
La ecuación matricial que acabamos de escribir muestra que en la relatividad especial el campo magnético y el campo eléctrico constituyen una sola entidad. En realidad la presentación anterior es algo incorrecta en la medida en que para aprovechar todo el poder de la teoría relativista es necesario apelar a los tensores. La ecuación matricial anterior es la traslación en términos de componentes de la ecuación tensorial, independientemente de cualquier sistema de coordenadas.
es el tensor del campo electromagnético (o tensor de Maxwell o tensor de Faraday). Es este objeto el que representa físicamente el campo electromagnético. Sus componentes en un determinado sistema de coordenadas vienen dados por la matriz escrita arriba.
En relatividad especial, una longitud y un tiempo deben medirse con la misma unidad (lo que no hemos hecho aquí de manera sistemática). En astronomía elegimos la unidad de tiempo y medimos una distancia por el tiempo que tarda la luz en cubrir esta distancia. Por ejemplo, que una galaxia se encuentre a cinco millones de años luz de la nuestra significa que la luz tarda cinco millones de años en recorrer la distancia que nos separa de ella. Tenga en cuenta que en la vida cotidiana podemos decir fácilmente que París, por ejemplo, está a tres horas en tren desde Montpellier, que es exactamente lo mismo que medir una distancia en el tiempo. Además, desde 1983, la unidad de tiempo (la segunda) es la única definida directamente por el Sistema Internacional de Unidades (SI), definiéndose la unidad de longitud (el metro ) como la distancia recorrida por la luz en un tiempo preciso. (lo que equivale a fijar definitiva y exactamente el valor de c en 299 792 458 m / s ).
Una selección de las obras de Einstein, incluidos sus artículos originales, están ahora disponibles en traducción francesa con comentarios bajo el título Œuvres choisies at éditions du Seuil / CNRS éditions, en la colección Sources du savoir (6 volúmenes publicados desde 1989). Los volúmenes 2 y 3 están dedicados exclusivamente a las teorías de la relatividad.
Libros de divulgaciónAccesible a nivel de secundaria (Première S).
Accesible a nivel de pregrado.