Geometría no euclidiana

En matemáticas , llamamos geometría no euclidiana a una teoría geométrica que utiliza todos los axiomas y postulados planteados por Euclides en los Elementos , excepto el postulado de paralelos .

Las diferentes geometrías no euclidianas provienen de un deseo de probar el quinto postulado ( el postulado de Euclides) que parecía insatisfactorio por ser demasiado complejo y quizás redundante.

En los Elementos de Euclides, el postulado se asemeja a la conclusión de un teorema , pero que no implicaría una demostración  :

Si una línea que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean más pequeños que dos derechos , estos derechos, extendidos indefinidamente , se encontrarán con el lado donde los ángulos son menores que dos derechos.

que puede entenderse como:

A través de un punto fuera de una línea, siempre pasa un paralelo a esta línea, y solo uno.

Durante varios siglos, la geometría euclidiana se ha utilizado sin cuestionar su validez. Incluso se ha considerado durante mucho tiempo el arquetipo del razonamiento lógico-deductivo . Tenía la ventaja de definir las propiedades intuitivas de los objetos geométricos en una rigurosa construcción matemática.

Enfoque intuitivo de la geometría no euclidiana

En 1902, Henri Poincaré propuso un modelo simple en el que el quinto postulado de Euclides no era válido. La línea se define aquí por extensión como la curva del camino más corto que une dos puntos del espacio considerado.

“Supongamos un mundo encerrado en una gran esfera y sujeto a las siguientes leyes: La temperatura no es uniforme allí; es máxima en el centro, y decrece a medida que uno se aleja de él, para reducirse al cero absoluto cuando se llega a la esfera en la que se encierra este mundo. [...] Un objeto en movimiento se volverá cada vez más pequeño a medida que uno se acerque a la esfera límite. Observemos primero que, si este mundo es limitado desde el punto de vista de nuestra geometría habitual, parecerá infinito a sus habitantes. Cuando estos, de hecho, quieren acercarse a la esfera límite, se enfrían y se vuelven cada vez más pequeños. Por lo tanto, los pasos que dan se vuelven cada vez más pequeños, de modo que nunca pueden alcanzar la esfera límite. "Capítulo 4" El espacio de la geometría "

-  Henri Poincaré , ciencia e hipótesis

Étienne Ghys comenta este texto de la siguiente manera:

“Los seres que habitan este mundo no pueden saber que se están haciendo más pequeños porque si se miden con una cinta métrica, la cinta métrica también se hace más pequeña. Sabemos que se están volviendo más pequeños, pero tienen vidas muy normales y muy consistentes. Si quieren ir de un punto a otro por la ruta más corta, pensamos que tenderán a acercarse al centro, porque sus pasos son bastante mayores hacia el centro.

Entonces podemos mostrar que el camino más corto de un punto a otro en esta geometría imaginaria es un arco de un círculo perpendicular al círculo límite. Sus derechos son nuestros círculos. Y ves que en su geometría, el axioma de Euclides no se satisface. La línea roja es paralela a la línea verde, pero la línea azul también es paralela (dos líneas que no se cruzan son de hecho paralelas).

Hay una infinidad de paralelos que pasan por un punto. Y estas personas son razonables, no saben que se están volviendo más pequeñas. Pero son tan razonables como nosotros, que probablemente ignoramos muchas otras cosas.

La moraleja de esta pequeña historia de Poincaré es que muy bien podemos imaginar muchos mundos extremadamente razonables, cada uno con su propia geometría, cada uno con su propia lógica y cada uno puede traernos una visión de nuestro mundo concreto […].

El matemático de hoy para resolver un problema, estudiar una pregunta, utilizará una geometría, tomará su caja de herramientas y elegirá la geometría más adecuada para comprender el problema estudiado.

Aquí está la frase de Poincaré: una geometría no puede ser más verdadera que otra, simplemente puede ser más conveniente.  "

- Étienne Ghys

Historia de las geometrías no euclidianas

Las geometrías n- dimensionales y las geometrías no euclidianas son dos ramas separadas de la geometría, que pueden combinarse, pero no necesariamente. Ha surgido confusión en la literatura popular sobre estas dos geometrías. Debido a que la geometría euclidiana era bidimensional o tridimensional, se concluyó erróneamente que las geometrías no euclidianas necesariamente tenían dimensiones más altas.

antigüedad

La prehistoria de la geometría no euclidiana es la larga serie de investigaciones e intentos de aclarar el quinto postulado de Euclides (el postulado de los paralelos). Este postulado, en particular porque apela al concepto de infinito, siempre ha parecido un poco "aparte" y no obvio para los matemáticos, que han buscado reemplazarlo por un postulado más simple y directo, o demostrarlo a partir de la teoría de Euclides. otros postulados. Por lo tanto, matemáticos árabes y persas, incluidos Thābit ibn Qurra , Alhazen y especialmente Omar Khayyam, han estudiado los vínculos entre el postulado de paralelos y la suma de ángulos de cuadriláteros y triángulos. Khayyam y ofertas del XI °  siglo una alternativa al quinto postulado de Euclides, y los intentos de demostración Este postulado por la contradicción .

XVII °  siglo

En el XVII °  siglo, John Wallis y especialmente Giovanni Girolamo Saccheri se inspiraron en la obra de estos matemáticos y trataron de demostrar el postulado paralelo. Saccheri dedicó toda su vida a intentar demostrar el postulado de los paralelos a través del absurdo, sin lograrlo. Pero, postular "la hipótesis del ángulo agudo", que postula que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es menor que cuatro ángulos rectos , no solo no conduce a ninguna contradicción matemática flagrante, sino que también lo descubre todo. , teoremas coherentes y ricos. Está a punto de descubrir una geometría no euclidiana (por ejemplo, la geometría hiperbólica, en la que el espacio puede admitir una infinidad de paralelos a una línea dada y pasar por un punto fuera de esa línea), pero nunca aceptará estos nuevos teoremas que considera. "repulsivo".

Retomando la obra de Saccheri en 1766, Johann Heinrich Lambert retoma la hipótesis del ángulo agudo, pero no concluye que exista una contradicción. Se da cuenta, al menos en los últimos años de su vida, de que debe ser posible construir geometrías coherentes, ya sea a partir de la hipótesis del ángulo agudo (geometría hiperbólica), o de la del ángulo obtuso (geometría elíptica).

Lambert obtiene en particular la fórmula , donde C es una constante, que da el área Δ de un triángulo cuyos tres ángulos son α , β y γ en una geometría basada en el ángulo agudo (hoy en día geometría hiperbólica ).

XIX XX  siglo

Gauss , ya en 1813, formuló la posibilidad de que haya otras geometrías además de la de Euclides. Sin embargo, nunca se atrevió a publicar los resultados de sus reflexiones en este sentido "por miedo a los gritos de los beocios", como él mismo escribió.

Distinguimos las geometrías con curvatura negativa, como la de Lobachevsky (1829) y Bolyai (1832) (suma de los ángulos de un triángulo menor a 180 °, número infinito de posibles paralelos a una línea por un punto, por ejemplo geometría hiperbólica) , geometrías de curvatura positiva como la de Riemann (1867) (suma de los ángulos de un triángulo mayor de 180 °, paralelo a los polos, por ejemplo geometría elíptica).

La geometría comúnmente llamada “geometría de Riemann” es un espacio esférico tridimensional, un espacio finito pero sin límites, con curvatura positiva regular, una alternativa al postulado euclidiano de los paralelos. Riemann también ideó una teoría extendida de geometrías n- dimensionales no euclidianas (conferencia de 1854).

La idea de "geometría no euclidiana" generalmente implica la idea de un espacio curvo, pero la geometría de una curva espacial es una representación de la geometría no euclidiana, dice Duncan Sommerville  (en) en The Elements of Non-Euclidean Geometry ( Londres, 1914). Hay espacios tridimensionales no euclidianos.

Diferentes tipos de geometría no euclidiana.

Geometría hiperbólica

Lobachevsky , Klein y Poincaré crearon modelos geométricos en los que podemos trazar una infinidad de paralelos a una línea determinada y pasando por el mismo punto.

Es notable que sólo se eliminó el quinto postulado de Euclides; Las geometrías no euclidianas también respetan todas las demás definiciones euclidianas. En particular, una línea siempre se define como la línea del camino más corto que une dos puntos en una superficie. Existen varios modelos de geometría hiperbólica bidimensional: el disco de Poincaré , el semiplano de Poincaré , etc.

Geometría elíptica

Riemann introdujo otro modelo de geometría no euclidiana , la geometría esférica (a veces llamada geometría elíptica esférica ). En este caso, a través de un punto fuera de una línea, no podemos trazar ningún paralelo (en otras palabras, todas las líneas que pasan por un punto fuera de una línea dada son secantes a esta línea, o incluso todas las líneas en el espacio se intersecan entre sí) . El modelo es muy simple:

Esta geometría da una curvatura positiva del espacio (la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que dos rectángulos, o la suma de dos ángulos sucesivos de un cuadrilátero es mayor que dos rectángulos, o existe un triángulo cuyos ángulos son rectos ).

Notas y referencias

Notas

  1. La conclusión de Saccheri sigue siendo famosa: “La hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa porque repugna la naturaleza de la línea recta. "
  2. La suma de los ángulos de un cuadrilátero es mayor que cuatro ángulos rectos .
  3. Hoy, C se llama la "curvatura gaussiana" del plano hiperbólico.

Referencias

  1. [video] Disponible en Dailymotion . Étienne Ghys, matemático, director de investigación del CNRS, cuestiona los fundamentos de las matemáticas: axiomas.
  2. Consulte el artículo Geometría euclidiana de dimensiones superiores ( geometría euclidiana en dimensiones superiores ) (en) , el sitio math.brown.edu.
  3. A. Dahan-Dalmedico y J. Peiffer , Una historia de las matemáticas: caminos y laberintos ,1986[ detalle de ediciones ], Cap. 4, Figuras, espacios y geometrías, sección 11: Geometrías no euclidianas p.  152-153 .
  4. A. Dahan-Dalmedico y J. Peiffer , Una historia de las matemáticas: caminos y laberintos ,1986[ detalle de ediciones ], Cap. 4, Figuras, espacios y geometrías, sección 11: Geometrías no euclidianas p.  154 .
  5. "  da ich das der Geschrei Böotier scheue  " Carta de Gauss a Bessel del 27 de junio de 1829 citada en (de) H. Reichardt , Gauß und die nicht der Anfänge-euklidischen Geometry , Springer-Verlag,2013, 250  p. ( ISBN  978-3-7091-9511-6 , leer en línea ) , pág.  40.

Ver también

Bibliografía

Aspectos historicos Libros de matematicas
  • Jean-Pierre Bourguignon , Espacios curvos [ detalle de ediciones ]
  • (en) Norbert A'Campo y Athanase Papadopoulos, Notas sobre geometría hiperbólica , en: Estrasburgo Clase magistral de geometría, págs. 1--182, Conferencias IRMA en Matemáticas y Física Teórica, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 páginas, 2012 ( ISBN  978-3-03719-105-7 ) , DOI : 10.4171 / 105
  • Marcel Berger y Bernard Gostiaux , Geometría diferencial: variedades, curvas y superficies [ detalle de ediciones ]
  • (en) Marcel Berger , Una vista panorámica de la geometría riemanniana ,2003[ detalle de la edición ]Como indica su título, el gran geómetro francés nos invita aquí a un largo paseo panorámico (824 páginas) por el mundo de la geometría riemanniana; los diversos resultados se dan en su mayor parte sin demostraciones detalladas, pero con referencias adecuadas para el lector que quiera “ensuciarse las manos”; el último capítulo da las bases técnicas del campo.
  • Jean-Marc Daudonnet, Bernard Fischer, Curvatura de superficies. Introducción a las geometrías no euclidianas , JIPTO 2009 ( ISBN  2-35175-028-4 )
  • Boris Doubrovine  (de) , Anatoli Fomenko y Sergueï Novikov , Geometría contemporánea - Métodos y aplicaciones ,1984[ detalle de ediciones ] (Primera parte: geometría de superficies, grupos de transformaciones y campos).Una introducción muy educativa a la geometría, con aplicaciones a la física, escrita por especialistas rusos. Siendo el enfoque bastante intuitivo, este libro es accesible desde el primer ciclo de la universidad para un estudiante “bueno” motivado.
  • (en) Birger Iversen, Hyperbolic Geometry , London Mathematical Society Student Texts 25, Cambridge University Press, 1992 ( ISBN  0-521-43528-5 )
  • (en) Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, traductor y editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, vol. 4, Sociedad Matemática Europea, 2010
  • (en) Michael Spivak , (Una introducción completa a) Geometría diferencial [ detalle de las ediciones ]Tratado de referencia en cinco volúmenes.
  • (en) John Stillwell , Geometry of Surfaces , 1992 , coll.  "Universitext",1995, 236  p. ( ISBN  978-0-387-97743-0 , leer en línea )
Libros para físicos teóricos
  • (en) Yvonne Choquet-Bruhat et Cécile DeWitt-Morette , Análisis, colectores y física - Parte I: Conceptos básicos , Holanda Septentrional, 1989 ( ISBN  978-0-44486017-0 )
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Libros de filosofía
  • Gaston Bachelard , El nuevo espíritu científico , 1934.Introducción no técnica al tema.
  • Imre Toth , Libertad y Verdad. Pensamiento matemático y especulación filosófica , París, Éditions de l'Éclat, 2009, 144 p.Una crítica a la desgana de Frégé hacia la GNE.
  • Imre Toth, Palimpsesto. Propos avant un triangle , París, Presses universitaire de France, 2000, 528 p., ( ISBN  9782130500032 ) .
Aspectos lúdicos

Jean-Pierre Petit , Le Géométricon , tira cómica de la colección Les Aventures d ' Anselme Lanturlu , ed. Belin, ( ISBN  2-7011-0372-X )

Artículos relacionados

enlaces externos