Espacio separado
En matemáticas , un espacio separado , también llamado espacio de Hausdorff , es un espacio topológico en el que dos puntos distintos siempre admiten vecindarios disjuntos . Esta condición también se llama axioma T 2 dentro de los axiomas de separación .
El nombre se refiere a Felix Hausdorff , un matemático alemán y uno de los fundadores de la topología , quien incluyó esta condición en su definición original de espacio topológico.
Esta propiedad de separación es equivalente a la unicidad del límite de cualquier filtro convergente (o lo que equivale a lo mismo: de cualquier secuencia generalizada convergente).
Ejemplos y contraejemplos
Todo el espacio métrico está separado. En efecto, dos puntos situados a una distancia L entre sí admiten como vecindades disjuntas las bolas de radio L / 3 centradas en cada uno de ellos.
Cualquier espacio discreto está separado, cada singleton constituye una vecindad de su elemento. En particular, un espacio incontable discreto está separado y no es separable .
La topología de orden asociada con una orden total es independiente.
Los ejemplos de espacios no separados se dan por:
- cualquier conjunto que tenga al menos dos elementos y esté provisto de la topología aproximada (siempre separable );
- cualquier conjunto infinito dotado de la topología co-finita (que sin embargo satisface el axioma T 1 de espacio accesible );
- algunos espectros de anillo provistos de topología de Zariski .
Principales propiedades
- Para cualquier función f con valores en un espacio separado y cualquier punto a que se adhiera al dominio de definición de f , el límite de f en a , si existe, es único. Esta propiedad es equivalente a la unicidad del límite de cualquier filtro convergente (o cualquier secuencia generalizada convergente) con valores en este espacio.
- En particular, el límite de una secuencia de valores en un espacio separado, si existe, es único.
- Dos asignaciones continuas con valores separados que coinciden en una parte densa son iguales. Más explícitamente: si Y está separado, si f , g : X → Y son dos mapas continuos y si existe una parte D densa en X tal queentonces
- Una topología más fina que una topología separada siempre está separada.
- Cualquier subespacio de un espacio separado está separado.
- Un producto de espacios topológicos no vacíos se separa si y solo si cada uno de ellos lo está.
Por otro lado, un cociente espacial de un espacio separado no siempre está separado.
- X se separa si y solo si, en el espacio del producto X × X , la diagonal {( x , x ) | x ∈ X } está cerrado .
- La gráfica de un mapa continuo f : X → Y se cierra en X × Y tan pronto como Y se separa. (De hecho, la diagonal de Y se cierra en Y × Y, por lo que la gráfica de f , imagen recíproca de esta cerrada por el mapa continuo f × id Y : ( x , y ) ↦ ( f ( x ), y ), es cerrado en X × Y. ) “El” recíproco es falso, en el sentido de que un mapeo de gráfico cerrado no es necesariamente continuo, incluso si el espacio de llegada está separado.
- X se separa si y solo si, para cualquier punto x de X , la intersección de las vecindades cerradas de x se reduce al singleton { x } (lo que conduce a la separación T 1 : la intersección de todas las vecindades de x se reduce en singleton).
Espacio localmente separado
Un espacio topológico X está localmente separado cuando cualquier punto de X admite una vecindad separada.
Tal espacio es siempre T 1 pero no está necesariamente separado o incluso solo en un único límite secuencial . Por ejemplo, podemos considerar la línea real provista con su topología habitual y agregar un punto 0 '(que clona el 0 real) cuyos vecindarios son los vecindarios de 0 en los que reemplazamos 0 por 0'. En este espacio, la secuencia (1 / n ) converge hacia 0 y 0 '.
Notas y referencias
- Para una demostración, vea por ejemplo el .
- Considerando cualquier secuencia como una función definida en ℕ, a la que el punto es adherente en ℕ ∪ {+ ∞} dotado de la topología del orden .
- También es una consecuencia de los hechos (demostrado en el artículo Axioma de separación (topología) ) que cualquier espacio separado es KC y todo el espacio KC tiene un límite secuencial único.
- Para una demostración, consulte, por ejemplo, el .
