Pieza relativamente compacta
En matemáticas , una parte relativamente compacta de un espacio topológico X es un subconjunto Y de X incluido en una parte compacta de X (para la topología inducida ). Recuerde que en la literatura francesa, se supone que un pacto está separado . Si X está separado, entonces parte de X es relativamente compacta (si y) solo si su adhesión es compacta.
Demostración: Suponemos que X está separado. Deje que K sea un subconjunto compacto de X tal que Y ⊆ K . Cada parte compacta de un espacio separado está cerrada (es un corolario del lema del tubo ) por lo que K es una X cerrada .
La adhesión de Y se denota por Y . Tenemos Y ⊆ Y y - desde K está cerrado - Y ⊆ K . Sin embargo, cualquier parte cerrada de un compacto es compacta , por lo tanto, Y es compacto.
: Inmediato (y sigue siendo cierto si X no está separado).
En un espacio metrizable X , parte Y es relativamente compacto si y sólo si todos resultado en Y tiene una subsecuencia que converge en X .
Una parte de un espacio métrico completo es relativamente compacta si y solo si es precompacta .
En particular en ℝ n , las partes relativamente compactas son las partes limitadas .
Notas y referencias
- N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas, el libro III: topología general [ detalle de las ediciones ], p. I.62 en Google Libros .
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