Espacio completo

En matemáticas , un espacio métrico completo es un espacio métrico en el que converge cualquier secuencia de Cauchy . La propiedad de completitud depende de la distancia . Por tanto, es importante especificar siempre la distancia que tomamos cuando hablamos de espacio completo.

Intuitivamente, un espacio está completo si "no tiene agujero", si "no le falta ningún punto". Por ejemplo, los números racionales no forman un espacio completo, ya que √ 2 no aparece allí mientras exista una secuencia de Cauchy de números racionales que tenga este límite. Siempre es posible "llenar los huecos", lo que lleva a completar un espacio determinado.

La completitud se puede definir de manera más general para espacios uniformes , como grupos topológicos .

Ejemplos de

Sea el espacio ℚ de números racionales dotado de la distancia habitual d ( x , y ) = | x - y |. Este espacio no está completo. De hecho, considere la secuencia definida por: $x_ {0} = 2 \ qquad {\ text {et}} \ qquad x _ {{n + 1}} = {x_ {n} \ over 2} + {1 \ over x_ {n}}.$ Es una secuencia de Cauchy de números racionales, pero no converge hacia ningún límite perteneciente a ℚ. De hecho, considerado como una serie de números reales, converge a la raíz cuadrada de 2 , que es un número irracional .
El intervalo abierto] 0, 1 [provisto de la distancia habitual tampoco está completo: la secuencia (1/2, 1/3, 1/4…) es de Cauchy pero no tiene límite en el intervalo.
El intervalo real cerrado [0, 1] con la distancia habitual está completo.
El espacio ℝ de números reales y el espacio ℂ de números complejos , siempre con la distancia habitual d ( x , y ) = | x - y |, están completos.
Todos los espacios vectoriales normalizados de dimensión finita en ℝ son espacios de Banach , es decir, espacios vectoriales normalizados completos. Nota: en ℝ n , como en cualquier espacio vectorial real de dimensión finita , todas las normas son equivalentes , en particular las tres más utilizadas : ǁ ǁ 1 , ǁ ǁ 2 y ǁ ǁ ∞ .
El espacio ℚ p de los números p -adic equipados con la distancia p -adic es completo para cualquier número primo p . Este espacio completa ℚ con la métrica p -ádica al igual que ℝ completa ℚ con la métrica habitual.
Para cualquier conjunto S , el conjunto S ℕ * de las secuencias de S indexadas por los enteros estrictamente positivos se convierte en un espacio métrico completo si definimos la distancia entre dos secuencias distintas y como igual a $1 /$ $N$ , donde $N$ es el índice más pequeño para lo cual . ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ ${\ Displaystyle (y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ ${\ Displaystyle x_ {N} \ neq y_ {N}}$

Algunos teoremas

Un espacio métrico está completo si y solo si cualquier secuencia decreciente de elementos cerrados no vacíos cuya secuencia de diámetro tiende a 0 tiene una intersección no vacía (ver Teorema cerrado anidado ).
Cualquier espacio métrico compacto está completo. De hecho, un espacio métrico es compacto si y solo si es completo y precompacto .
Cualquier subespacio cerrado de un espacio completo está completo y cualquier subespacio completo de un espacio métrico (no necesariamente completo) está cerrado.
Si X es un conjunto y M un espacio métrico completo, entonces el conjunto M X de los mapas de X a M , dotado de la distancia uniforme , está completo. Por lo tanto, el subespacio cerrado $B ( X , M )$ de funciones limitadas también está cerrado . En este subespacio, una distancia uniformemente equivalente a la distancia uniforme es $d (f, g): = \ sup \ left \ {\, d (f (x), g (x)) \ mid x \ in X \, \ right \}.$ Si además X es un espacio topológico , el subespacio C ( X , M ) de M X formado por las funciones continuas también es cerrado y por tanto completo, así como la intersección C b ( X , M ), formada por los acotados funciones continuas.
El teorema de Baire muestra que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire.
Teorema del punto fijo : cualquier contracción $f$ de un espacio métrico completo en sí mismo admite un punto fijo único que es límite de cualquier secuencia definida como sigue: $x_ {0} {\ text {cualquiera,}} x _ {{n + 1}} = f (x_ {n}).$
Un producto terminado o contable de espacios métricos completos está completo (de hecho, cualquier producto de espacios uniformes completos está completo; la suposición de contabilidad adicional solo sirve para mantener la capacidad de medición ).
Un espacio vectorial normado E es completo si y solo si cualquier serie absolutamente convergente de elementos de E es convergente: esta es la caracterización de los espacios de Banach por la serie .
La noción de oscilación nos permite probar un teorema de Lavrentiev : si X e Y son dos espacios métricos completos y A ⊂ X , B ⊂ Y dos partes densas , cualquier homeomorfismo de A a B se extiende a un homeomorfismo entre dos G δ ( A ' y B ' , con A ⊂ A' ⊂ X y B ⊂ B ' ⊂ Y ).

Completado con un espacio métrico

Para cualquier espacio métrico , hay un espacio métrico completo que contiene un subespacio denso . $mi$ ${\ odio}$ $mi$

Una forma de construir tal espacio es sumergirse ( isométricamente ) en el espacio completo de funciones limitadas de in (esta es la incrustación de Kuratowski ) y tomar la adhesión de la imagen de . Otra forma es tomar el conjunto de secuencias de Cauchy de cociente por una relación de equivalencia adecuada, imitando la construcción de números reales por secuencias de Cauchy . ${\ odio}$ $mi$ $mi$ $\ mathbb {R}$ ${\ odio}$ $mi$ ${\ odio}$ $mi$

Visto como un espacio métrico completo que contiene , dicho espacio se caracteriza (hasta un solo isomorfismo ), según se desee, por una de las dos propiedades universales siguientes : $mi$ ${\ odio}$

cualquier inyección isométrica de en un espacio métrico completo se extiende de forma única en una inyección isométrica de en ; $mi$ $F$ ${\ odio}$ $F$
cualquier aplicación uniformemente continua de a un espacio métrico completo tiene una sola extensión continua de gusanos . Además, esta extensión es uniformemente continua. $mi$ $F$ ${\ odio}$ $F$

El espacio se llama completado de . ${\ odio}$ $mi$

Si este procedimiento se aplica a un espacio vectorial normalizado, obtenemos un espacio de Banach que contiene el espacio original como un subespacio denso. Al aplicarlo a un espacio prehilbertiano , obtenemos un espacio de Hilbert .

El espacio , visto simplemente como un espacio métrico completo provisto de un mapa uniformemente continuo de in , todavía se caracteriza hasta un isomorfismo único por la segunda propiedad universal anterior, mutatis mutandis (en particular, "isomorfismo" ya no significa "biyección isométrica" pero “biyección uniformemente continua así como su recíproca”). es incluso, como espacio uniforme , el separado completado por . ${\ odio}$ $mi$ ${\ odio}$ ${\ odio}$ $mi$

Espacio completamente metrizable

La completitud es una propiedad métrica, pero no una propiedad topológica , lo que significa que un espacio métrico completo puede ser homeomorfo a un espacio que no lo es. Por ejemplo, para la distancia habitual, el espacio de números reales está completo, aunque es homeomórfico para el intervalo] –1, 1 [que, por otro lado, no lo es; un ejemplo de homeomorfismo es la biyección h de] –1, 1 [en ℝ definido por h ( x ) = tan ( x π / 2); o de nuevo, el subespacio irracional no está completo, mientras que es homeomórfico al espacio de Baire ℕ ℕ , que es.

Se dice que un espacio topológico es completamente metrizable (en) si hay una métrica completa que induce la topología de este espacio. Por ejemplo,] –1, 1 [(con la distancia habitual) no es completo, pero es completamente metrizable, porque su topología también es inducida por la distancia completa d ( x , y ) = | h ( y ) - h ( x ) |, donde h es cualquier homeomorfismo de] –1, 1 [en ℝ. Por el contrario, en ℚ , ninguna distancia equivalente a la distancia habitual es completa, porque ningún espacio contable sin un punto aislado es completamente metrizable, ni siquiera de Baire .

Un espacio completamente metrizable es incluso completamente Baire (y por supuesto metrizable ).

Cualquier espacio uniforme metrizable completo es completamente metrizable.

Los siguientes dos teoremas se deben respectivamente a Pavel Aleksandrov y Stefan Mazurkiewicz :

Cualquier G δ de un espacio métrico completo es completamente metrizable.
Por el contrario, en un espacio métrico, cualquier subespacio completamente metrizable es un G δ .El segundo es una aplicación inmediata del teorema de Lavrentiev mencionado anteriormente . El primero se demuestra primero para una U abierta de un espacio completo M - U es homeomórfico a un cerrado de M × ℝ, mediante la inclusión de u ↦ ( u , 1 / d ( u , M \ U )) - luego se extiende a un intersección contable H de tales aberturas - H es homeomorfa a un cerrado de su producto, por el mapa diagonal .

Podemos deducir fácilmente que un espacio metisable es completamente metrizable si y solo si es un G δ en su Stone-Čech compactificado , o incluso en cualquier espacio completamente regular donde sea denso.

Un espacio separable que es completamente metrizable se dice que es polaco .

Espacio casi completo y espacio semi-completo

Un espacio localmente convexo E sobre el campo de bienes o compleja dice casi completo si cada filtro de Cauchy acotada converge en E .

Se dice que un espacio uniforme es semi-completo si es secuencialmente completo , es decir, si todas sus secuencias de Cauchy convergen.

Dado que una secuencia de Cauchy en E está limitada en E , si E está casi completo, es semi-completo.

Si un espacio localmente convexo está completo, está casi completo. Lo contrario está mal. Por ejemplo, un espacio reflexivo de Banach de dimensión infinita, provisto de su topología debilitada, está casi completo pero no completo.

Por otro lado, si un espacio metrizable localmente convexo está casi completo, está completo.

Notas y referencias

Véase por ejemplo el capítulo "Integridad" de la lección "Topología General" en Wikiversidad .
Jacques Dixmier , Topología General , PUF , p. 76, 77 y 80.
(en) Stephen Willard, Topología general , Dover ,2012( 1 st ed. 1970) ( leer en línea ) , p. 178.
(en) Wilson Alexander Sutherland, Introducción a la métrica y los espacios topológicos , Oxford University Press ,2004( 1 st ed. 1975) ( línea de leer ) , p. 157-159.
Lo contrario es falso: (en) Vincent Kieftenbeld , Three Topics in Descriptive Set Theory , Denton, Texas, UNT ,2010( leer en línea ) , pág. 28, detalla el ejemplo, debido a Hurewicz , del complemento en ℝ de un conjunto de Bernstein (en) .
Willard 2012 , p. 179-180.

Ver también

Artículo relacionado

Teorema de Hopf-Rinow

Bibliografía

N. Bourbaki , Espacios vectoriales topológicos: Capítulos 1 a 5 , Springer ,2006, 368 p. ( ISBN 3-540-34497-7 )
Georges Skandalis , topología y análisis 3 er año , Dunod , coll. "Sciences Sup", 2001

enlaces externos

Completado con un espacio métrico en les-mathematiques.net
Espacio completo en les-mathematiques.net