Bola (topología)

En topología , una bola es un tipo particular de vecindad en un espacio métrico . El nombre evoca correctamente la bola sólida en el espacio tridimensional habitual, pero la noción se generaliza, entre otras cosas, a espacios de mayor (o menor) dimensión o de norma no euclidiana . En este caso, una bola puede no ser "redonda" en el sentido habitual del término.

Definición general

En el espacio habitual como en cualquier espacio métrico  : (mi,D){\ Displaystyle (E, d)}

• la bola cerrada centrada en un punto y de radio real es el conjunto de puntos cuya distancia a es menor o igual a  :PAG{\ Displaystyle P}r{\ Displaystyle r \,}B′(PAG,r){\ Displaystyle B '(P, r)}PAG{\ Displaystyle P}r{\ Displaystyle r}

B′(PAG,r): ={METRO∈mi∣D(METRO,PAG)≤r}{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} '(P, r): = \ left \ {M \ in E \, \ mid \, d (M, P) \ leq r \ right \}}

• la bola abierta correspondiente es el conjunto de puntos cuya distancia a es estrictamente menor que  :B(PAG,r){\ Displaystyle B (P, r) \,}PAG{\ Displaystyle P}r{\ Displaystyle r}

B(PAG,r): ={METRO∈mi∣D(METRO,PAG)<r}{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (P, r): = \ left \ {M \ in E \, \ mid \, d (M, P) <r \ right \}}

En un espacio vectorial normalizado , la bola unidad abierta es la bola abierta centrada en el origen y de radio 1 (de manera similar, la bola unitaria cerrada es la bola cerrada ). B(0,1){\ Displaystyle B (0,1)}B′(0,1){\ Displaystyle B '(0,1)}

Las bolas de un plano euclidiano también se llaman discos .

Nota: la definición de bolas puede extenderse a espacios pseudométricos que generalizan la noción de espacio métrico.

Ejemplos en el espacio bidimensional

En el espacio bidimensional , para los siguientes tres estándares, las correspondientes bolas de radio 1 tienen diferentes formas. R2{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

• el estándar 1  :‖X‖1=|X1|+|X2|{\ Displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | _ {1} = | x_ {1} | + | x_ {2} |}
• la norma euclidiana  :‖X‖2=|X1|2+|X2|2{\ Displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + | x_ {2} | ^ {2}}}}
• el estándar "infinito"  :‖X‖∞=max(|X1|,|X2|).{\ Displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | _ {\ infty} = \ max \ left (| x_ {1} |, | x_ {2} | \ right).}

Propiedades

• Una bola abierta es siempre una abierta del espacio métrico en el que está definida. Asimismo, una bola cerrada es siempre una cerrada .
• Una bola abierta de radio estrictamente positivo tiene un interior no vacío (ya que este interior es la bola misma).
• Todas las bolas de un espacio métrico son partes limitadas .
• En un espacio vectorial normalizado, todas las bolas abiertas (o cerradas) de radios estrictamente positivos son similares por traslación y homotecia, y cualquier bola es simétrica con respecto a su centro.
• En un espacio vectorial normalizado real, las bolas son convexas .
• En un espacio vectorial normalizado real, el interior de una bola cerrada es la bola abierta con el mismo centro y el mismo radio, y la adherencia de una bola abierta no vacía es la correspondiente bola cerrada (de ahí el límite d 'un no- bola vacía es la esfera correspondiente). En cualquier espacio métrico solo tenemos:

B(PAG,r)¯⊂B′(PAG,r)¯=B′(PAG,r)mitEn t⁡(B′(PAG,r))⊃En t⁡(B(PAG,r))=B(PAG,r).{\ Displaystyle {\ overline {B (P, r)}} \ subset {\ overline {B '(P, r)}} = B' (P, r) \ qquad {\ rm {y}} \ qquad \ nombre de operador {Int} (B '(P, r)) \ supset \ nombre de operador {Int} (B (P, r)) = B (P, r).}

Ejemplos de bolas exóticas

• En el espacio real tridimensional provisto de la norma infinita , las bolas tienen forma cúbica con caras perpendiculares a los ejes.
• En un espacio discreto (provisto de la distancia discreta), cualquier parte (en particular cualquier bola abierta y cualquier bola cerrada) es un abierto-cerrado .
• En un espacio provisto de una distancia ultramétrica (como el anillo Z p de p - enteros ádicos o el espacio N N de secuencias de enteros ), las bolas están abiertas-cerradas, cualquier punto de una bola es un centro y si dos bolas se encuentran , uno está contenido en el otro.

usar

• Una parte de un espacio métrico está acotada si y solo si está contenida en una bola.
• Una parte de un espacio métrico está abierta si y solo si es la reunión de las bolas abiertas que contiene.
• En un espacio métrico separable (por ejemplo, un espacio euclidiano ), todo lo abierto es una unión contable de bolas abiertas .
• Las bolas (abiertas o cerradas) con el mismo centro y radios estrictamente positivos forman un sistema fundamental de vecindades de este centro. Al limitarnos a una serie de radios arbitrariamente pequeños, obtenemos incluso un sistema fundamental contable de barrios.
• El teorema de la compacidad de Riesz establece que un espacio vectorial real se normaliza de dimensión finita si y solo si su bola unitaria cerrada es compacta .

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